2025届重庆市六校联考高二数学第一学期期末调研模拟试题含解析

2025届重庆市六校联考高二数学第一学期期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的值可以是（）A. B.2C.3 D.2．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（）A.7 B.23C.5或25 D.7或233．下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4．已知直线，两个不同的平面，，则下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则5．向量，向量，若，则实数（）A. B.1C. D.6．设是定义在R上的可导函数，若（为常数），则（）A. B.C. D.7．若抛物线x＝﹣my2的焦点到准线的距离为2，则m＝（）A.﹣4 B.C. D.±8．已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为A.10 B.12C.16 D.209．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，以为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若(为坐标原点)，则双曲线的离心率为（）.A. B.C. D.10．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（）A.1 B.2C.4 D.611．执行如图的程序框图，输出的S的值为（）A. B.0C.1 D.212．过点且与直线平行的直线方程是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.14．已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，，则椭圆离心率是___________15．写出一个离心率且焦点在轴上的双曲线的标准方程________,并写出该双曲线的渐近线方程________16．必然事件的概率是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.(I)若曲线在点处的切线方程为,求的值；(II)若,求的单调区间.18．（12分）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．设过点的动直线与相交于，两点（1）求椭圆的方程（2）是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由19．（12分）我们知道，装同样体积的液体容器中，如果容器的高度一样，那么侧面所需的材料就以圆柱形的容器最省.所以汽油桶等装液体的容器大都是圆柱形的，某卧式油罐如图1所示，它垂直于轴的截面如图2所示，已知截面圆的半径是1米，弧的长为米表示劣弧与弦所围成阴影部分的面积.（1）请写出函数表达式；（2）用求导的方法证明.20．（12分）已知的离心率为，短轴长为2，F为右焦点（1）求椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由21．（12分）已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.22．（10分）如图，在三棱锥中，平面平面，，都是等腰直角三角形，，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由求出，从而可以求，再根据已知条件不等式恒成立，可以进行适当放大即可.【详解】若n=1，则，故；若，则由得，故，所以，，又因为对恒成立，当时，则恒成立，当时，，所以，，，若n为奇数，则；若n为偶数，则，所以所以，对恒成立，必须满足.故选：D2、D【解析】根据双曲线的定义知，，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，根据双曲线的定义知，，而，所以或故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.3、D【解析】通过举反列即可得ABC错误，利用不等式性质可判断D【详解】A.当时，，但，故A错；B.当时，，故B错；C.当时，，但，故C错；D.若，则，D正确故选：D4、C【解析】对于A,可能在内，故可判断A；对于B,可能相交，故可判断B;对于C,根据线面垂直的判定定理，可判定C;对于D,和可能平行，或斜交或在内，故可判断D.【详解】对于A,除了外，还有可能在内，故可判断A错误；对于B,，那么可能相交，故可判断B错误；对于C,根据线面平行的性质定理可知，在内一定存在和平行的直线，那么该直线也垂直于，所以，故判定C正确;对于D，，，则和可能平行，或斜交或在内，故可判D.错误，故选：C.5、C【解析】由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.【详解】因为向量，向量，若，则，解得：，故选：C.6、C【解析】根据导数的定义即可求解.【详解】.故选：C.7、D【解析】把抛物线的方程化为标准方程，由焦点到准线的距离为，即可得到结果，得到答案.【详解】由题意，抛物线，可得，又由抛物线的焦点到准线的距离为2，即，解得.故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点到准线的距离为是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8、D【解析】利用椭圆的定义即可得到结果【详解】椭圆，可得，三角形的周长，，所以：周长，由椭圆的第一定义，，所以，周长故选D【点睛】本题考查椭圆简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查9、A【解析】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得，由，可知为的三等分点，用两种方式表示，可得关于的方程组，结合即可得到双曲线的离心率.【详解】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得，由到渐近线的距离为，所以，又，所以，因为，所以，整理可得：，即，所以，可得，所以，所以双曲线的离心率为，故选：A.10、C【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，写出切线方程，分别求得切线在两坐标轴上的坐标，再由三角形面积公式求解【详解】由，得，，又切线过点，曲线在点处的切线方程为，取，得，取，得的面积等于故选：C11、A【解析】直接求出的值即可.【详解】解：由题得，程序框图就是求，由于三角函数的最小正周期为，，，所以.故选：A12、A【解析】由题意设直线方程为，根据点在直线上求参数即可得方程.【详解】由题设，令直线方程为，所以，可得.所以直线方程为.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，分别求出每种的基本事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：由题意可分为步、步、步、步、步、步共6种情况，①步：即步两阶，有种；②步：即步两阶与步一阶，有种；③步：即步两阶与步一阶，有种；④步：即步两阶与步一阶，有种；⑤步：即步两阶与步一阶，有种；⑥步：即步一阶，有种；综上可得一共有种情况，满足7步登完楼梯的有种；故7步登完楼梯的概率为故答案为：14、【解析】先由，根据椭圆的定义，求出，，再由余弦定理，根据，即可列式求出离心率.【详解】因为点在椭圆上，所以，又，所以，因，在中，由，根据余弦定理可得，解得（负值舍去）故答案为：.【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，属于常考题型.15、①.(答案不唯一)②.(答案不唯一)【解析】令双曲线为，根据离心率可得，结合双曲线参数关系写出一个符合要求的双曲线方程，进而写出对应的渐近线方程.【详解】由题设，可令双曲线为且，∴，则，故为其中一个标准方程，此时渐近线方程为.故答案为：，(答案不唯一).16、1【解析】直接由必然事件的定义求解【详解】因为必然事件是一定要发生的，所以必然事件的概率是1，故答案为：1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）在区间上单调递增,在区间上单调递减【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得得到关于的方程组，解得；（Ⅱ）求出函数的导函数，解得函数的单调递增区间，解得函数的单调递减区间.【详解】解：（Ⅰ）因为函数在点处的切线方程为解得（Ⅱ）令,得或.因为,所以时，；时，.故在区间上单调递增,在区间上单调递减【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.18、（1）；（2）存在；或.【解析】（1）设，由，，，求得的值即可得椭圆的方程；（2）设，，直线的方程为与椭圆方程联立可得，，进而可得弦长，求出点到直线的距离，解方程，求得的值即可求解.【小问1详解】设，因为直线的斜率为，，所以，可得，又因为，所以，所以，所以椭圆的方程为【小问2详解】假设存在直线，使得的面积为，当轴时，不合题意，设，，直线的方程为，联立消去得：，由可得或，，，所以，点到直线的距离，所以，整理可得：即，所以或，所以或，所以存在直线：或使得的面积为.19、（1），（2）证明见解析【解析】（1）由弧长公式得，根据即可求解；（2）利用导数判断出在上单调递增，即可证明.【小问1详解】由弧长公式得，于是，【小问2详解】cos，显然在上单调递增，于是.20、（1）；（2）存在点M满足条件，点M的坐标为.【解析】(1)根据给定条件直接计算出即可求解作答.(2)假定存在点，当直线l与x轴不重合时，设出l的方程，与椭圆C的方程联立，借助、斜率互为相反数计算得解，再验证直线l与x轴重合的情况即可作答.【小问1详解】依题意，，而离心率，即，解得，所以椭圆C的方程为：.【小问2详解】由(1)知，，假定存在点满足条件，当直线与x轴不重合时，设l的方程为：，由消去x并整理得：，设，则有，因，则直线、斜率互为相反数，于是得：，整理得，即，则有，即，而m为任意实数，则，当直线l与x轴重合时，点A，B为椭圆长轴的两个端点，点也满足，所以存在点M满足条件，点M的坐标为.【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆相交的问题，常把直线与椭圆的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.21、（1）（2），【解析】(1)根据导数的几何意义即可求解；(2)根据导数的正负判断f(x)的单调性，根据其单调性即可求最大值和最小值.【小问1详解】，切点为(1，－2)，∵，∴切线斜率，切线方程为；【小问2详解】令，解得，1200极大值极小值2∵，，∴当时，，.22、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）由三角形的中位线定理可证得MN∥AB，再由线面垂直的判定定理可证得结论，（2）由已知可得AB⊥BC，VC⊥A