2024-2025学年新教材高中数学第2章等式与不等式2.2.1第1课时不等式及其性质课后素养落实含解析新人教B版必修第一册

PAGE课后素养落实(十三)不等式及其性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则()A．a＞b B．a＜bC．a≥b D．a≤bC[∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b.]2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是()A．a>eq\f(a,b)>eq\f(a,b2) B．eq\f(a,b2)>eq\f(a,b)>aC．eq\f(a,b)>a>eq\f(a,b2) D．eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>aD[取a＝－2，b＝－2，则eq\f(a,b)＝1，eq\f(a,b2)＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(a,b)>eq\f(a,b2)>a.故选D．]3．若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．ac＞bc B．ab＞acC．a|b|＞c|b| D．a2＞b2＞c2B[∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴A不正确；对于B，ab＞ac⇔a(b－c)＞0.又b－c＞0，a＞0，故B正确；由于|b|有可能为0，故C不正确；若a＝2，b＝1，c＝－3，明显a＋b＋c＝0，但a2＞b2且b2＜c2，故D不正确．]4．(多选题)若x＞1＞y，则下列不等式肯定成立的是()A．x－1＞1－y B．x－1＞y－1C．x－y＞1－y D．1－x＞y－xBCD[对选项A可用特别值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1＜1－(－1)＝1－y，故选项A中不等式不成立；x－1－(y－1)＝x－y＞0，故选项B中不等式成立；x－y－(1－y)＝x－1＞0，故选项C中不等式成立；1－x－(y－x)＝1－y＞0，故选项D中不等式成立，故选BCD．]5．已知c＞1，且x＝eq\r(c＋1)－eq\r(c)，y＝eq\r(c)－eq\r(c－1)，则x，y之间的大小关系是()A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定C[用作商法比较，由题意x，y＞0，∵eq\f(x,y)＝eq\f(\r(c＋1)－\r(c),\r(c)－\r(c－1))＝eq\f(\r(c)＋\r(c－1),\r(c＋1)＋\r(c))＜1，∴x＜y.]二、填空题6．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．m3>m2－m＋1[∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)，又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0，∴m3＞m2－m＋1．]7．给出以下四个命题：①a＞b⇒an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|⇒an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0⇒eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)；④a＜b＜0⇒eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a).其中真命题的序号是________．②③[①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；③a＜b＜0，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)成立；④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)，④不成立．]8．某公司有20名技术人员，安排开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预料产值如下：电子器件种类每件须要人员数每件产值(万元/件)A类eq\f(1,2)7.5B类eq\f(1,3)6今制订安排欲使总产量最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．20330[设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件．依据题意，得eq\f(x,2)＋eq\f(50－x,3)≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．]三、解答题9．已知x∈R且x≠－1，比较eq\f(1,1＋x)与1－x的大小．[解]∵eq\f(1,1＋x)－(1－x)＝eq\f(1－1－x2,1＋x)＝eq\f(x2,1＋x)，当x＝0时，eq\f(1,1＋x)＝1－x；当1＋x＜0，即x＜－1时，eq\f(x2,1＋x)＜0，∴eq\f(1,1＋x)＜1－x；当1＋x＞0且x≠0，即－1＜x＜0或x＞0时，eq\f(x2,1＋x)＞0，∴eq\f(1,1＋x)＞1－x.10．已知3＜a＋b＜4,0＜b＜1，求下列各式的取值范围．(1)a；(2)a－b；(3)eq\f(a,b).[解](1)∵3＜a＋b＜4,0＜b＜1，∴－1＜－b＜0，∴2＜a＋b＋(－b)＜4，即2＜a＜4.(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.又∵2＜a＜4，∴1＜a－b＜4.(3)∵0＜b＜1，∴eq\f(1,b)＞1，又∵2＜a＜4，∴eq\f(a,b)＞2.1．(多选题)已知a，b，c，d∈R，则下列结论中不成立的是()A．若a＞b，c＞b，则a＞cB．若a＞－b，则c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，则eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)D．若a2＞b2，则－a＜－bACD[选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，明显不成立；选项C，不满意倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D，只有当a＞b＞0时才成立．故选ACD．]2．有三个房间须要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋czB[法一：∵x＜y＜z且a＜b＜c，∴ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)＞0，∴ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(z－x)(b－c)＜0，∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz；同理，az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(z－y)(a－b)＜0，∴az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx.∴最低费用为az＋by＋cx(元)．故选B．法二：(特别值法)：取x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝1×1＋2×2＋3×3＝14；az＋by＋cx＝1×3＋2×2＋3×1＝10；ay＋bz＋cx＝1×2＋2×3＋3×1＝11；ay＋bx＋cz＝1×2＋2×1＋3×3＝13.故选B．]3．当x，y，z∈R时，记M＝5x2＋y2＋z2，N＝2xy＋4x＋2z－2，则M，N的大小关系是________．M≥N[M－N＝5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝eq\f(1,2)且z＝1时取到等号．∴M≥N.]4．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则4a－2b[－2,10][法一：设u＝a＋b，v＝a－b得a＝eq\f(u＋v,2)，b＝eq\f(u－v,2)，∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤法二：令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.))又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a＋b≤4，,－3≤3a－b≤6.))∴－2≤4a－2b≤有三个实数m，a，b(a≠b)，假如在a2(m－b)＋m2b中，把a和b互换，所得的代数式的值比原式的值小，那么关系式a＜m＜b是否可能成