达州市普通高中2023届第一次诊断性测试数学试题（文科）

高考模拟试题PAGEPAGE1达州市普通高中2023届第一次诊断性测试数学试题（文科）注意事项：1.答题前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其它〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在本试卷无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗求出集合，再求即可.〖详析〗由已知，又，.故选：A.2.复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根据复数的除法运算即可得出结果.〖详析〗由得，,故选：C.3.已知向量，满足，则（）A.0 B.2 C. D.5〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗利用数量积垂直的坐标表示，即可求解.〖详析〗.故选：D4.四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（）A.样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B.样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C.样本中选择物理学科的人数较多D.样本中男生人数少于女生人数〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根据等高条形图的概念结合条件逐项分析即得.〖详析〗根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确；根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误；样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低，所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误；样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误.故选：C.5.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.〖详析〗时，有，则有；时，有，即，不一定满足，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A6.《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山.问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗分析数列特征，求前5项的和.〖详析〗由题意可知，数列前2项都是1，从第二项开始，构成公比为的等比数列，所以前5项和为：.故选：C7.三棱锥的底面为直角三角形，的外接圆为圆底面，在圆上或内部，现将三棱锥的底面放置在水平面上，则三棱锥的俯视图不可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根据题目信息可画出三棱锥的直观图，改变点位置，即可对所有可能的俯视图做出判断，得出〖答案〗.〖详析〗由三棱锥结构特征，底面为直角三角形，不妨设，则的外接圆圆心即为的中点；又在圆上或内部，当点与点重合时，三棱锥如下图所示，由底面可知，此时三棱锥的俯视图为A选项；当点满足为外接圆直径时，三棱锥如下图所示，由底面可知，此时三棱锥的俯视图为B选项当点与圆心重合时，三棱锥如下图所示，由底面可知，此时三棱锥的俯视图为C选项；因此，选项ABC均有可能，俯视图不可能为选项D.故选：D.8.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，直线与曲线仅交于，三点，为的等差中项，则的最小值为（）A.8 B.6 C.4 D.2〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由三角函数图象的平移变换可得，由题意推得必为函数的对称中心，可得，即可求得〖答案〗.〖详析〗由题意将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则，因为直线与曲线仅交于，三点，为的等差中项，由于，在直线上,故为的等差中项，不妨设，则，即，若，则，即，此时直线与曲线不止三个交点，不合题意；故，结合的对称性，可得有直线与曲线仅有3个交点，即必为函数的对称中心，即，故，因为，故时，的最小值为4，故选：C9.曲线在点处的切线平分圆，则函数的增区间为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由题意可知曲线在点处的切线经过圆心，所以，解出，对求导，即可求出函数的增区间.〖详析〗，，，因为曲线在点处的切线平分圆，所以曲线在点处的切线经过圆心，所以，解得：，所以，令，则，所以函数的增区间为.故选：C10.点为双曲线（，）的一个焦点，过作双曲线的一条渐近线的平行线交双曲线于点.为原点，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗通过计算到所作渐近线平行线的距离为可知，与所作直线和渐近线垂直，再利用双曲线的定义和，，之间的关系即可求解.〖详析〗设双曲线的两条渐近线为：，：，由双曲线的对称性，不妨设为双曲线的右焦点，过作，则的方程为，即，则到的距离，∴，∴，在中，，设双曲线左焦点为，连接，由双曲线的定义知，，设与交于点，∵为线段的中点，，∴，，在中，，即，化简得，∴双曲线的离心率.故选：D.11.在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（）A.平面平面B.点为正方形内一点，当平面时，的最小值为C.过点的平面截正方体所得的截面周长为D.当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根据面面平行无交线可判断A；由面面平行的性质得出DP所在的平面，即可分析最小值P点的位置，求解即可；用向量法根据平行的坐标表示，求出过点的平面截正方体所得的截面，即可计算周长；根据三棱锥的外接球半径公式和球体的表面积公式求解即可.〖详析〗解：对于A，延长，，，，有两个交点I，J，代表平面平面，两平面不平行，A选项错误对于B，分别取，的中点，，连接，则，，且，，平面，平面，所以平面平面，已知点为正方形内一点，当P在上时，平面，满足平面，在中，，，则为等腰三角形，点P在的中点时，有最小值，在中，，，B选项正确；对于C，如图建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，，，，则，解得，截面周长为，C选项错误；对于D，当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，，D选项错误；故选：B.12.已知，规定，如.定义在上的函数图象关于原点对称，对任意的，都有.若，则（）A.0 B.1 C.2 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由题意可得，，即可求解〖详析〗因为定义在上的函数图象关于原点对称，所以是奇函数，所以，令，解，所以，所以，令，解，所以，所以，依次可得，所以，所以，故选：C〖『点石成金』〗关键『点石成金』：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线上的点到焦点的距离为5，则焦点坐标为__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根据抛物线的定义可知，点到准线的距离等于到焦点的距离5，即，解出的值，即可求出〖答案〗.〖详析〗由已知可得，抛物线的准线方程为.根据抛物线的定义可知，点到准线的距离等于到焦点的距离5，即，解得，所以抛物线的方程为，焦点坐标为.故〖答案〗为：.14.从集合中随机取两个不同的数，则满足的概率为__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由古典概型分别求出总选法及符合条件的选法，求比值即可〖详析〗从集合中随机取两个不同的数，总共有种选法，满足的选法有1和3、3和5、2和4，共3种，故所求概率为.故〖答案〗为：15.已知正项数列前项和满足，且，则__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗利用得出数列是等差数列，且公差为1，然后求得，再代入可得．详析〗，，，，，，∴，即，所以是等差数列，公差为1，，，，即，．故〖答案〗为：．16.已知正方形边长为两点分别为边上动点，，则的周长为__________.〖答案〗4〖解析〗〖祥解〗设，，用表示出，由勾股定理求出即可求出周长.〖详析〗如图所示，设，，所以，即，由题意可得，，所以，，所以，所以的周长为，故〖答案〗为：4三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一.据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入的数据如下表：年份20172018201920202021年份代码12345人均可支配收入（单位：万元）（1）根据上表统计数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若则线性相关程度较高，精确到）；（2）市五届人大二次会议政府工作报告提出，2022年农村居民人均可支配收入力争不低于万元，求该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值（用百分比表示）.参考公式和数据：相关系数，.〖答案〗（1），具有较高的线性相关程度；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）根据条件及相关系数公式可得相关系数，进而即得；（2）设增长率为，由题可得，进而即得.〖小问1详析〗由题可知的平均数为，，所以，，所以与具有较高的线性相关程度；〖小问2详析〗设增长率为，则，解得，，该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值为.18.的内角的对边分别为的面积边上的中线长为.（1）求；（2）求外接圆面积的最小值.〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）利用三角形面积结合已知求出，再借助向量数量积运算律、余弦定理求解作答.（2）利用正弦定理及（1）中信息，结合均值不等式求出外接圆半径最小值即可计算作答.〖小问1详析〗的面积，又，于是得，而，即，因此，令边的中点为，则线段是的中线，有，因此，即有，解得，由余弦定理得，即，解得，所以.〖小问2详析〗设外接圆半径为，由正弦定理得，即有，由（1）知，当且仅当时取等号，而，于是得，有，因此，当且仅当，即时取等号，所以外接圆面积最小值为.19.如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点.（1）证明：；（2）若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离.〖答案〗（1）证明见〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）取的中点，连接，先证明平面，得，从而得，利用已知正切值得，由直角三角形得，从而又得线面垂直后得出线线垂直；（2）由得出的长，再由得出点到平面的距离．〖小问1详析〗连接，平面平面，同理，，，.又平面,平面.平面.取的中点，连接为的中点，，.，，为的中点，.又平面，平面.平面.〖小问2详析〗.，且四边形为矩形，即，又由（1），平面，，平面.∴.连接，中，中.为中点，点到平面的距离中，.由（1）知面，在中，，中，∴，.设点到平面的距离为，则即，解得.所以点到平面的距离为.20.已知是椭圆的一个焦点，过点的直线交于不同两点.当，且经过原点时，.（1）求的方程；（2）为的上顶点，当，且直线的斜率分别为时，求的值.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由直线过原点，关于原点对称，结合椭圆的定义与对称性求得长半轴长，再由求得，从而得椭圆方程；（2）设，设，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，然后代入化简可得．〖小问1详析〗由题意，当，且经过原点时，的方程为，且点关于原点对称.设，将代入，并化简得，即，..设的另一个焦点为，根据对称性，，根据椭圆定义得.所以的方程为.〖小问2详析〗由（1）知，点坐标为.由题意可设，即，将该式代入，并化简得.设，则...即.〖『点石成金』〗方法『点石成金』：直线与椭圆相交问题的解决方法，设交点坐标为，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得，把此结果代入题中要求解的式子变形化简后可得结论．21.已知函数.（1）若最小值为0，求的值；（2），若，证明.〖答案〗（1）（2）证明见〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）求出导函数，由导函数确定单调性得函数的最小值，由最小值得参数值；（2）求出，再对求导，确定的最小值大于0，从而确定的单调性，然后由，得出，再由（1）得出即可证．〖小问1详析〗由得，且当时，单调递减，当时，单调递增.所以的极小值也是最小值为.〖小问2详析〗证明：由得.设，则，当时，，单调递减，当时，单调递增.当时，，即在区间单调递增.若，则当且仅当时，.由（1）知，.，即.〖『点石成金』〗用导数证明不等式的方法：（1）利用导数求得最小值和的最大值，由证明结论；（2）引入新函数，由导数求得的最小值，由得证．（二）选考题：共10