2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直二同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价三十一直线与平面垂直(二)(15分钟30分)1.设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能使a⊥b成立的是 ()A.a⊥c,b⊥c B.α⊥β,a⊂α,b⊂βC.a⊥α,b∥α D.a⊥α,b⊥α【解析】选C.由a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,得在A中,因为a⊥c,b⊥c,所以a,b相交、平行或异面,故A错误;在B中,因为α⊥β,a⊂α,b⊂β,所以a,b相交、平行或异面,故B错误;在C中,因为a⊥α,b∥α,所以由线面垂直的性质定理得a⊥b,故C正确;在D中,因为a⊥α,b⊥α,所以由线面垂直的性质定理得a∥b,故D错误.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1A.AE⊥CC1 B.AE⊥B1D1C.AE⊥BC D.AE⊥CD【解析】选B.如图所示.连接AC,BD,因为ABCD-A1B1C1D1所以四边形ABCD是正方形,AC⊥BD,CE⊥平面ABCD,所以BD⊥CE,而AC∩CE=C,故BD⊥平面ACE,因为BD∥B1D1,故B1D1⊥平面ACE,故B1D1⊥AE.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是线段BC1A.AD1⊥DP B.AP⊥B1C.AC1⊥DP D.D1P⊥B1C【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1因为B1C⊥BC1,B1C⊥AB,BC所以B1C⊥平面ABC1D1,因为点P是线段BC1上随意一点,所以AP⊥B1【光速解题】在正方体中,面上的对角线与B1C⊥平面ABC1D14.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,则四个侧面△PAB,△PBC,△PCD,△PAD中,有个直角三角形.

【解析】因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,所以△PAB,△PAD为直角三角形,因为BC⊥PA,BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC为直角三角形,同理,△PDC为直角三角形,所以四个侧面三角形均为直角三角形.答案:45.△ABC的三个顶点A,B,C到平面α的距离分别为2cm,3cm,4cm,且它们在α的同侧,则△ABC的重心到平面α的距离为cm.

【解析】如图,设A,B,C在平面α上的射影分别为A′,B′,C′,△ABC的重心为G,连接CG并延长交AB于点E,又设E,G在平面α上的射影分别为E′,G′,则E′∈A′B′,G′∈C′E′,EE′=QUOTE(A′A+B′B)=QUOTE,CC′=4,CG∶GE=2∶1,在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3.答案:36.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,D是BC的中点,点E在棱BB1上运动.证明:AD⊥C1【证明】因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1而AD⊂平面ABC,所以AD⊥BB1.②由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动,得C1E⊂平面BB1(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1与B1DA.AC B.BDC.A1D D.A1D1【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1C1与B1D1的交点,设O是AC,BD的交点,连接EO,则EO⊥平面ABCD,所以EO⊥BD,又CO⊥BD,CO∩EO=O,所以BD⊥平面COE,因为CE2.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是 ()A.QUOTE B.2QUOTE C.3QUOTE D.4QUOTE【解析】选D.过A作AD⊥BC于D,连接PD,因为AB=AC=5,BC=6,所以BD=DC=3,又因为PA⊥平面ABC,PA∩AD=A,所以BC⊥PD,所以点P到BC的距离是PD,在△ADC中,AC=5,DC=3,所以AD=4,在Rt△PAD中,PD=QUOTE=QUOTE=QUOTE=4QUOTE.3.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在平面,那么 ()A.PA=PB>PC B.PA=PB<PCC.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC【解析】选C.因为PM⊥平面ABC,MC⊂平面ABC,所以PM⊥MC,PM⊥AB.又因为M为AB中点,∠ACB=90°,所以MA=MB=MC.所以PA=PB=PC.4.(2024·信阳高一检测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=QUOTE,若A1C⊥BC1,则BC1= ()A.2QUOTE B.2QUOTE C.3QUOTE D.3QUOTE【解析】选C.如图,连接AC1,因为AC=AA1,所以直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1为正方形,所以A1C因为A1C⊥BC1,AC1∩BC1=C1所以A1C⊥平面ABC1,所以A1因为AB⊥AA1,A1C∩AA1=A1,所以AB⊥侧面ACC1A1,所以AB⊥AC1,因为AB=AC=AA1=QUOTE,所以AC1=2QUOTE,所以BC1=3QUOTE.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是 ()【解析】选AD.在A中,因为BE⊥CD,AE⊥CD,BE∩AE=E,所以CD⊥平面ABE,因为AB⊂平面ABE,所以AB⊥CD,故A正确;在B中,因为CD∥AE,△ABE是等边三角形,所以AB与CD异面,且所成角为60°,故B错误;在C中,CD∥BE,∠ABE=45°,所以AB与CD异面,且所成角为45°,故C错误;在D中,CD⊥平面ABC,所以CD⊥AB,故D正确.6.如图,直线PA垂直于圆O所在的平面,△ABC内接于圆O,且AB为圆O的直径,点M为线段PB的中点.以下结论成立的是 ()A.BC⊥PCB.OM⊥平面ABCC.点B到平面PAC的距离等于线段BC的长D.三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半【解析】选ABCD.因为PA⊥圆O所在的平面,BC⊂圆O所在的平面,所以PA⊥BC,而BC⊥AC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,而PC⊂平面PAC,所以BC⊥PC,故A正确;因为点M为线段PB的中点,点O为线段AB的中点,所以OM∥PA,所以OM⊥平面ABC,故B正确;因为BC⊥平面PAC,所以点B到平面PAC的距离等于线段BC的长,故C正确;三棱锥M-PAC和三棱锥P-ABC均可以平面PAC为底面,此时M究竟面的距离是B究竟面距离的一半,故三棱锥M-PAC的体积等于三棱锥P-ABC体积的一半,故D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,已知平行四边形ABCD中,|AD|=4,|CD|=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,且|PA|=6,则|PC|=.

【解析】由余弦定理,得AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cosD=16+9-2×4×3×QUOTE=13,所以AC=QUOTE,因为PA⊥平面ABCD,AC在平面ABCD内,所以PA⊥AC,所以PC=QUOTE=QUOTE=7.答案:78.如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满意条件时,有A1C⊥B1D【解析】若A1C⊥B1D1,由四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,AA1⊥B1D1,易得B1D1⊥平面AA1C1C,则A1C答案:AC⊥BD(答案不唯一)四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,PA⊥正方形ABCD所在平面,经过A且垂直于PC的平面分别交PB,PC,PD于E,F,G,求证:AE⊥PB.【证明】因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.又ABCD是正方形,所以AB⊥BC.因为AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAB,所以BC⊥AE.由PC⊥平面AEFG,得PC⊥AE,因为PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC.因为PB⊂平面PBC,所以AE⊥PB.10.如图,已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径,C为QUOTE的中点,点P为圆柱上底面圆O1上一点,PA⊥平面ABC,PA=AB,过A作AE⊥PC,交PC于点E.(1)求证:AE⊥PB;(2)若点C到平面PAB的距离为1,求圆柱OO1的表面积.【解析】(1)因为AB为圆柱OO1底面圆O的直径,C为QUOTE的中点,所以BC⊥AC,因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,因为AE⊂平面PAC,所以BC⊥AE,又因为AE⊥PC,且PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC,因为PB⊂平面PBC,所以AE⊥PB.(2)因为点C到平面PAB的距离为1且C为QUOTE的中点,所以PA=AB=2,所以圆柱OO1的表面积S=2×π×12+2π×1×2=6π.1.(2024·昆明高一检测)《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑,如图,在鳖臑PABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且AP=AC=1,过A点分别作AE⊥PB于E、AF⊥PC于F,连接EF.当△AEF的面积最大时,tan∠BPC的值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.明显BC⊥平面PAB,则BC⊥AE,又PB⊥AE,BC∩PB=B,则AE⊥平面PBC,于是AE⊥EF,且AE⊥PC,结合条件AF⊥PC,得PC⊥平面AEF,所以△AEF、△PEF均为直角三角形,由已知得AF=QUOTE,而S△AEF=QUOTEAE·EF≤QUOTE(AE2+EF2)=QUOTE(AF)2=QUOTE,当且仅当AE=EF时,取“=”,所以,当AE=EF=QUOTE时,△AEF的面积最大,此时tan∠BPC=QUOTE=QUOTE=QUOTE.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段B1D1A.AC⊥BEB.B1E∥平面A