江西省吉安市永丰中学2025届高一数学第一学期期末复习检测试题含解析

江西省吉安市永丰中学2025届高一数学第一学期期末复习检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（）.A. B.C. D.2．已知偶函数的定义域为且，，则函数的零点个数为（）A. B.C. D.3．已知向量，且，则A. B.C.2 D.-24．函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A. B.C. D.5．已知函数的部分图像如图所示，则正数A值为（）A. B.C. D.6．已知点．若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为A.4 B.3C.2 D.17．已知角的终边经过点，则（）.A. B.C. D.8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（

）A.1：3 B.1：（）C.1：9 D.9．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（）A. B.C. D.10．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A. B.C D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．写出一个最小正周期为2的奇函数________12．在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，，的纵坐标分别为，.则的终边与单位圆交点的纵坐标为_____________.13．过点且在轴，轴上截距相等的直线的方程为___________.14．函数的单调减区间为__________15．已知向量不共线，，若，则___16．第24届冬季奥林匹克运动会简称“北京—张家口冬奥会”，将于2022.2.4～2022.2.20在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.某公司为迎接冬奥会的到来，设计了一款扇形的纪念品，扇形圆心角为2，弧长为12cm，则扇形的面积为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.（1）求的值；（2）证明：是定义域上的减函数；（3）若，解不等式.18．已知全集，集合，（1）求，；（2）若，，求实数m的取值范围.19．在平面直角坐标系中,设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点,经过这三点的圆记为(1)求圆的方程；(2)若过点的直线与圆相交,所截得的弦长为4,求直线的方程.20．已知，计算下列各式的值.（1）；（2）.21．某学校对高一某班的名同学的身高（单位：）进行了一次测量，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值，估计全班同学身高的中位数；（2）若采用分层抽样的方法从全班同学中抽取了名身高在内的同学，再从这名同学中任选名去参加跑步比赛，求选出的名同学中恰有名同学身高在内的概率.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】求出在，上的值域，利用的性质得出在，上的值域，再求出在，上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出的范围【详解】解：当时，，可得在，上单调递减，在上单调递增，在，上的值域为，，在上的值域为，，在上的值域为，，，，在上的值域为，，当时，为增函数，在，上的值域为，，，解得；当时，为减函数，在，上的值域为，，，解得；当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上，的范围是或故选：【点睛】本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则值域是值域的子集2、D【解析】令得，作出和在上的函数图象如图所示，由图像可知和在上有个交点，∴在上有个零点，∵，均是偶函数，∴在定义域上共有个零点，故选点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等3、A【解析】由于两个向量垂直，故有.故选：A4、B【解析】观察在上的图象，从而得到的取值范围.【详解】解：观察在上的图象，当时，或，当时，，∴的最小值为：，的最大值为：，∴的取值范围是故选：B【点睛】本题考查余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象，考查数形结合思想，属基础题5、B【解析】根据图象可得函数的周期，从而可求，再根据对称轴可求，结合图象过可求.【详解】由图象可得，故，而时，函数取最小值，故，故，而，故，因为图象过，故，故，故选：B.6、A【解析】直线方程为即．设点，点到直线的距离为，因为，由面积为可得即，解得或或．所以点的个数有4个．故A正确考点：1直线方程；2点到线的距离7、A【解析】根据三角函数的概念，，可得结果.【详解】因为角终边经过点所以故选：A【点睛】本题主要考查角终边过一点正切值的计算，属基础题.8、B【解析】平行于底面的平面截圆锥可以得到一个小圆锥，利用它的底面与原圆锥的底面的面积之比得到相应的母线长之比，故可得截面分母线段长所成的两段长度之比.【详解】设截面圆的半径为，原圆锥的底面半径为，则，所以小圆锥与原圆锥的母线长之比为，故截面把圆锥母线段分成的两段比是.选B.【点睛】在平面几何中，如果两个三角形相似，那么它们的面积之比为相似比的平方，类似地，在立体几何中，平行于底面的平面截圆锥所得的小圆锥与原来的圆锥的底面积之比为，体积之比为（分别为小圆锥的底面半径和原圆锥的底面半径）.9、D【解析】根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.【详解】因为点C为的中点，，所以，所以，因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，所以的取值范围是,故选：D.10、A【解析】求得每个选项中函数的定义域，结合对应关系是否相等，即可容易判断.【详解】对于A：，，定义域均为，两个函数的定义域和对应关系都相同，表示同一函数；对于B：的定义域为R，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于：的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于D：的定义域为，的定义域为或，两个函数的定义域不同，不是同一函数.故选：A.【点睛】本题考查函数相等的判断，属简单题；注意函数定义域的求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据奇函数性质可考虑正弦型函数，，再利用周期计算，选择一个作答即可.【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数，，满足，即是奇函数；根据最小正周期，可得.故函数可以是中任一个，可取.故答案为：.12、【解析】根据任意角三角函数的定义可得，，，，再由展开求解即可.【详解】以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，，的纵坐标分别为，所以，是锐角，可得，因为锐角的终边与单位圆相交于Q点，且纵坐标为，所以，是锐角，可得，所以，所以的终边与单位圆交点的纵坐标为.故答案为：.13、或【解析】当直线不过原点时设截距式方程；当直线过原点时设,分别将点代入即可【详解】由题,当直线不过原点时设,则,所以,则直线方程为,即；当直线过原点时设,则,所以,则直线方程为,即,故答案为:或【点睛】本题考查求直线方程,考查截距式方程的应用,截距相同的直线问题,需注意过原点的情况14、##【解析】由幂函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断法则即可求解.【详解】解：函数的定义域为，令，，，因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调减区间为，单调增区间为.故答案为：.15、【解析】由，将表示为的数乘，求出参数【详解】因为向量不共线，，且，所以，即，解得【点睛】向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得16、36【解析】首先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；【详解】解：依题意、cm，所以，即cm，所以；故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）令即可求得结果；（2）设，由即可证得结论；（3）将所求不等式化为，结合单调性和定义域的要求即可构造不等式组求得结果.【小问1详解】令，则，解得：；【小问2详解】设，则，，，，是定义域上的减函数；【小问3详解】由得：，即，又，，是定义域上的减函数，，解得：；又，，的解集为.【点睛】思路点睛：本题考查抽象函数的函数值的求解、单调性证明以及利用单调性求解函数不等式的问题；求解函数不等式的基本思路是将所求不等式化为同一函数的两个函数值之间的比较问题，进而通过函数的单调性得到自变量的大小关系.18、（1），或（2）【解析】（1）首先解指数不等式求出集合，再根据交集、并集、补集的定义计算可得；（2）依题意可得，即可得到不等式，解得即可；小问1详解】解：由，即，解得，所以，又，所以，或，所以或；【小问2详解】解：因为，所以，所以，解得，即；19、(1);(2)或【解析】（1）先求得圆三个交点，，由和的垂直平分线得圆心，进而得半径；（2）易得圆心到直线的距离为1，讨论直线斜率不存在和存在时，利用圆心到直线的距离求解即可.试题解析：二次函数的图像与两坐标轴轴的三个交点分别记为(1)线段的垂直平分线为,线段的垂直平分线,两条中垂线的交点为圆心,又半径,∴圆的方程为:(2)已知圆的半径,弦长为4,所以圆心到直线的距离为1,若直线斜率不存在时,即时,满足题意;当直线斜率存在时,设直线斜率存在为,直线方程为,此时直线方程为:,所以直线的方程为:或.点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小20、（1）；（2）.【解析】（1）将分子分母同除以，再将代入，得到要求式子的值（2）先将变形为，再将分子分母同除以，求得要求式子值【详解】∵，∴∴（1）将分子分母同除以，得到；（2）【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题21、（1），中位数为（2）【解析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值，设中位数为，利用中位数左边的矩形面积之和为列等式可求得的值；（2）分析可知所抽取的名学生，身高在的学生人数为，分别记为、、，身高在的学生人数为，记为，列举