天津市宝坻区何仉中学2025届数学高二上期末检测模拟试题含解析

天津市宝坻区何仉中学2025届数学高二上期末检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在四面体中，，，两两垂直，已知，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.2．函数的单调增区间为（）A. B.C. D.3．已知是双曲线的左焦点，为右顶点，是双曲线上的点，轴，若，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.4．已知等差数列{an}中，a4+a9=8，则S12=（）A.96 B.48C.36 D.245．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是6”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列判断正确的是（）A.甲与丙是互斥事件 B.乙与丙是对立事件C.甲与丁是对立事件 D.丙与丁是互斥事件6．已知数列的通项公式为，则（）A.12 B.14C.16 D.187．为比较甲、乙两地某月时的气温状况，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图（十位数字为茎，个位数字为叶）.考虑以下结论：①甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；②甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；③甲地该月时的气温的标准差小于乙地该月时的气温的标准差；④甲地该月时的气温的标准差大于乙地该月时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（）A.①③ B.①④C.②③ D.②④8．中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（）A. B.C. D.9．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元）内，其中支出在（单位：元）内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为（）A.100 B.120C.130 D.39010．在等差数列中，为其前n项和，，则（）A.55 B.65C.15 D.6011．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.是函数的极大值点B.函数在区间上单调递增C.是函数的最小值点D.曲线在处切线的斜率小于零12．抛物线的焦点到准线的距离是A.2 B.4C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的图象在点P（）处的切线方程是，则_____14．如图，在正四棱锥中，为棱PB的中点，为棱PD的中点，则棱锥与棱锥的体积之比为______15．如图，长方体中，，，，，分别是，，的中点，则异面直线与所成角为__.16．若方程表示的曲线是圆，则实数的k取值范围是___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在柯桥古镇的开发中，为保护古桥OA，规划在O的正东方向100m的C处向对岸AB建一座新桥，使新桥BC与河岸AB垂直，并设立一个以线段OA上一点M为圆心，与直线BC相切的圆形保护区（如图所示），且古桥两端O和A与圆上任意一点的距离都不小于50m，经测量，点A位于点O正南方向25m，，建立如图所示直角坐标系（1）求新桥BC的长度；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最小？18．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求B.（2）___________，若问题中的三角形存在，试求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．（12分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点，；（2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点20．（12分）设：，：.（1）若命题“，是真命题”，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.21．（12分）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，E的离心率为.短轴长为2.（1）求椭圆E的方程：（2）过点的直线l交椭圆E于A，B两点，是否存在实数t，使得恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.22．（10分）如图，在长方体中，，，，M为上一点，且（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用三线垂直建立空间直角坐标系，将线面角转化为直线的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空间向量进行求解.【详解】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以平面的一个法向量为；设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.故选：D.2、D【解析】先求定义域，再求导数，令解不等式，即可.【详解】函数的定义域为令，解得故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.3、C【解析】根据条件可得与，进而可得，，的关系，可得解.【详解】由已知得，设点，由轴，则，代入双曲线方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故选：C.4、B【解析】利用等差数列的性质求解即可.【详解】解：由等差数列的性质得.故选：B5、D【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断【详解】当第一次取出1，第二次取出4时，甲丙同时发生，不互斥不对立；第二次取出的球的数字是6与两次取出的球的数字之和是5不可能同时发生，但可以同时不发生，不对立，当第一次取出1，第二次取出3时，甲与丁同时发生，不互斥不对立，两次取出的球的数字之和是5与两次取出的球的数字之和是偶数不可以同时发生，但可以同时不发生，因此是互斥不对立故选：D6、D【解析】利用给定的通项公式直接计算即得.【详解】因数列的通项公式为，则有，所以.故选：D7、B【解析】根据茎叶图数据求出平均数及标准差即可【详解】由茎叶图知甲地该月时的平均气温为，标准差为由茎叶图知乙地该月时的平均气温为，标准差为则甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，故①正确，乙平均气温的标准差小于甲的标准差，故④正确，故正确的是①④，故选：B8、A【解析】由题得，进而根据余弦定理求解即可.【详解】解：依题意，即，所以，所以，由于，所以故选：A9、A【解析】根据小矩形的面积之和，算出位于10～30的2组数的频率之和为0.33,从而得到位于30～50的数据的频率之和为1-0.33=0.67，再由频率计算公式即可算出样本容量的值.【详解】位于10～20、20～30的小矩形的面积分别为位于10～20、20～30的据的频率分别为0.1、0.23可得位于10～30的前3组数的频率之和为0.1+0.23=0.33由此可得位于30～50数据的频率之和为1-0.33=0.67∵支出在[30,50)的同学有67人,即位于30～50的频数为67，∴根据频率计算公式，可得解之得.故选：A10、B【解析】根据等差数列求和公式结合等差数列的性质即可求得.【详解】解析：因为为等差数列，所以，即，.故选:B11、B【解析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断；【详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当或时，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点，因为，所以曲线在处切线的斜率大于零，故选：B12、D【解析】因为抛物线方程可化为，所以抛物线的焦点到准线的距离是，故选D.考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的几何性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求解.【详解】根据导数的几何意义可知，，且，所以.故答案为：14、【解析】根据图形可求出与棱锥的体积之比，即可求出结果【详解】如图所示：棱锥可看成正四棱锥减去四个小棱锥的体积得到，设正四棱锥的体积为，为PB的中点，为PD的中点，所以，而，同理，故棱锥的体积的为，即棱锥与棱锥的体积之比为故答案为：.15、【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角.【详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，0，，，0，，，2，，，1，，，，设异面直线与所成角为，，异面直线与所成角为.故答案为：.16、【解析】根据二元二次方程表示圆的条件求解【详解】由题意，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）80m；（2）.【解析】（1）根据斜率的公式，结合解方程组法和两点间距离公式进行求解即可；（2）根据圆的切线性质进行求解即可.【小问1详解】由题意，可知，，∵∴直线BC方程：①，同理可得：直线AB方程：②由①②可知，∴，从而得故新桥BC得长度为80m【小问2详解】设，则，圆心，∵直线BC与圆M相切，∴半径，又因为，∵∴，所以当时，圆M的面积达到最小18、（1）（2）答案见解析【解析】（1）由正弦定理及正弦的两角和公式可求解；（2）选择条件①，由正弦定理及辅助角公式可求解；选择条件②，由余弦定理及正切三角函数可求解；选择条件③，由余弦定理可求解【小问1详解】由，可得，则.∴，在中，，则，∵，∴，∴，∵，∴.【小问2详解】选择条件①，在中，，可得，∵，∴，∴，根据辅助角公式，可得，∵，∴，即，故.选择条件②由，得，∵，∴，因此，，整理得，即，则.在中，，∴.故.选择条件③由，得，即，整理得，由于，则方程无解，故不存在这样的三角形.19、（1）；（2）或.【解析】（1）由已知可得，，且焦点在轴上，进而可得椭圆的标准方程；（2）由已知可得，，此时焦点在轴上，或，，此时焦点在轴上，进而可得椭圆的标准方程；【小问1详解】解：椭圆经过点，，，，，且焦点在轴上，椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：长轴长是短轴长的3倍，且经过点，当点在长轴上时，，，此时焦点在轴上，此时椭圆的标准方程为；当点在短轴上时，，，此时焦点在轴上，此时椭圆的标准方程.综合得椭圆的方程为或.20、（1）（2）【解析】（1）解不等式得到解集，根据题意列出不等式组，求出的取值范围；（2）先解不等式，再根据充分不必要条件得到是的真子集，进而求出的取值范围.【小问1详解】因为，由可得：，因为“，”为真命题，所以，即，解得：.即的取值范围是.【小问2详解】因为，由可得：，，因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，所以（等号不同时取），解得：，即的取值范围是.21、（1）（2）存在，【解析】(1)由条件列出，，的方程，解方程求出，，，由此可得椭圆E的方程：(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线的方程与椭圆方程化简可得，设，，可得，，由此证明，再证明当直线的斜率不存在时也成立，由此确定存在实数t，使得恒成立【小问1详解】由已知得，离心率，所以，故椭圆E的方程为.【小问2详解】当直线l的斜率存在时，设，，，联立方程组得，，所以，..，，所以.所以.当直线l的斜率不存在时，，联立方程组，得，.，，所以.综上，存在实数使得恒成立.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22、（1）