专题6.2相似三角形的判定专项提升训练（重难点培优）-2022-2023学年九年级数学下册尖子生培优题典

20212022学年九年级数学下册尖子生培优题典【苏科版】专题6.2相似三角形的判定专项提升训练（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022·江苏·宝应县城郊中学九年级阶段练习）如图，点P在ΔABC的边AC上，要判断ΔABP∽ΔA．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．APAB=AB【答案】D【分析】根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．【详解】解：在ΔABP和ΔACB中，∴当∠ABP=∠C时，满足两组角对应相等，可判断ΔABP∽ΔACB当∠APB=∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断ΔABP∽ΔACB当APAB=ABAC时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断当ABAC=BPCB，则不能判断故选：D．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．2．（2022·江苏扬州·九年级阶段练习）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（A．∠ACD=∠DABC．AD2=【答案】D【分析】利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对A进行判定；先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠DAC=∠B，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似可对B进行判定；利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C【详解】解：∵∠ADC=∠BDA∴△ADC∽△BDA∵AD∴AD∴∠DAE∵∠ADC∴△ADC∽△BDA∵A∴AD∵∠∴△ADC∽△BDA∵CD∴CD∵∠ACD∴△DAC与△DBA不相似，故故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似；也考查了圆周角定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．3．（2022·江苏扬州·九年级阶段练习）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB=10，A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先求出DF=12AB=AD=BD=5，然后证明DE∥BC【详解】解：∵AF⊥BF，∴∠AFB∵AB=10，D为∴DF=1∴∠又∵BF平分∠∴∠∴∠∴DE∥∴ADDB∴AE∴DE∴EF=DE-DF=8-5=3，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理以及三角形中位线定理等知识，证明DE∥4．（2022·江苏·泰州市民兴中英文学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP=∠B②∠APC=∠ACB③CP·AB=AP·CB④A能满足△APC与△ABC相似的条件是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理，结合图中已知条件进行判断．【详解】当∠ACP=∠B，又∵∠A=∠A，∴△APC∽△ABC，故条件①能判定相似，符合题意；当∠APC=∠ACB，又∵∠A=∠A，∴△APC∽△ABC，故条件②能判定相似，符合题意；当AB⋅CP=AP⋅CB，即PC:BC=AP:AB，而∠PAC=∠CAB，∴条件③不能判断△APC∽△ABC相似，不符合题意；当AC即AC:AB=AP:AC，又∵∠A=∠A，∴△APC∽△ABC，故条件④能判定相似，符合题意；①②④能判定相似，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．5．（2021·江苏·苏州市吴江区梅堰中学八年级阶段练习）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．【详解】解：根据题意得：AC=1∴AC∴该三角形为直角三角形，且两直角边的比为BCAC第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，则两直角边的比为2，故第1个图形中三角形与△ABC相似；第2个图形中，三边长分别为12+22=∵52则该三角形是直角三角形，两直角边的比为1，故第2个图形中三角形不与△ABC相似；第3个图形中，三边长分别为12+22=∵52则该三角形不是直角三角形，故第3个图形中三角形不与△ABC相似；第4个图形中，三边长分别为12+22=∵52则该三角形是直角三角形，两直角边的比为2，故第4个图形中三角形与△ABC相似；故选：B．【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．6．（2022·江苏南通·二模）如图，等边三角形ABC中，点P，Q分别在边AB，AC上，BP＝2CQ．过由Q作PQ的垂线，交边BC于点R．若求△ABC的周长，则只需知道（

）A．四边形APRQ的周长 B．四边形PQCR的周长C．△BPR的周长 D．△APQ的周长【答案】C【分析】取PB,PR的中点F,E，连接FE,EQ，过点Q作QD∥AB交BC于点D，过点P作PG∥BC，交AC于点G，根据等边三角形的性质与判定可知△APG,△CDQ是等边三角形，进而证明BFQD是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，EQ=12PR，根据三角形中位线的性质可得EF=【详解】如图，取PB,PR的中点F,E，连接FE,EQ，过点Q作QD∥AB交BC于点D，过点P作PG∥BC，交∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，AB=BC=AC，∴∠DQC=∠A=60°，∴△CDQ是等边三角形，同理可得△APG是等边三角形，∵AP=AG，则AB-AP=AC-AG，即PB=GC，∵E,F是BP,PR的中点，则EF=1∵Rt△PQR中，∴QE=1∵PB=2QC，PB=GC，∴GC=2CQ，即Q为CG的中点，∵PG∥∴PE∴EQ∥又FE∥∴EF∥∴E,F,Q三点共线，∴△AFQ是等边三角形，∵FQ∥∴四边形BFQD是平行四边形，∴FQ=BD,BF=DQ，∴FQ+QC=BD+DC=BC，∵PB+PR+BR=2BF+2EQ+2EF=2DC+2=2DC+2FQ=2=2BC．∴△BPR的周长等于2BC，等边三角形的周长等于3BC．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例，综合运用以上知识是解题的关键．7．（2022·江苏·文林中学九年级阶段练习）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③【答案】B【分析】根据矩形的性质得出∠A=∠C=∠D=∠ABC=90°，AB=CD=6，BC=AD=10，根据折叠得出∠BAG=∠FBG，∠CBE=∠FBE，【详解】解：根据矩形的性质得出∠A=∠C=∠D=∠ABC=90°由折叠的性质得，∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，∴∠EBG=∠FBE+∠FBG=12∠ABC=由折叠的性质得，BF=BC=10，BH=BA=6，∴HF=BF-BH=4在Rt△ABF中，AF=BF2-BA2=8，设GH=x，则GF=8-x，在Rt△GHF中，x同理在Rt△FDE中，FD=2，ED=6-EF，由FD2∴ED=8∴EDFD∴△DEF与△ABG不相似，故②不正确；∵S△ABG=1∴S△ABGS△FGH=9∵AG=3，DF=2，FG=5，∴AG+DF=FG=5，故④正确．正确的有①③④故选：B【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质、相似三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．8．（2022·江苏·江阴市青阳初级中学九年级阶段练习）如图，已知AB∥CD∥A．CECB=ADDF B．DFAD=【答案】D【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应，∴CECB=DF故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关键．二、填空题9．（2020·江苏无锡·九年级阶段练习）如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上，请添加一个条件：____，使△ADE∽△ACB．【答案】∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一个即可）．【分析】解：根据∠AED=∠B和∠A=∠A,可证△AED∽△ABC，故添加条件∠AED=∠B；根据∠2=∠B和∠A=∠A,可证△AED∽△ABC，故添加条件∠2=∠B；根据两边对应成比例且夹角相等，故添加条件AD∶AC＝AE∶AB，然后任选其一即可解答．【详解】解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A∴△AED∽△ABC，故添加条件∠AED=∠B可证其相似；∵∠2=∠B，∠A=∠A,∴△AED∽△ABC，故添加条件∠2=∠B可证其相似；根据两边对应成比例且夹角相等，故添加条件AD∶AC＝AE∶AB可证其相似．故答案为∠1＝∠C或∠2＝∠B或AD∶AC＝AE∶AB（答一个即可）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．10．（2022·江苏泰州·二模）如图，E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，CE=3cm，则AN=____cm．【答案】2【分析】连接AC，过点E作EP∥AF，交BC于P，由平行线分线段成比例定理及中点的定义可得CM=2cm，根据平行四边形的性质及中点的定义证明四边形AECG、四边形AFCH【详解】连接AC，过点E作EP∥AF，交BC于∴BEBA=∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴BP=FP=1∴CM∵CE=3cm，∴CM=2cm∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AD=BC,AB∥∵E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，∴AE=CG,AH=CF，∴四边形AECG、四边形AFCH是平行四边形，∴AG∥∴四边形AMCN是平行四边形，∴AN=CM=2cm故答案为：2．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、中点的定义及平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．11．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，在△ABC中，DE∥AB，DF∥BC，如果AF【答案】2【分析】利用平行线分线段成比例定理计算即可．【详解】如图，∵DF∥BC，∴AFFB∴ADAC∵DE∥∴ADAC故答案为：25【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用定理是解题的关键．12．（2021·江苏·无锡市江南中学二模）如图，点A（﹣7，8），B（﹣5，4）连接AB并延长交反比例函数y＝kx（x＜0）的图像于点C，若BCAB＝12，则k【答案】﹣8【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，则有AD//BE//CF，FEED=BCAB，进而求得FEED=12，然后根据点A、B的坐标求得【详解】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，则AD//BE//CF，∴EFDE＝BCAB＝∵点A（﹣7，8），B（﹣5，4），∴DE＝2，∴EF＝1，∴OF＝4，即点C的横坐标为﹣4，同理，点C的纵坐标为2，即点C的坐标为（﹣4，2），∵点C在反比例函数y＝kx（x＜0∴k＝﹣4×2＝﹣8，故答案为：﹣8．【点睛】本题主要考查反比例函数、平行线所截线段成比例等知识点，掌握平行线所截线段成比例是解答本题的关键．13．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AC中点，AD、BE相交于F，则AFFD等于____【答案】2【分析】过点D作BE的平行线交AC于点G，由平行线分线段成比例可得GCEG=CDBD，再根据D为BC中点，即可推出G为CE中点．再根据E为AC中点，即可推出【详解】如图，过点D作BE的平行线交AC于点G，∵DG//BE，∴GCEG∵D为BC中点，∴G为CE中点，即CG=EG．∵E为AC中点，∴AE=CE，∴AE=2EG，即AEEG∵EF//DG，∴AFFD【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例．正确的作出辅助线是解题关键．14．（2019·江苏泰州·中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．则CG＝_____．【答案】12.5【分析】根据旋转性质可知∠ADB=45°，再根据平移性质可知FD∥AB，从而得到∠FDB=45°．根据△ADE∽△ACB求出AE长，则可得到CG长度．【详解】根据旋转的性质可知∠ADB=∠ABD=45°，根据平移的性质可知AB∥FD，∴∠FDB=∠ABD=45°，∴∠ADE=45°+45°=90°，∴∠ADE=∠ACB．又∵∠EAB+∠EAD=90°，∠EAB+∠BAC=90°，∴∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC=AEAB，即10由平移性质可知CG=AE=12.5．故答案为12.5．【点睛】本题考查了旋转性质和平移性质，以及相似三角形的判定和性质，注意图形之间的变换，利用不同变换的性质是解题的关键．15．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知△ABC为等边三角形，AB=6，将边AB绕点A顺时针旋转α0°<α<120°得到线段AD，在接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，点F为CD上一点，且DF=2CF．则∠AEC=______°；连接AF，则AF+2BF的最小值为______【答案】

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6【分析】根据三角形的外角性质，以及角平分线的性质即可求得∠AEC=60°，根据题意求得12AF+BF最小值即可，将12AF+BF转化为AF⋅sin【详解】解∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，由旋转得：AB=AD，∠BAD=θ，∴AD=AC，∴∠D=∠ACD=180°-60°+θ∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE=12∴∠AEC=∠D+∠DAE=60°12θ+1如图，过F作FH∥AD，交AC于H，过F作FM⊥AC∵DF=2FC，∴CF∠CFH=∠D=∠ACD，∵AC=6，∴CH=FH=2，∴点F在以H为圆心，CP为直径的圆上运动，∴当∠BAF=30°时，FM=AF⋅sin∴12∴当BM⊥AC时,12AF+BF∵△ABC是等边三角形，∴BM=AB⋅sin∴AF+2BF的最小值为63【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质，平行线分线段成比例，求得F的轨迹是解题的关键．16．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，点E、F分别是矩形ABCD边BC和CD上的点，把△CEF沿直线EF折叠得到△GEF，再把△BEG沿直线BG折叠，点E的对应点H恰好落在对角线BD上，若此时F、G、H三点在同一条直线上，且线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，则BDEF的值为______【答案】2+【分析】根据线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，可得HF=HD，由折叠和同角的余角相等得∠HFD=∠CFE=∠EFG=13×180°=60°【详解】解：∵线段HF与HD也恰好关于某条直线对称，∴HF=HD，∴∠HFD=∠FDH，∴∠BHF=2∠HFD由折叠可知：GF=CF，HG=CE=EG，∠CFE=∠EFG，∠BHG=∠BEG，∠CEF=∠GEF，∵∠BEG+∠CEF+∠GEF=180°，∴2∠HFD+2∠CEF=180°∴∠HFD+∠CEF=90°，又∵∠CFE+∠CEF=90°∴∠HFD=∠CFE=∠EFG=1又∵HF=HD，∴△DHF是等边三角形，∴∠CBD=∠CEF=30°，∴EF∥设GF=CF=x，HF=DF=y，则HG=CE=EG=3xHF=HG+GF=GE+CF，即y=x+3x∵EF∥∴BDEF【点睛】本题主要考查折叠的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握翻折的性质．三、解答题17．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学八年级期末）已知：如图，点D在三角形ABC的AB上，DE交AC于点E，∠ADE=∠B，点F在AD上，且AD(1)ADAB(2)△AEF∽△ACD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据∠ADE=∠B，可得DE∥BC，从而得到（2）根据AD2=AF⋅AB，可得AD（1）证明：∵∠ADE=∠B，∴DE∥∴ADDB∴ADAB（2）证明：∵AD∴ADAB∵ADAB∴AEAC又∠A=∠A，∴△AEF∽△ACD．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定定理是解题的关键．18．（2021·江苏·涟水县红日中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，ADDB=AEEC，AB＝15，AE＝6，（1）求AD的长．（2）试说明DBAB【答案】（1）AD=9；（2）见解析【分析】（1）利用ADDB=AE（2）根据比例的性质由ADDB=AEEC得到【详解】解：（1）∵ADDB∴AD15-AD∴AD=9；（2）∵ADDB∴AD+DBDB=EC+AE∴DBAB【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．19．（2021·江苏·姜堰区实验初中九年级阶段练习）△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；（1）如图1，若D为BC的中点，AEEC=12，求证：（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得AEEC（3）若F为AD的中点，设BDBC=m，AEAC【答案】（1）证明见解析，（2）作图见解析，（3）m=【分析】（1）作DG∥BE交AC于G，列出比例式即可证明；（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E即可；（3）作DG∥BE交AC于G．根据平行得出比例式，根据F为AD的中点，得出m、n之间的等量关系即可．【详解】（1）证明：作DG∥BE交AC于G，∵DG∥BE，BD＝CD，∴CDBD＝CGEG＝∴EG＝CG，∵EF∥DG，∴AFDF＝AE∵AEEC=12，∴AEEG＝1∴AFDF＝1∴AF＝FD；（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E，点E即是所求；（3）作DG∥BE交AC于G．∵DG∥BE，∴BDBC＝EGCE＝∵AEAC设AC＝a，AE＝an，EC＝a－an，EG＝m(a－an)，∵EF∥DG，∴AFDF＝AE∵F为AD的中点，∴nm-mn=1即【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是恰当作平行线，利用比例式解决问题．20．（2021·江苏无锡·八年级期中）如图，已知△ABC，AP平分∠BAC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．（1）作菱形AMPN，使点M，N分别在边AB、AC上，并根据你的作法证明你的结论；（2）若∠C=90°，AB=8，BP=4，求（1）中所作菱形AMPN的面积．【答案】（1）见解析；（2）36【分析】（1）作线段AP的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，连接PM、PN得四边形AMPN即为所求菱形，通过证明四条边相等即可证明；（2）由四边形AMPN是菱形、∠C=90°，可得△BPM为直角三角形，通过勾股定理求得PB、PM、BM的长度，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，由面积法求得PQ的长度，最后由AN•PC求得AMPN的面积．【详解】解：（1）作线段AP的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，连接PM、PN得四边形AMPN即为所求菱形，证明：∵MN是AP的垂直平分线，∴AN=PN，AM=PM，∠AON=∠AOM=90°，∵AP平分∠BAC，∴∠NAO=∠MAO，∵AO=AO∴ΔAON≅ΔAOM(ASA)，∴AN=AM，∴AN=PN=PM=AM，∴四边形AMPN是菱形；（2）∵四边形AMPN是菱形，∴AN=PN=PM=AM，PM//AC，∵∠C=90°，AB=8，BP=4，∴∠BPM=∠C=90°，设AN=PN=PM=AM=x，则BM=8-x，由勾股定理得：BM∴(8-x)解得：x=3，即AM=PM=AN=PN=3，∴BM=8-3=5，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，则PQ×BM=PM×PB，∴PQ=PM×PB∴菱形AMPN的面积=AM⋅PQ=3×12【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，菱形面积的求法等知识，掌握菱形的判定方法，利用勾股定理求出菱形的边长是解决本题的关键．21．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．(1)求证△ABC∽△ADE；(2)求证：AD是⊙O的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得∠B＝∠D．再根据圆内接四边形的性质，可得∠B＝∠AED．再由AB＝AC，可得∠ACB＝∠AED．即可求证；（2）连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．根据AB＝AC，OB＝OC，可得AM垂直平分BC．从而得到∠DAO＝90°．即可求证．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D．∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°．∵∠AED+∠AEC＝180°．∴∠B＝∠AED．∵AB＝AC，∴AB＝∠ACB∴∠ACB＝∠AED．∴△ABC∽△ADE．（2）解：如图，连接AO并延长，交BC于点M，连接OB、OC．∵AB＝AC，OB＝OC，∴AM垂直平分BC．∴∠AMC＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAO＝90°．∵点A在⊙O上，∴AD是⊙O的切线．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，切线的判定等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．22．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接（1）证明：△BDA∽△CED；（2）若∠B=45°,BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此时【答案】(1)理由见详解；（2）BD=2-2或1【分析】（1）根据题目已知条件易得：∠ADE+∠ADB+∠EDC=180°，∠B+∠ADB+∠DAB=180°，所以得到∠DAB=∠EDC，问题得证．（2）由题意易得△ABC是等腰直角三角形，所以∠BAC=90°，当△ADE是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与B、C重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及【详解】解：（1）如图可知：∠ADE+∠ADB+∠EDC=180°在△ABD中，∴∠B+∠ADB+∠DAB=180°又∵∠B=∠ADE=∠C∴∠EDC=∠DAB∴△BDA∽△CED．（2）∵∠B=∠ADE=∠C，∠B=45°∴△ABC是等腰直角三角形∴∠BAC=90°∵BC=2，∴AB=AC=22BC=①当AD=AE时，∴∠ADE=∠AED∵∠B=45°，∴∠B=∠ADE∴∠DAE=90°∴∠DAE=∠BAC=90°∵点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）,点E在∴此情况不符合题意．②当AD=DE时，∴∠DAE=∠DEA∴由（1）结论可知：△BDA≌△CED∴AB=DC=2∴BD=2-2③当AE=DE时，∠ADE=∠DAE=45°∴△AED是等腰直角三角形∵∠B=45°，∴∠B∴∠ADC=90°，即AD⊥BC∴BD=1综上所诉：BD=2-2或1【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．23．（2021·江苏·宜兴市树人中学九年级期中）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．LCrelle17801855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard18451922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=∠α，则点P是△ABC的布洛卡点，∠α是布洛卡角．（1）如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC的数量关系是______；（2）如图3，点P为等腰直角三角形ABC（其中∠BAC=90°）的布洛卡点，且∠1=∠2=∠3．①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若△ABC的面积为52，求△PBC【答案】（1）30°，PA=PB=PC；（2）①△ABP∽△BCP，证明见解析；（3）S△PBC【分析】（1）根据题意理清布洛卡点、布洛卡角的概念，利用概念来解答；（2）①找△ABP∽△BCP，证明过程利用等腰直角三角形的性质及布洛卡角的概念，通过找出三个角分别对应相等来证明；②把三角形△ABC面积看作三个三角形面积之和来表示，除所求三角形面积之外的两个，其中一个根据条件可以利用勾股定理求出面积，另一个可以利用所求三角形面积来表示，建立等式即可求解．【详解】解：（1）由题意知：∠BAP=∠CBP=∠ACP，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABP=∠BCP=∠CBP，AB=BC=AC,∴△APB≌△BPC，∴AP=BP，∴∠PAB=∠PBA，∴∠PBA=∠PBC,∠PBA+∠PBC=60°，∴∠PBC=30°，同理可证得出：∠BAP=∠CBP=∠ACP=30°，∠ABP=∠BCP=∠CBP=30°，PA=PB=PC故答案是：30°，PA=PB=PC．（2）①△ABP∽△BCP证明：∵△ABC是等腰直角三角形∴∠ABC=∠ACB=45°，即∠ABP+∠2=∠3+∠BCP=45°，