2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.5增长速度的比较课时素养评价含解析新人教B版必修第二册

PAGE增长速度的比较(15分钟30分)1.下列函数中函数值随x的增大而增长,且函数值增长速度最快的是 ()A.y=QUOTEex B.y=10lnx3C.y=x10 D.y=10·2x【解析】选A.对于C,函数值随x的增大先减小后增大,不符合题意,对于B,可化为y=30lnx,函数值增长速度越来越慢,而A,D中函数值增长速度越来越快,因为e>2,所以QUOTEex比10·2x增长速度快.故选A.2.函数y=x2+1在QUOTE上的平均改变率是 ()A.2 B.2xC.2+Δx D.2+QUOTE【解析】选C.依题意,所求平均改变率为QUOTE=2+Δx.3.有一组试验数据如表所示:t12345s1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是 ()A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)【解析】选C.通过所给数据可知s随t的增大而增大,其增长速度越来越快,而A、D中的函数增长速度越来越慢,而B中的函数增长速度保持不变.4.某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长10.4%,若经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图像是下图中的 ()【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+10.4%;经过2年森林的蓄积量为(1+10.4%)2;…;经过x年的森林蓄积量为(1+10.4%)x(x≥0),因为底数110.4%大于1,依据指数增长的特征可知选D.5.若函数f(x)在随意区间内的平均改变率比g(x)=1在同一区间内的平均改变率大,则函数f(x)可以为______,函数f(x)是________函数.(填“单调递增”或“单调递减”)

【解析】因为函数g(x)=1在随意区间上的改变率为0,所以函数f(x)在随意区间上的改变率为正数,所以函数f(x)可以为f(x)=x,且函数f(x)是单调递增函数.答案:x(答案不唯一)单调递增6.若函数f(x)在随意区间内的平均改变率均为QUOTE,且函数的图像过(2,2)点,求f(x)的解析式.【解析】因为函数f(x)在随意区间内的平均改变率均为QUOTE,则f(x)为一次函数,设f(x)=QUOTEx+b,又函数图像过点(2,2),所以2=QUOTE×2+b,所以b=1,所以f(x)=QUOTEx+1.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均改变率等于 ()A.-1 B.1 C.-2 D.2【解析】选A.易知fQUOTE=3,fQUOTE=1,因此QUOTE=-1.2.函数f(x)=x3在区间QUOTE上的平均改变率为 ()A.1 B.9C.19 D.36【解析】选C.QUOTE=QUOTE=19.3.函数f(x)=QUOTE在区间[1,a]上的平均改变率为QUOTE,则实数a的值为 ()A.10 B.9 C.8 D.7【解析】选B.f(x)=QUOTE在区间[1,a]上的平均改变率为QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得实数a的值为9.4.已知f(x)=2x,g(x)=3x,h(x)=x3,则在区间QUOTE上函数值增长速度的大小依次是 ()A.h(x)<f(x)<g(x)B.h(x)<g(x)<f(x)C.f(x)<g(x)<h(x)D.g(x)<f(x)<h(x)【解析】选C.因为QUOTE=QUOTE=2,QUOTE=QUOTE=6,QUOTE=QUOTE=7,所以函数在区间QUOTE上的函数值增长速度的大小依次是f(x)<g(x)<h(x).二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.若函数f(x)=x2由x=1至x=1+Δx的平均改变率的取值范围是(1.975,2.025),则增量Δx的取值可以为 ()A.-0.1 B.0.001 C.0.01 D.0.1【解析】选BC.QUOTE=QUOTE=Δx+2,因为函数f(x)=x2由x=1至x=1+Δx的平均改变率的取值范围是QUOTE,所以1.975<Δx+2<2.025,-0.025<Δx<0.025,结合选项知,B,C符合题意.6.若函数f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在QUOTE上的平均改变率分别记为m1,m2,m3,则下面结论不正确的是 ()A.m1=m2=m3 B.m1>m2>m3C.m2>m1>m3 D.m1<m2<m3【解析】选BCD.函数f(x)=x在QUOTE上的平均改变率为m1=QUOTE=1;函数g(x)=x2在QUOTE上的平均改变率为m2=QUOTE=1;函数h(x)=x3在QUOTE上的平均改变率为m3=QUOTE=1;所以m1=m2=m3,故选BCD.【补偿训练】下面对函数f(x)=QUOTEx,g(x)=QUOTE和h(x)=QUOTE在区间QUOTE上的说法不正确的是 ()A.f(x)的递减速度越来越慢,g(x)的递减速度越来越快,h(x)的递减速度越来越慢B.f(x)的递减速度越来越快,g(x)的递减速度越来越慢,h(x)的递减速度越来越快C.f(x)的递减速度越来越慢,g(x)的递减速度越来越慢,h(x)的递减速度越来越慢D.f(x)的递减速度越来越快,g(x)的递减速度越来越快,h(x)的递减速度越来越快【解析】选ABD.视察函数f(x)=QUOTEx,g(x)=QUOTE和h(x)=QUOTE在区间QUOTE上的图像,由图像(图略)可知:函数f(x)的图像在区间QUOTE上递减较快,但递减速度渐渐变慢;在区间QUOTE上递减较慢,且越来越慢.同样,函数g(x)的图像在区间QUOTE上递减较慢,且递减速度越来越慢.函数h(x)的图像在区间QUOTE上递减较快,但递减速度变慢;在区间QUOTE上递减较慢,且越来越慢.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知f(x)=3x+2在随意区间上的平均改变率为________,当自变量每增加1个单位时,函数值增加______个单位.

【解析】设区间QUOTE,则QUOTE=QUOTE=3,当自变量每增加1个单位时,函数值增加3个单位.答案:338.函数y=x2与函数y=xlnx在区间(0,+∞)上增长较快的一个是________.

【解析】当x变大时,x比lnx增长得快,所以x2要比xlnx增长得快.答案:y=x2四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=3x+1,g(x)=5x-4,(1)推断f(2),g(2)的相对大小.(2)求使f(2+Δx)<g(2+Δx)成立的Δx的取值范围.【解析】(1)因为f(2)=2×3+1=7,g(2)=2×5-4=6,所以f(2)>g(2).(2)令f(2+Δx)<g(2+Δx),则3(2+Δx)+1<5(2+Δx)-4,即2Δx>1,解得Δx>QUOTE.10.假如函数y=f(x)在区间I上是减函数,而函数QUOTE在区间I上是增函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓减函数”,区间I叫做“缓减区间”.求函数f(x)=QUOTEx2-2x+1区间的缓减区间.【解析】对于f(x)=QUOTEx2-2x+1,对称轴为x=2,在区间(-∞,2]上是减函数.对于y=QUOTE=QUOTE+QUOTE-2,令g(x)=QUOTE+QUOTE,所以g(x)为奇函数,令0<x1<x2,则g(x1)-g(x2)=QUOTE+QUOTE-QUOTE=QUOTE(x1-x2)+QUOTE-QUOTE=QUOTE(x1-x2)+QUOTE=(x1-x2)QUOTE=(x1-x2)·QUOTE,当x1,x2∈(0,QUOTE]上时,x1-x2<0,x1x2-2<0,所以g(x1)-g(x2)>0,所以g(x1)>g(x2),g(x)为减函数.当x1,x2∈[QUOTE,+∞)时,x1-x2<0,x1x2-2>0,所以g(x1)-g(x2)<0,g(x)为增函数,又g(x)为奇函数,所以在[-QUOTE,0)上是减函数,在(-∞,-QUOTE]上是增函数,所以y=QUOTE在(-∞,-QUOTE],[QUOTE,2]上是增函数,故函数f(x)的缓减区间为(-∞,-QUOTE],[QUOTE,2].1.已知函数f(x)=x2,g(x)=3x,h(x)=lnx,这三个函数在区间QUOTE(a>1)上的平均改变率的大小为________.

【解析】因为QUOTE=QUOTE=2a+1,QUOTE=QUOTE=3,QUOTE=QUOTE=lnQUOTE,又因为a>1,所以2a+1>2×1+1=3,lnQUOTE<lnQUOTE=ln2<lne=1<3,因此在区间QUOTE上,f(x)的平均改变率最大,h(x)的平均改变率最小.答案:f(x)>g(x)>h