2024-2025学年高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法一学案含解析北师大版必修1

PAGE2.2函数的表示法(一)内容标准学科素养1.驾驭函数的三种表示法：解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点．2.在实际问题中，能够选择恰当的表示法来表示函数．3.能利用函数图像求函数的值域，并确定函数值的改变趋势.加强逻辑推理提升数学运算增加直观想象授课提示：对应学生用书第20页[基础相识]学问点函数的表示法eq\a\vs4\al(预习教材P28－31，思索并完成以下问题)某同学安排买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔，每支铅笔的价格为0.5元，共需y元，于是y与x之间建立起了一个函数关系．(1)函数的定义域是什么？提示：{1,2,3,4,5}．(2)y与x有何关系？提示：y＝0.5x.(3)试用表格表示y与x之间的关系．提示：表格如下：支数(x)12345钱数(y)0.511.522.5学问梳理函数的表示方法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(解析法：用自变量的解析表达式表示两个变量,之间的对应关系,图像法：用图像表示两个变量,之间的对应关系,列举法：列出表格来表示两个变量,之间的对应关系))思索：1.任何一个函数都能用解析法表示吗？提示：不肯定．如一年内每天的气温与日期间的关系，每日股票的价格同开盘时间的关系等等，都不能用解析法表示．2．你能说一下三种表示法各自的优缺点吗？提示：表示法优点缺点解析法简明、全面概括了变量间的关系；利用解析式可以求任一点处的函数值不够形象、直观而且并非全部的函数都有解析式列表法不需计算可以干脆看出自变量对应的函数值仅能表示自变量取较少的有限的对应关系图像法能形象直观地表示函数的改变状况只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大3.如何推断一个图形是否可以作为函数的图像？提示：任取一条垂直于x轴的直线l，在定义域上移动此直线，若直线l与图形只有一个交点，则是函数的图像，若有两个或两个以上的交点，则不是函数的图像．[自我检测]1．下列各图像中，不行能是函数y＝f(x)的图像的有()A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：推断一个图像是否是函数图像，其关键是分析是否满意定义域内的随意一个x，都有唯一确定的y与之对应．故①②可能是函数图像．③④肯定不是y＝f(x)的图像．答案：B2．下列用图表给出的函数关系中，当x＝6时，对应的函数值y＝()x0＜x≤11＜x≤55＜x≤10x＞10y1234A.2B．3C．4解析：5＜x≤10时，y＝3，∴x＝6时，y＝3.答案：B3．已知f(x)是正比例函数且过点(1,1)，则f(x)＝________.解析：设f(x)＝kx(k≠0)，由题意可知f(1)＝k＝1，∴f(x)＝x.答案：x授课提示：对应学生用书第21页探究一函数的三种表示方法[例1]下列式子或表格：①y＝2x，其中x∈{0,1,2,3}，y∈{0,2,4}；②x2＋y2＝2；③y＝eq\r(x－2)＋eq\r(1－x)；④x12345y9089888595其中表示y是x的函数的是________．[思路点拨]解答本题的关键是分析所给式子或表格是否满意函数的定义．[解析]①不表示y是x的函数，因为当x＝3时，y没有值与其对应；②不表示y是x的函数，因为当x＝1时，y＝±1，即y有两个值与x的值对应；③不表示y是x的函数，因为原表达式中x∈∅；④能表示y是x的函数，因为该表格既满意函数概念中的确定性也满意唯一性．[答案]④方法技巧函数表示法的留意事项：(1)列表法、图像法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必需满意函数的概念．(2)推断所给图像、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满意函数的定义．跟踪探究1.某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．解析：(1)列表法：x(台)12345678910y(元)30006000900012000150001800021000240002700030000(2)图像法：如图所示：(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．探究二求函数的解析式[例2]求下列函数的解析式：(1)已知f(x＋1)＝x2＋x＋1，求f(x)；(2)已知f(x)是一次函数，且满意3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f((3)已知f(x)满意2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，求f(x)．[思路点拨](1)用换元法．(2)用待定系数法．(3)用消元法．[解析](1)令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＋1＝t2－t＋1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.(3)2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x①把①中的x换成eq\f(1,x)，得2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq\f(3,x)②①×2－②得3f(x)＝6x－eq\f(3,x)，∴f(x)＝2x－eq\f(1,x).易错分析本题(3)在求解过程中常因不理解“2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x”而找不到解题思路．延长探究(1)把例2的(1)换成f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)；(2)把例2的(3)换成2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x解析：(1)令eq\r(x)＋1＝t，则eq\r(x)＝t－1(t≥1)，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)用－x代2f(x)＋f(－x)＝3x中的x2f(－x)＋f(x)＝－3x，∴f(x)＝3x方法技巧求函数解析式事实上就是找寻函数三要素中的对应关系，也就是在已知自变量和函数值的条件下求对应关系．解答此类问题时，可依据已知条件选择不同的方法求解．求函数解析式的常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再依据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．(2)代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式，其解法为用g(x)替换f(x)解析式中的全部自变量x.(3)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)(或将f(g(x))的解析式转化为含g(x)的表达式，然后干脆整体代换g(x))．(4)方程组法：这种方法针对于特别题型，犹如时出现f(x)和feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)时，需把f(x)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)分别看作一个整体，通过解方程组消去不须要的feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)，解出f(x)的解析式，这种方法也称为消元法．跟踪探究2.(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；(2)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)，求f(x)；(3)已知f(x)是二次函数，且满意f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式；(4)已知函数f(x)对于随意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x解析：(1)令x＋1＝t，则x＝t－1，将x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.(2)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2－2，∴f(x)＝x2－2.(3)设所求的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1.∵f(x＋1)－f(x)＝2x对随意x∈R成立，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，由恒等式的性质，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1.))∴所求二次函数为f(x)＝x2－x＋1.(4)因为对于随意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，将x替换为－x得f(－x)＋2f(x)＝－3x－2，联立方程组消去f(－x)，可得f(x)＝－3x－eq\f(2,3).探究三函数的图像[例3]作出下列函数的图像并求其值域：(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x＜3)．[思路点拨]看函数的类型→看函数的定义域→描点、连线、成图．[解析](1)因为x∈Z，所以函数图像为始终线上的孤立点(如图(1))，由图像知，y∈Z.(2)因为x∈[0,3)，故函数图像是一段抛物线(如图(2))，由图像知，y∈[－5,3)．方法技巧函数的图像能直观地反映出函数的一些性质，因此，解答函数问题时经常借助于图像．(1)作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，最终列表画出图像．(2)函数的图像可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要留意关键点，如图像与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心圆圈．跟踪探究3.作出下列函数的图像：(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；(2)y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)．解析：(1)当x＝0时，y＝1；当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5.图像过(0,1)，(1,3)，(2,5)点．图像如图所示：(2)当x＝2时，y＝1；当x＝4时，y＝eq\f(1,2)；当x＝6时，y＝eq\f(1,3).图像如图所示：授课提示：对应学生用书第22页[课后小结]1．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，留意有的函数要注明定义域，主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．2．如何作函数的图像一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线，作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式、再依据所列表中的点描出图像，画图时要留意一些关键点，如与坐标轴的交点、端点的虚实问题等．3．如何用函数图像常借助函数图像探讨定义域、值域、函数改变趋势及两个函数图像交点问题．[素养培优]忽视变量的实际意义而致误易错案例：如图所示，在矩形ABCD中，BA＝3，CB＝4，点P在AD上移动，CQ⊥BP，Q为垂足．设BP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数表达式，并画出函数的图