2025届高考数学一轮复习第十章统计与统计案例第一节随机抽样学案理含解析

PAGE第一节随机抽样[最新考纲][考情分析][核心素养]1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简洁随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样.简洁随机抽样、系统抽样、分层抽样的相关概念，是2024年高考考查的热点，题型仍将是以选择题与填空题为主，分值为5分.1.数学运算2.数据分析‖学问梳理‖1．简洁随机抽样(1)抽取方式：逐个eq\x(1)不放回地抽取；(2)特点：每个个体被抽到的概率eq\x(2)相等；(3)常用方法：eq\x(3)抽签法和eq\x(4)随机数法．2．分层抽样(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后依据肯定的比例，从各层独立地抽取肯定数量的个体，作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．(2)分层抽样的应用范围当总体是由eq\x(5)差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．3．系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．(1)先将总体的N个个体eq\x(6)编号．(2)确定eq\x(7)分段间隔k，对编号进行eq\x(8)分段，当eq\f(N,n)(n是样本容量)是整数时，取k＝eq\f(N,n).(3)在第1段用eq\x(9)简洁随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．(4)依据肯定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号eq\x(10)l＋k，再加k得到第3个个体编号eq\x(11)l＋2k，依次进行下去，直到获得整个样本．‖基础自测‖一、疑误辨析1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)在简洁随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次被抽到的可能性最大．()(2)从100件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿5次，是简洁随机抽样．()(3)系统抽样适用于元素个数许多且均衡的总体．()(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，须要剔除2个学生，这样对被剔除者不公允．()(5)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．()(6)某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高三共抽取60名代表，则可用分层抽样的方法抽取．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)√二、走进教材2．(必修3P100A1改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本答案：A3．(必修3P100A2(2)改编)一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采纳等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为n的样本，已知某部门有m名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________．答案：eq\f(mn,N)三、易错自纠4．从2017名学生中选取50名学生参与全国数学联赛，若采纳以下方法选取：先用简洁随机抽样法从2017名学生中剔除17名学生，剩下的2000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率()A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且为eq\f(50,2017) D．都相等，且为eq\f(1,40)解析：选C若从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于eq\f(M,N).5．从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参与竞赛，则应当抽取男生人数为()A．27 B．30C．33 D．36解析：选B因为男生与女生的比例为180∶120＝3∶2，所以应当抽取男生人数为50×eq\f(3,3＋2)＝30.eq\a\vs4\al(考点一\a\vs4\al(简洁随机抽样))|题组突破|1．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题正确的是()A．这次抽样可能采纳的是简洁随机抽样B．这次抽样肯定没有采纳系统抽样C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率解析：选A这次抽样可能采纳的是简洁随机抽样，A正确；这次抽样可能采纳系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C、D均错误．故选A．2．(2025届上饶模拟)已知总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字起先由左向右依次选取两个数字，则选出来的第8个个体的编号为()附：第6行至第9行的随机数表：16227794394954435482173793237887352096438426349164844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954A．17 B．20C．23 D．37解析：选B从随机数表第6行的第9列和第10列数字起先由左到右依次选取两个数字，符合条件的依次为39，49，43，17，37，23，35，20，故第8个数为20.3．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3解析：选D由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.►名师点津一个抽样试验用抽签法的2个留意事项一是抽签是否便利；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．eq\a\vs4\al(考点二\a\vs4\al(系统抽样))|题组突破|4．(2025届江西八校联考)从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应当为()A．480 B．481C．482 D．483解析：选C依据系统抽样的定义可知，样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，则d＝25，所以an＝7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，所以最大编号为7＋25×19＝482.5．采纳系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1，2，…，1000.适当分组后在第一组采纳简洁随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为()A．12 B．13C．14 D．15解析：选A依据系统抽样的特点可知，全部做问卷调查的人的编号构成首项为8，公差d＝eq\f(1000,50)＝20的等差数列{an}，∴通项公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12.令751≤20n－12≤1000，解得eq\f(763,20)≤n≤eq\f(253,5).又∵n∈N*，∴39≤n≤50，∴做问卷C的共有12人．6．(2024年全国卷Ⅰ)某学校为了解1000名新生的身体素养，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生 B．200号学生C．616号学生 D．815号学生解析：选C由系统抽样可知，第一组学生的编号为1～10，其次组学生的编号为11～20，…，最终一组学生的编号为991～1000.设第一组取到的学生编号为x，则其次组取到的学生编号为x＋10，以此类推，所取的学生编号为10的倍数加x.因为46号学生被抽到，所以x＝6，所以616号学生被抽到，故选C．►名师点津解决系统抽样问题的2个关键步骤(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即依据定义每组抽取一个样本．(2)起始编号的确定应用简洁随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(分层抽样))【例】(2025届洛阳模拟)某高校数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从全部本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为()A．80 B．40C．60 D．20[解析]因为要用分层抽样的方法从该系全部本科生中抽取一个容量为200的样本，一、二、三、四年级的学生比为4∶3∶2∶1，所以三年级要抽取的学生人数是eq\f(2,4＋3＋2＋1)×200＝40.[答案]B►名师点津分层抽样中的计算问题分层抽样满足“eq\f(每层中抽取的个体数量,本层的总个体数量)＝eq\f(样本容量,总体数量)”，即“eq\f(n1,N1)＝eq\f(n2,N2)＝…＝eq\f(n,N)或n1∶n2∶…∶n＝N1∶N2∶…∶N”，据此在已知每层间的个体数量或数量比、样本容量、总体数量中的两个时，就可以求出第三个．|跟踪训练|某中学在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山竞赛活动．每人都参与而且只参与其中一项竞赛，各年级参与竞赛的人数状况如下表：高一年级高二年级高三年级跑步abc登山xyz其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的eq\f(2,5).为了了解学生对本次活动的满足程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．解析：依据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×eq\f(3,5)＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×eq\f(3,2＋3＋5)＝36.答案：36eq\a\vs4\al(考点\a\vs4\al(分层抽样与概率的交汇应用问题))【例】(2024年天津卷)2024年，我国施行个人所得税专项附加扣除方法，涉及子女教化、接着教化、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采纳分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受状况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受状况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教化○○×○×○接着教化××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；②设M为事务“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事务M发生的概率．[解](1)由已知，得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采纳分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的全部可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．②由表格知，符合题意的全部可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以，事务M发生的概率P(M)＝eq\f(11,15).►名师点津先通过分层抽样确定抽取样本，再依据古典概型确定概率是解决分层抽样与概率问题的关键．|跟踪训练|(2025届绵阳模拟)某校共有在职老师140人，其中高级老师28人，中级老师56人，初级老师56人，现采纳分层抽样的方法从在职老师中抽取5人进行职称改革调研，然后从抽取的5人中随机抽取2人进行深化了解，则抽取的这2人中至少有1人是初级老师的概率为()A．eq\f(7,10) B．eq\f(3,10)C．eq\f(3,20) D．eq\f(7,20)解析：选A由题意得，应从高级、中级、初级老师中抽取的人数分别为5×eq\f(28,140)＝1，5×eq\f(56,