2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.4.2空间图形的公理课时作业含解析北师大版必修2

PAGE课时作业5公理4及定理|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若直线a∥b，b∩c＝A，则a与c的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交解析：a与c不行能平行，否则由a∥b，得b∥c与b∩c＝A冲突．故选D.答案：D2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1，方向可能不同C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不肯定平行解析：在空间中两角相等，角的两边不肯定平行，即定理的逆命题不肯定成立．故选D.答案：D3．(2024·安徽宿州十三校联考)在正方体ABCD－A1B1C1D1的全部面对角线中，与AB1成异面直线且与AB1A．1条B．2条C．3条D．4条解析：如图，△AB1C是等边三角形，所以每个内角都为60°，所以面对角线中，全部与B1C平行或与AC平行的直线都与AB又△AB1D1也是等边三角形，同理满意条件的又有2条，共4条，选D.答案：D4．如图，在四面体S－ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BCA．相交B．平行C．异面D．以上都有可能解析：连接SG1，SG2并延长，分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，则M，N分别为AB，AC的中点，由重心的性质，知eq\f(SG1,SM)＝eq\f(SG2,SN)，∴G1G2∥MN.又M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC，再由平行公理可得G1G2∥BC，故选B.答案：B5．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1A．45°B．60°C．90°D．120°解析：连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在三角形GHB中，易知GH＝HB＝GB＝eq\f(\r(2),2)a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．不共面的四点可以确定________个平面．解析：任何三点都可以确定一个平面，从而可以确定4个平面．答案：47．用一个平面去截一个正方体，截面可能是________．①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．解析：(注：这儿画了其中的特例来说明有这几种图形)答案：①②③④8．如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是________．解析：因为B1B∥A1A，所以∠BB1D就是异面直线AA1与B1D所成的角，连接BD在Rt△B1BD中，设棱长为1，则B1D＝eq\r(3).cos∠BB1D＝eq\f(BB1,B1D)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).所以AA1与B1D所成的角的余弦值为eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)三、解答题(每小题10分，共20分)9．在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠证明：因为P，N分别为AB，AC的中点，所以PN∥BC.①又因为M，N分别为A1C1，AC所以A1M綊NC所以四边形A1NCM为平行四边形，于是A1N∥MC.②由①②及∠PNA1与∠BCM对应边方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF解析：(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1∵AB1＝AC＝B1C∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1AC⊥BD，AC∥A1C1∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1即A1C1与EF|实力提升|(20分钟，40分)11．(2024·江西师大附中月考)已知a和b是成60°角的两条异面直线，则过空间一点且与a、b都成60°角的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：把a平移至a′与b相交，其夹角为60°.60°角的补角的平分线c与a、b成60°角．过空间这一点作直线c的平行线即满意条件．又在60°角的“平分面”上还有两条满意条件，选C.答案：C12．(2024·江西新余一中月考)如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别为AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，若BD＝6cm，梯形EFGH的面积为28cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．解析：EH＝3，FG＝6×eq\f(2,3)＝4，设EH，FG间的距离为h，则S梯形EFGH＝eq\f(EH＋FGh,2)＝28，得h＝8(cm)．答案：8cm13．在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1求证：(1)EF綊E1F1(2)∠EA1F＝∠E1CF1证明：(1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF綊eq\f(1,2)BD.同理，E1F1綊eq\f(1,2)B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1因为A1A綊B1B，A1A綊D1D，所以B1B綊D1所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BD綊B1D1.所以EF綊E1F1(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M因为MF1綊B1C1，B1C1綊BC，所以MF1綊所以四边形BCF1M是平行四边形．所以MB∥CF1因为A1M綊EB，所以四边形EBMA1所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1.同理可证：A1F∥E1C.又∠EA1F与∠F1所以∠EA1F＝∠E1CF114．如图，P是△ABC所在平面外一点，D，E分别是△PAB和△PBC的重心．求证：DE∥AC，DE＝eq\f(1,3)AC.证明：如图，连接PD，PE并延长分别交AB，BC于M，N.因为D，E分别是△PAB，△PBC的重心，所以M，N分别是AB，BC的中点，连接MN，则MN∥AC，且MN＝eq\f