2024-2025学年新教材高中数学第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理教师用书教案新人教A版选择性必修第三册

PAGE第六章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理新版课程标准学业水平要求通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.1.了解两个计数原理的特征.(数学抽象)2.理解两个计数原理的概念和区分.(逻辑推理)3.驾驭两个计数原理的应用.(数学运算)4.会依据实际问题的特征,合理地分类或分步.(逻辑推理,数学运算)必备学问·素养奠基1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同方法.(1)定义中每一类中的每一种方法能否独立完成这件事?提示:能,每一类中的每一种方法都能独立完成这件事.(2)各种方案之间有何关系?每一类方案中各种方法之间有何关系?提示:各种方案之间相互独立,并且任何一类方案中任何一种方法也相互独立.2.分步乘法计数原理完成一件事须要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.(1)定义中每一步中的每一种方法能否独立完成这件事?提示:不能,每一步中的每一种方法不能独立完成这件事.(2)定义中的“完成一件事”指的是什么?提示:完成一件事指的是将完成这件事划分成几个步骤,各步骤之间有肯定的连续性,只有当全部步骤都完成了,整个事务才算完成.(3)依据定义完成一件事的方法数怎样计算?提示:从计数上看,各步的方法数的积就是完成这一件事的方法总数.3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区分与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理关键词分类分步本质每类方案都能独立完成这件事,它是独立的、一次性的且每次得到的是最终结果,只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事各类(步)的关系各类方案之间是互斥的、并列的、独立的,即“分类互斥”各步之间是关联的、独立的,“关联”确保连续性,“独立”确保不重复,即“分步互依”分类加法计数原理每一类中的方法和分步乘法计数原理每一步中的方法有何区分?提示:分类加法计数原理每一类中的方案可以完成一件事情,而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件事情.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.()(2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能编出26+10=36种不同的号码.()(3)在分类加法计数原理中的每一种方法都可以完成这件事.()提示:(1)×.在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法是不同的,若相同它只能在同一类方案中且只能算是一种方法.(2)√.因为英文字母共有26个,阿拉伯数字0～9共有10个,所以总共可以编出26+10=36(种)不同的号码.(3)√.在分类加法计数原理中的每一种方法都是独立的,可单独完成这件事.2.某校高三有三个班,分别有学生50人、50人、52人.从中选一人担当学生会主席,共有________种不同选法.()

A.100B.102C.152D.50【解析】选C.这名学生会主席可能是一班学生,可能是二班学生,也可能是三班学生.依分类加法计数原理,共有50+50+52=152种不同选法.3.现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤,假如一件上衣和一条长裤配成一套,则不同的搭配法种数为()A.7 B.12 C.64 D.81【解析】选B.完成一种搭配有两个步骤,第一步,选上衣有4种不同的选法;其次步,选长裤有3种不同的选法.所以依据分步乘法计数原理共有4×3=12种不同的搭配法.4.用1,2,3这三个数字能写出________个没有重复数字的偶数.

【解析】用1,2,3这三个数字能写出1个一位偶数,2;用1,2,3这三个数字能写出2个没有重复数字的两位偶数,12,32;用1,2,3这三个数字能写出2个没有重复数字的三位偶数,132,312.所以用1,2,3这三个数字共能写出5个没有重复数字的偶数.答案:5关键实力·素养形成类型一分类加法计数原理【典例】1.某老师有相同的语文参考书3本,相同的数学参考书4本,从中取出4本赠送给4位学生,每位学生1本,则不同的赠送方法共有()A.20种 B.15种 C.10种 D.4种2.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少1个,至多5个,则不同的分法共有()A.4种 B.5种 C.6种 D.7种3.为调查今年的北京雾霾治理状况,现从高二(1)班的男生38人和女生18人中选取1名学生做代表,参与学校组织的调查团,则选取代表的方法有________种.

【思维·引】1.先将问题分成四种状况,然后求出每种状况下的安排方法数,再依据分类加法计数原理计算.2.利用分类:三堆中“最多”的一堆为5个,其他两堆总和为5,三堆中“最多”的一堆为4个,其他两堆总和为6,…,列出分组方法即可.3.先分清完成这件事可以有哪些方法,是分步还是分类.【解析】1.选B.若4本中有3本语文参考书和1本数学参考书,则有4种方法,若4本中有1本语文参考书和3本数学参考书,则有4种方法,若4本中有2本语文参考书和2本数学参考书,则有6种方法,若4本都是数学参考书,则有一种方法,所以不同的赠送方法共有4+4+6+1=15(种).2.选A.分类:三堆中“最多”的一堆为5个,其他两堆总和为5,每堆至少1个,只有2种分法.即1个和4个,2个和3个.三堆中“最多”的一堆为4个,其他两堆总和为6,每堆至少1个,只有2种分法.即2个和4个,3个和3个.三堆中“最多”的一堆为3个,那是不行能的.所以不同的分法共有2+2=4.3.完成这件事须要分两类完成:第一类:选1名男生,有38种选法;其次类:选1名女生,有18种选法,依据分类加法计数原理,共有N=38+18=56(种)不同的选法.答案:56【内化·悟】用分类加法计数原理解决实际问题时,分类标准是否唯一?提示:分类标准并不唯一,但应先确定一个适合的分类标准,然后在这个标准下进行分类.【类题·通】分类加法计数原理解题的一般思路【习练·破】1.有3个袋子,分别装有不同编号的红色小球6个、白色小球5个、黄色小球4个.若从3个袋子中任取1个小球,则有________种不同的取法.

【解析】有3类不同方法:第1类,从第1个袋子中任取1个红色小球,有6种不同的取法;第2类,从第2个袋子中任取1个白色小球,有5种不同的取法;第3类,从第3个袋子中任取1个黄色小球,有4种不同的取法.其中,从这3个袋子的随意1个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事,依据分类加法计数原理,不同的取法共有6+5+4=15(种).答案:152.由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字可组成多少个个位数字大于十位数字的两位偶数?【解析】由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字可组成的个位数字大于十位数字的两位偶数分以下四类:(1)个位数字是2的有1个:12;(2)个位数字是4的有3个:14,24,34;(3)个位数字是6的有5个:16,26,36,46,56;(4)个位数字是8的有7个:18,28,38,48,58,68,78.所以由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字可组成的个位数字大于十位数字的两位偶数共有1+3+5+7=16个.【加练·固】满意a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14 B.13 C.12 D.10【解析】选B.①当a=0时,2x+b=0总有实数根,所以(a,b)的取值有4个.②当a≠0时,需Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.a=-1时,b的取值有4个,a=1时,b的取值有3个,a=2时,b的取值有2个.所以(a,b)的取法有9个.综合①②知,(a,b)的取法有4+9=13个.类型二分步乘法计数原理【典例】1.现有6名同学去听同时进行的5个课外学问讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是()A.56 B.652.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.明显2位回文数有9个:11,22,33,…,99;3位回文数有90个101,111,121,…,191,202,…,999.则5位回文数有________个.

3.一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码?(各位上的数字允许重复)【思维·引】1.因各讲座同时进行,故每名同学有5种选择方法,由分步乘法计数原理可得不同的选法种数.2.左边第一个数字有9种选法,左边其次个数字有10种选法,左边第三个数字有10种选法,依据分步乘法计数原理可得结果.3.要确定四位数的号码,先确定第一位数,再依次确定其次、三、四位数的号码,依据分步乘法计数原理即可求解.【解析】1.选A.第一名同学有5种选择方法,其次名也有5种选择方法,…,依次,第六名同学有5种选择方法,综上,6名同学共有56种不同的选法.2.第一步,选左边第一个数字和右边第一个数字相同,有9种选法;其次步,选左边其次个数字和右边其次个数字相同,有10种选法;第三步,选左边第三个数字就是右边第三个数字,有10种选法,故5位回文数有9×10×10=900.答案:9003.按从左到右的依次拨号可以分四步完成:第一步,有10种拨号方式,所以m1=10;其次步,有10种拨号方式,所以m2=10;第三步,有10种拨号方式,所以m3=10;第四步,有10种拨号方式,所以m4=10.依据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×10×10×10=10000(个)四位数的号码.【素养·探】在分步乘法计数原理的应用过程中,常常利用核心素养中的数学运算,通过对条件的分析,选择合适的角度,依据分步乘法计数原理进行计算.在本例3中,若各位上的数字不允许重复,那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码?【解析】按从左到右的依次拨号可以分四步完成:第一步,有10种拨号方式,即m1=10;其次步,去掉第一步拨的数字,有9种拨号方式,即m2=9;第三步,去掉前两步拨的数字,有8种拨号方式,即m3=8;第四步,去掉前三步拨的数字,有7种拨号方式,即m4=7.依据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×9×8×7=5040(个)四位数的号码.【类题·通】1.运用分步乘法计数原理计数的两个留意点一是要依据事务发生的过程合理分步,即分步是有先后依次的;二是各步中的方法相互依存,缺一不行,只有各个步骤都完成才算完成这件事.2.利用分步乘法计数原理计数时的解题流程【习练·破】1.定义集合A与B之间的运算A*B={(x,y)|x∈A,y∈B},若A={a,b,c},B={a,c,d,e},则集合A*B中元素个数为________.

【解析】确定有序数对(x,y)须要两个步骤,第一步,确定x的值有3种不同的方法;其次步,确定y的值有4种不同的方法.所以集合A*B中元素个数为3×4=12.答案:122.在平面直角坐标系内,若点P(x,y)的横、纵坐标均在{0,1,2,3}内取值,则可以组成多少个不同的点P.【解析】确定点P的坐标必需分两步,即分步确定点P的横坐标与纵坐标.第一步,确定横坐标,从0,1,2,3四个数字中选一个,有4种方法;其次步,确定纵坐标,从0,1,2,3四个数字中选一个,也有4种方法.依据分步乘法计数原理,全部不同的点P的个数为4×4=16.故可以组成16个不同的点P.【加练·固】用0,1,2,3,4,5,6这七个数字共能组成多少个两位数.【解析】第一步,确定十位数字,1,2,3,4,5,6六个数字都可以选择,有6种方法;其次步,确定个位数字,0,1,2,3,4,5,6七个数字都可以选择,有7种选法.依据分步乘法计数原理,不同的两位数共有6×7=42(个).故可以组成42个两位数.类型三两个原理的综合应用【典例】现有高一学生50人,高二学生42人,高三学生30人,组成冬令营.(1)若从中选1人作总负责人,共有多少种不同的选法?(2)若每年级各选1名负责人,共有多少种不同的选法?(3)若从中推选两人作为中心发言人,要求这两人要来自不同的年级,则有多少种选法?【思维·引】(1)从全部的学生中选一人;(2)从每一年级各选一人;(3)可分三种状况:从高一、二各选一人,从高二、三各选一人,从高一、三各选一人.【解析】(1)从高一选1人作总负责人有50种选法;从高二选1人作总负责人有42种选法;从高三选1人作总负责人有30种选法.由分类加法计数原理,可知共有50+42+30=122(种)选法.(2)从高一选1名负责人有50种选法;从高二选1名负责人有42种选法;从高三选1名负责人有30种选法.由分步乘法计数原理,可知共有50×42×30=63000(种)选法.(3)①高一和高二各选1人作为中心发言人,有50×42=2100(种)选法;②高二和高三各选1人作为中心发言人,有42×30=1260(种)选法;③高一和高三各选1人作为中心发言人,有50×30=1500(种)选法.故共有2100+1260+1500=4860(种)选法.【类题·通】利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决详细问题时,首先,要分清是“分类”还是“分步”,区分分类还是分步的关键是看这种方法能否完成这件事情.其次,要清晰“分类”或“分步”的详细标准,在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则,在“分步”时要正确设计“分步”的程序,留意步与步之间的连续性;有些题目中“分类”与“分步”同时进行,即“先分类后分步”或“先分步后分类”.【习练·破】用0,1,2,3,…,9十个数字可组成多少个不同的:(1)三位数?(2)无重复数字的三位数?(3)小于500且没有重复数字的自然数?【解析】(1)由于0不能在百位,所以百位上的数字有9种选法,十位与个位上的数字均有10种选法,所以不同的三位数共有9×10×10=900(个).(2)百位上的数字有9种选法,十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法,个位上的数字应从剩余8个数字中选取,所以共有9×9×8=648个无重复数字的三位数.(3)满意条件的一位自然数有10个,二位自然数有9×9=81(个),三位自然数有4×9×8=288(个).因为10+81+288=379(个),所以共有379个小于500且无重复数字的自然数.课堂检测·素养达标1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有6名同学只会用综合法证明,有4名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数为()A.10 B.16【解析】选A.每一种方法都能证明该问题,依据分类加法计数原理,不同的选法共有6+4=10(种).2.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数中,比2019大的数的个数为()A.10 B.11 C.12 D.13【解析】选B.依据题意,分2种状况探讨:①当千位为3时,百位有3种状况;十位有2种状况,个位有1种状况,共有3×2×1=6种状况.②当千位为2时,若百位为1或3时,则剩下的十位有2种状况:个位有1种状况,总共2×2×1=4种状况,即有4个符合条件的4位数;若百位为0时,只有2031一个符合条件的4位数;综上共有6+4+1=11个符合条件的4位数.3.一个科技小组中有4名女同学