2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.3.2离散型随机变量的方差课时作业含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE课时作业(十)离散型随机变量的方差[练基础]1．(多选题)下列说法中，不正确的是()A．离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值B．离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的平均水平C．离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的平均水平D．离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值2．已知随机变量X满意E(1－X)＝5，D(1－X)＝5，下列说法正确的是()A．E(X)＝－5，D(X)＝5B．E(X)＝－4，D(X)＝－4C．E(X)＝－5，D(X)＝－5D．E(X)＝－4，D(X)＝53．已知X的分布列为X－101P0.50.30.2则D(X)等于()A．0.7B．0.61C．－0.3D．04．随机变量X的分布列如下：X123Peq\f(1,2)xy若E(X)＝eq\f(15,8)，则D(X)等于()A．eq\f(7,32)B．eq\f(9,32)C．eq\f(33,64)D．eq\f(55,64)5．已知随机变量ξ的概率分别为P(ξ＝k)＝eq\f(1,3)，k＝1，2，3，则D(2ξ＋3)＝()A．eq\f(2,3)B．eq\f(4,3)C．2D．eq\f(8,3)6．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，又已知E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，则x1＋x2的值为()A．3B．eq\f(5,3)C．eq\f(7,3)D．eq\f(11,3)7．已知随机变量ξ的分布列如下表：ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)则ξ的均值为________，方差为________．8．已知某随机变量ξ的概率分布列如表，其中x>0，y>0，随机变量ξ的方差D(ξ)＝eq\f(1,2)，则x＋y＝________．ξ123Pxyx9.已知X的分布列如下：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,4)a(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．10．袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，取1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的得分之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．[提实力]11．已知随机变量ξ的均值为E(ξ)，方差为D(ξ)，随机变量η＝eq\f(ξ－E（ξ）,\r(D（ξ）))，则D(η)的值为()A．0B．－1C．1D．eq\r(D（ξ）)12．A，B两台机床同时加工零件，当生产一批数量较大的产品时，两台机床出次品的概率分别如下表：A机床次品数ξ10123概率P0.70.20.060.04B机床次品数ξ20123概率P0.80.060.040.1两台机床的价格相差不大，若工厂派你去选购机床，你会选购()A．A机床B．B机床C．都一样D．不确定13．已知随机变量X的分布列如下：X01mPeq\f(1,5)neq\f(3,10)且E(X)＝1.1，则D(X)＝________．14．设0<p<1，随机变量ξ的分布列是ξ012Peq\f(p,2)eq\f(1,2)eq\f(1－p,2)则当p改变时，D(ξ)的最大值是________．15．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案：第一种方案，李师傅的儿子认为：依据股市收益大的特点，应当将10万元全部用来买股票．据分析预料，投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为eq\f(1,2).其次种方案，李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金．据分析预料，投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种状况发生的概率分别为eq\f(3,5)，eq\f(1,5)，eq\f(1,5).第三种方案，李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应当将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为4%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由．[战疑难]16．已知随机变量ξi满意P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0<p1<p2<eq\f(1,2)，则()A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)课时作业(十)1．解析：离散型随机变量X的均值反映了X取值的平均水平，方差反映了X取值的稳定程度，故C正确．答案：ABD2．解析：已知E(1－X)＝5，D(1－X)＝5，依据均值和方差的性质可得1－E(X)＝5，D(X)＝5，解得E(X)＝－4，D(X)＝5.故选D.答案：D3．解析：E(X)＝(－1)×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.故选B.答案：B4．解析：由题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1×\f(1,2)＋2x＋3y＝\f(15,8)，,\f(1,2)＋x＋y＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,8)，,y＝\f(3,8)．))所以D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(15,8)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(15,8)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(15,8)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,8)＝eq\f(55,64).故选D.答案：D5．解析：由随机变量ξ的分布列，可得E(ξ)＝(1＋2＋3)×eq\f(1,3)＝2，E(ξ2)＝(12＋22＋32)×eq\f(1,3)＝eq\f(14,3)，∴D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2＝eq\f(14,3)－22＝eq\f(2,3)，则D(2ξ＋3)＝4D(ξ)＝eq\f(8,3).故选D.答案：D6．解析：由题知eq\f(2,3)x1＋eq\f(1,3)x2＝eq\f(4,3)，又D(X)＝(x1－E(x))2p1＋(x2－E(X))2p2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)，两式联立可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2，))又x1<x2，所以x1＝1，x2＝2，故x1＋x2＝3.故选A.答案：A7．解析：均值E(ξ)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)；方差D(ξ)＝(－1－E(ξ))2×eq\f(1,2)＋(0－E(ξ))2×eq\f(1,3)＋(1－E(ξ))2×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9).答案：－eq\f(1,3)eq\f(5,9)8．解析：由题意可得，2x＋y＝1，即y＝1－2x，所以E(ξ)＝x＋2y＋3x＝4x＋2y＝4x＋2(1－2x)＝2，所以D(ξ)＝(1－2)2x＋(2－2)2(1－2x)＋(3－2)2x＝2x.因为D(ξ)＝eq\f(1,2)，所以2x＝eq\f(1,2)，解得x＝eq\f(1,4)，所以y＝1－2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，所以x＋y＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)9．解析：(1)由分布列的性质，知eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋a＝1，故a＝eq\f(1,4)，从而X2的分布列为X201Peq\f(1,4)eq\f(3,4)(2)方法一由(1)知a＝eq\f(1,4)，所以E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4).故D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,16).方法二由(1)知a＝eq\f(1,4)，所以E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)，E(X2)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)，所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝eq\f(11,16).(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.10．解析：由题意可知，X的全部可能的取值为5，4，3.P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＝eq\f(1,5)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＝eq\f(1,5)，故X的分布列为X543Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)E(X)＝5×eq\f(1,5)＋4×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝4，D(X)＝(5－4)2×eq\f(1,5)＋(4－4)2×eq\f(3,5)＋(3－4)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).11．解析：E(ξ)与D(ξ)均为常数，不妨设E(ξ)＝a，eq\r(D（ξ）)＝b，则η＝eq\f(ξ－E（ξ）,\r(D（ξ）))＝eq\f(1,b)ξ－eq\f(a,b).所以D(η)＝Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)ξ－\f(a,b)))＝eq\f(1,b2)D(ξ)＝1.故选C.答案：C12．解析：由题意可得，E(ξ1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，E(ξ2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.1＝0.44，D(ξ1)＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.6064，D(ξ2)＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.1＝0.9264.因为E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)，所以A机床加工零件较稳定、质量较好．所以选购A机床．故选A.答案：A13．解析：由eq\f(1,5)＋n＋eq\f(3,10)＝1，得n＝eq\f(1,2)，由E(X)＝0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,2)＋m×eq\f(3,10)＝1.1，得m＝2，所以D(X)＝(0－1.1)2×eq\f(1,5)＋(1－1.1)2×eq\f(1,2)＋(2－1.1)2×eq\f(3,10)＝0.49.答案：0.4914．解析：因为E(ξ)＝0×eq\f(p,2)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1－p,2)＝eq\f(3－2p,2)，所以D(ξ)＝eq\f(p,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(3－2p,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3－2p,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1－p,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3－2p,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)[2－(2p－1)2]≤eq\f(1,2)，当且仅当p＝eq\f(1,2)时取等号，因此D(ξ)的最大值是eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)15．解析：若按方案一执行，设收益为ξ万元，则其分布列为ξ4－2Peq\f(1,2)eq\f(1,2)所以E(ξ)＝4×eq\f(1,2)＋(－2)×eq\f(1,2)＝1(万元).若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列为η20－1Peq\f(3,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)所以E(η)＝2×eq\f(3,5)＋0×eq\f(1,5)＋(－1)×eq\f(1,5)＝1(万元).若按方案三执行，收益y＝10×4%＝0.4(万元).因为E(ξ)＝E(η)>y，所以应从方案一、方案二中选择一种投资方式．D(ξ)＝(4－1)2×eq\f(1,2)＋(－2－1)2×eq\f(1,2)＝9，D(η)＝(2－1)2×eq\f(3,5)＋(0－1)2×eq\f(1,5)＋(－1－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(8,5).易知D(ξ)>D(η).这说明