2024-2025学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.4曲线与方程学案含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE2.4曲线与方程新课程标准学业水平要求1.了解曲线的方程与方程的曲线的关系．2．会求曲线方程，能依据方程探讨曲线的性质．1.结合教材实例理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(数学抽象)2．会推断曲线与方程的关系．(数学抽象)3．会求曲线的交点．(数学运算)4．依据详细问题情境求曲线的方程，并能利用求出的方程探讨曲线的性质．(数学运算、逻辑推理)必备学问·自主学习导思1.曲线的方程与方程的曲线的概念是什么？2．如何求曲线的方程？1.曲线的方程与方程的曲线在平面直角坐标系中，假如曲线C与方程Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0之间具有如下关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0的解．(2)以方程Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0的解为坐标的点都在曲线C上．则称曲线C为方程Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程．(1)从集合角度怎样理解曲线与方程的关系？提示：设A是曲线C上的全部点组成的点集，B是全部以方程Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0的实数解为坐标的点组成的点集，若①A⊆B；②B⊆A，则A＝B.(2)怎样推断曲线Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0与Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0是否有交点？提示：转化为方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0，,G\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0))是否有实数解．2．求动点M轨迹方程的一般步骤(1)设动点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))(假如没有平面直角坐标系，需先建立).(2)写出M要满意的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示．(3)化简并检验所得的方程是否为M的轨迹方程．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).假如曲线l上的点的坐标满意方程F(x，y)＝0，则(1)曲线l的方程是F(x，y)＝0.()(2)方程F(x，y)＝0的曲线是l.()(3)坐标不满意方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上．()(4)坐标满意方程F(x，y)＝0的点在曲线l上．()提示：因为以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点不肯定在曲线l上，所以(1)，(2)，(4)错误；坐标不满意方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上是正确的．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．(2024•台州高二检测)下列各点中，在曲线x2－xy＋2y＋1＝0上的是()A．(1，－2) B．(1，2)C．(－1，－2) D．(－2，3)【解析】选A.将各点代入验证，得A中点(1，－2)满意．3．(教材例题改编)方程x2y2＝1的曲线是()【解析】选D.方程x2y2＝1，化为xy＝±1，即y＝±eq\f(1,x).所以曲线为D.关键实力·合作学习类型一曲线与方程的概念(数学抽象)1．命题“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是命题“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】选B.依据曲线方程的概念，“曲线C的方程是f(x，y)＝0”包含“曲线C上的点的坐标都是这个方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义．2．若曲线C的方程为y＝2x－1(1<x<5)，则下列四个点中在曲线C上的是()A．(0，0)B．(7，15)C．(2，3)D．(4，4)【解析】选C.由y＝2x－1(1<x<5)得A，B的横坐标不满意题意，D项中坐标代入后不满意方程，故选C.3．下列命题正确的是________．(填序号)①设点A(2，0)，B(0，2)，则线段AB的方程是x＋y－2＝0；②到原点的距离等于5的动点的轨迹是y＝eq\r(25－x2)；③到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x2－y2＝0.【解析】命题①中方程x＋y－2＝0表示一条直线，坐标满意该方程的点如(－1，3)等不在线段AB上，故命题①错误；命题②中到原点的距离等于5的动点的轨迹方程为x2＋y2＝25，方程y＝eq\r(25－x2)表示的曲线是圆x2＋y2＝25除去x轴下半部分的曲线，故命题②错误．命题③中到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为|x|＝|y|，满意x2－y2＝0，反过来坐标满意方程x2－y2＝0的点到两坐标轴的距离相等，故命题③正确．答案：③两角度分析曲线与方程(1)曲线上点的角度：曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性．(2)方程解的角度：以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性．类型二求曲线的交点(逻辑推理、数学运算)【典例】试探讨曲线x2＋(y－1)2＝4与直线y＝k(x－2)＋4(k为参数)交点的个数．四步内容理解题意条件：曲线x2＋(y－1)2＝4与直线y＝k(x－2)＋4(k为参数)结论：求两曲线交点的个数思路探求只需把直线方程与圆方程联立，求方程组解的个数即可书写表达由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－2）＋4，,x2＋（y－1）2＝4))得(1＋k2)x2＋2k(3－2k)x＋(3－2k)2－4＝0，Δ＝4k2(3－2k)2－4(1＋k2)[(3－2k)2－4]＝4(12k－5).所以Δ>0，即k>eq\f(5,12)时，直线与圆有两个不同的交点．Δ＝0，即k＝eq\f(5,12)时，直线与圆有一个交点．Δ<0，即k<eq\f(5,12)时，直线与圆没有交点．题后反思求曲线交点的方法：联立两曲线方程，解方程组关于曲线的交点曲线Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0与Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0的交点个数等价于方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0，,G\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y))＝0))解的个数，交点坐标即方程组的解，利用这一关系，可以解决曲线的交点问题．若曲线xy＋y＋(k－5)x＋2＝0和直线x－y－k＝0的交点的横坐标为正，求实数k的范围．【解析】将两曲线方程联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xy＋y＋（k－5）x＋2＝0，,y＝x－k，))消去y得x2－4x＋2－k＝0，由Δ≥0得k≥－2，x＝eq\f(4±\r(8＋4k),2)，所以x1＝2＋eq\r(2＋k)，x2＝2－eq\r(2＋k)，因交点横坐标为正，且k≥－2，故有2>eq\r(2＋k)，所以－2≤k<2，所以k的范围是{k|－2≤k<2，k∈R}．类型三曲线方程的性质与求法(逻辑推理)eq\a\vs4\al(,,角度1)由方程探讨曲线的性质【典例】写出方程y2－4x－4＝0的曲线的主要性质．【解析】(1)曲线改变状况：因为y2＝4x＋4≥0，得x≥－1，y可取一切实数，x渐渐增大时，|y|渐渐增大．所以曲线在直线x＝－1的右侧，向上向下无限伸展．(2)对称性：用－y代替y方程不变，故曲线关于x轴对称．(3)截距：令y＝0，得x＝－1；令x＝0得y＝±2，所以曲线的横截距为－1，纵截距为±2.(4)画方程的曲线：列表：x－10123…y0±2±2eq\r(2)±2eq\r(3)±4…描点作图如图所示．eq\a\vs4\al(,,角度2)干脆法求曲线方程【典例】已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为2∶1，求动点M的轨迹方程．【思路导引】因为已知条件中未给定坐标系，所以需“恰当”建立坐标系．考虑到对称性，由|AB|＝2a，选A，B两点所在的直线为x轴，AB中点为坐标原点，则A(－a，0)，B(a，0)，然后求解．【解析】如图所示，以两定点A，B所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．由|AB|＝2a，可设A(－a，0)，B(a，0)，M(x，y).因为|MA|∶|MB|＝2∶1，所以eq\r(（x＋a）2＋y2)∶eq\r(（x－a）2＋y2)＝2∶1，所以eq\r(（x＋a）2＋y2)＝2eq\r(（x－a）2＋y2).化简，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,3)a))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(16,9)a2，所以所求动点M的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,3)a))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(16,9)a2.eq\a\vs4\al(,,角度3)代入法求曲线方程【典例】动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3，0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．【思路引导】所求动点与已知曲线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得．【解析】设P(x，y)，M(x0，y0)，因为P为MB的中点．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以P点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.本例中把条件“M和定点B(3，0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点B(3，0)连线的中点为M”，试求动点P的轨迹方程．【解析】设P(x，y)，M(x0，y0)，因为M为PB的中点．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x＋3,2)，,y0＝\f(y,2)，))又因为M在曲线x2＋y2＝1上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(2)＝1，即(x＋3)2＋y2＝4，所以P点轨迹方程为(x＋3)2＋y2＝4.1．关于曲线性质的探究(1)曲线的方程将曲线上点的坐标联系成一个有机体，当一个变量改变时另一个变量也随之改变，因此能借助方程探讨曲线上点的改变规律，即探究曲线的性质．(2)主要从变量范围、改变趋势，曲线的对称性，与坐标轴的交点等方面探究曲线的性质．2．关于曲线轨迹方程的求法(1)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如直线、圆等)，可用定义干脆探求．(2)代入法：假如所求轨迹中的动点随着另一动点的运动而运动，另一动点又在某已知的曲线C：f(x，y)＝0上运动，那么利用轨迹中的动点坐标(x，y)表示已知曲线上的动点(x1，y1)，再将它代入已知曲线C的方程f(x，y)＝0即可求得动点轨迹方程．1．已知曲线Γ：eq\f(1,x3)＋eq\f(1,y4)＝1，则下列正确的是()A．曲线Γ关于y轴对称B．曲线Γ与x轴相交C．x的取值范围是(－∞，0)∪(0，＋∞)D．y无限趋近于零时，x也无限趋近于零【解析】选D.将(x，－y)代入曲线Γ的方程得，eq\f(1,x3)＋eq\f(1,（－y）4)＝1，即为eq\f(1,x3)＋eq\f(1,y4)＝1，故曲线Γ关于x轴对称，因为y≠0，故曲线Γ与x轴不相交，当x＝1时无相应的y值与之相对应，故C错误，当y无限趋近于零时，x也无限趋近于零．2．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是()A．y＝2x2 B．y＝8x2C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1【解析】选C.设AP中点为(x，y)，则P(2x，2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0，所以2y＝8x2－1.3．设A，B分别是直线y＝eq\f(2\r(5),5)x和y＝－eq\f(2\r(5),5)x上的两个动点，并且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(20)，动点P满意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))(O为坐标原点)，记动点P的轨迹为C，求轨迹C的方程．【解析】设P(x，y)，因为A，B分别是直线y＝eq\f(2\r(5),5)x和y＝－eq\f(2\r(5),5)x上的点，故可设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(2\r(5),5)x1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，－\f(2\r(5),5)x2)).又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(20)，所以(x1－x2)2＋eq\f(4,5)(x1＋x2)2＝20①，因为eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x1＋x2，,y＝\f(2\r(5),5)（x1－x2），))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝x，,x1－x2＝\f(\r(5),2)y，))代入①得：eq\f(5,4)y2＋eq\f(4,5)x2＝20.即曲线C的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.【补偿训练】已知A在y轴正半轴上，为定点，线段BC在x轴上滑动，已知|BC|＝4，A到x轴的距离为3，求△ABC外心的轨迹方程．【解析】如图所示，A点坐标为(0，3).设△ABC的外心P(x，y)，因为P在BC的垂直平分线上，所以B(x＋2，0)，C(x－2，0).因为P也在AB的垂直平分线上，所以|PA|＝|PB|，即eq\r(x2＋（y－3）2)＝eq\r(22＋y2)，化简得x2－6y＋5＝0.所以△ABC外心的轨迹方