四川省眉山市仁寿第一中学校南校区2025届高二数学第一学期期末调研试题含解析

四川省眉山市仁寿第一中学校南校区2025届高二数学第一学期期末调研试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.2．已知p：，q：，那么p是q的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3．如图，执行该程序框图，则输出的的值为（）A. B.2C. D.34．已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（）A B.C. D.5．平行六面体中，若，则（）A. B.1C. D.6．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.7．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.8．已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.9．以轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（）A. B.C.或 D.或10．下列说法错误的是（）A.“若，则”的逆否命题是“若，则”B.“”的否定是”C.“是"”的必要不充分条件D.“或是"”的充要条件11．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数n的值是（）A. B.C. D.12．如图所示几何体的正视图和侧视图都正确的是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将集合且中所有的元素从小到大排列得到的数列记为，则___________（填数值）.14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M是双曲线左支上的一点，若，，则双曲线的离心率是____________15．若数列满足，，设，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得______________16．已知抛物线的焦点与的右焦点重合，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等比数列的公比，且，的等差中项为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由19．（12分）已知等差数列前n项和为，，，若对任意的正整数n成立，求实数的取值范围.20．（12分）如图，在长方体中，，点E在棱上运动（1）证明：；（2）当E为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值；（3）等于何值时，二面角的大小为？21．（12分）已知椭圆的一个焦点坐标为，离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，点P在椭圆C上，若的面积为，求点P的坐标22．（10分）已知函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】取中点，连接，，证明平面，从而可得为与平面所成角，再利用三角函数计算的正弦值.【详解】取中点，连接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴为与平面所成角，由题意，，，在中，.故选：C2、C【解析】若p成立则q成立且若q成立不能得到p一定成立,p是q充分不必要条件.【详解】因为>0,<1,所以若p：成立，一定成立,但q：成立，p：不一定成立,所以p是q的充分不必要条件.故选：C.3、B【解析】根据程序流程图依次算出的值即可.【详解】，第一次执行，，第二次执行，，第三次执行，，所以输出.故选：B4、A【解析】构造，应用导数及已知条件判断的单调性，而题设不等式等价于即可得解.【详解】设，则，∴在R上单调递增.又，则.∵等价于，即，∴，即所求不等式的解集为.故选：A5、D【解析】根据空间向量的运算，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案.【详解】在平行六面体中，有，故由题意可知：，即，所以，故选：D.6、D【解析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程【详解】由题可知，抛物线焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得故选：【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题7、C【解析】由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.【详解】由题知直线AB的方程为，即，∴到直线AB距离，又三角形的内切圆的面积为，则半径为1，由等面积可得，.故选：C.8、D【解析】由可得直角三角形，故，且，结合，联立可得，即得解【详解】由题意，故为直角三角形，，又，，又为直角三角形，故，，即，.故选：D.9、C【解析】由分焦点在轴的正半轴上和焦点在轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据，即可求解.【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，且通经长为8，当抛物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的方程为，可得，解得，所以抛物线方程为；当抛物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为，可得，解得，所以抛物线方程为，所以所求抛物线的方程为.故选：C.10、C【解析】利用逆否命题、命题的否定、充分必要性的概念逐一判断即可.【详解】对于A，“若，则”的逆否命题是“若，则”，正确；对于B，“”的否定是”，正确；对于C，“”等价于“或，∴“是"”的充分不必要条件，错误；对于D，“或是"”的充要条件，正确.故选：C11、C【解析】首先根据抛物线焦半径公式得到，从而得到，再根据曲线的一条渐近线与直线AM平行，斜率相等求解即可.【详解】由题知：，解得，抛物线.双曲线的左顶点为，，因为双曲线的一条渐近线与直线平行，所以，解得.故选：C12、B【解析】根据侧视图，没有实对角线，正视图实对角线的方向，排除错误选项，得到答案.【详解】侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应从左上角画到右下角，故C排除.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、992【解析】列举数列的前几项，观察特征，可得出.详解】由题意得观察规律可得中，以为被减数的项共有个，因为，所以是中的第5项，所以.故答案为：992.14、5【解析】根据得出，设，从而利用双曲线的定义可求出，的关系，从而可求出答案.【详解】设双曲线的焦距为，则，因为，所以，因为，不妨设，，由双曲线的定义可得，所以，，由勾股定理可得，，所以，所以双曲线的离心率故答案为：.15、n【解析】先对两边同乘以4，再相加，化简整理即可得出结果.【详解】由①得：②所以①②得：，所以，，故答案为【点睛】本题主要考查类比推理的思想，结合错位相减法思想即可求解，属于基础题型.16、【解析】求出抛物线的焦点坐标即为的右焦点可得答案.【详解】由题意可知：抛物线的焦点坐标为，由题意知表示焦点在轴的椭圆，在椭圆中：，所以，因为，所以.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】（1）将题目的条件写成的形式并求解，写出等比等比数列通项公式；（2）利用错位相减法求和.小问1详解】由题意可得，，∴，∵，∴，∴数列的通项公式为.【小问2详解】，∴①，②，①-②可得，∴.18、（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】(1)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的单位向量，从而可证明线面平行.(2)令，，设，求出，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出的值.【详解】证明：过作于点，则，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系则，，，

，，，∵为的中点．∴．则，，，设平面的法向量为，则令，则，，∴．∴，即，又平面．∴平面解：令，，设，∴．∴，∴

.由知，平面的法向量为.∵直线与平面所成角的正弦值为，∴，化简得，即，∵，∴，故【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面平行，考查了平面法向量的求解，属于中档题.19、【解析】设等差数列的公差为，根据题意得，解方程得，，进而得，故恒成立，再结合二次函数的性质得当或4时，取得最小值，进而得答案.【详解】解：设等差数列的公差为，由已知，.联立方程组，解得，.所以，，由题意，即.令，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为，所以当或4时，取得最小值，所以实数的取值范围是.20、（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】（1）连接、，长方体、线面垂直的性质有、，再根据线面垂直的判定、性质即可证结论.（2）连接，由已知条件及勾股定理可得、，即可求、，等体积法求到面的距离，又直线与面所成角即为与面所成角，即可求线面角的正弦值.（3）由题设易知二面角为，过作于，连接，可得二面角平面角为，令，由长方体的性质及勾股定理构造方程求即可.【小问1详解】由题设，连接、，又长方体中，∴为正方形，即，又面，面，即，∵，面，∴面，而面，即.【小问2详解】连接，由E为棱的中点，则，∴，又，故，∴，又，，故，则，由，若到面的距离为，又，，∴，可得，又，∴直线与面所成角即为与面所成角为，故.【小问3详解】二面角大小为，即二面角为，由长方体性质知：面，面，则，过作于，连接，又，∴面，则二面角平面角为，∴，令，则，故，而，，∴，∴，整理得，解得.∴时，二面角的大小为.21、（1）（2）或或或【解析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的标准方程.（2）根据三角形的面积列方程，化简求得点的坐标.【小问1详解】设椭圆C的焦距为，由题意