数学各地名校一模试题分类汇编专题06解三角形练习(原卷版+解析)

专题06解三角形一、单选题1．（2022·湖北襄阳·高三期末）在中，，，则角的最大值为（）A． B． C． D．2．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，为的重心，若，则外接圆的半径为（）A． B． C． D．3．（2022·山东泰安·高三期末）在中，“”是“为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2022·江苏如东·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（）A．20m B．10m C．m D．m二、填空题5．（2022·山东莱西·高三期末）在中，，，，，，若的外接圆的半径为，则角___________.6．（2022·江苏扬州·高三期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．若（）有最大值，则的取值范围是__________．7．（2022·广东揭阳·高三期末）如图所示，在等腰直角中，为的中点，，分别为线段上的动点，且.

（1）当时，则的值为__________.（2）的最大值为__________.8．（2022·山东青岛·高三期末）已知的三个内角分别为，且成等差数列，则角的取值范围是_______；最小值为______.三、解答题9．（2022·江苏海安·高三期末）在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．（1）求∠ACB的大小；（2）求四边形ABCD的面积．10．（2022·江苏通州·高三期末）从以下3个条件中选择2个条件进行解答.①BA＝3；②BC＝；③∠A＝60°.在△ABC中，已知，D是AC边的中点，且BD＝，求AC的长及△ABC的面积.11．（2022·江苏扬州·高三期末）在①b2＋c2－a2＝，②asinB＝bsin（A＋），③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，△ABC的面积为S，．（1）求角A；（2）若AC＝2，BC＝，点D在线段AB上，且△ACD与△BCD的面积比为4∶5，求CD的长．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答内容计分）12．（2022·江苏宿迁·高三期末）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的对边分别为，且__________.（1）求角；（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.13．（2022·江苏如东·高三期末）在①；②,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）判断△ABC的形状；（2）在（1）的条件下，若，b＝10，AD为BC边上的中线，求AD的长.14．（2022·江苏如皋·高三期末）已知在△ABC中，D为边BC上一点，CD=10，2AC=3AD=AB，cos∠CAD=.（1）求AD的长；（2）求sinB.15．（2022·江苏无锡·高三期末）中，角所对应的边分别为，已知，，________.请在①；②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并加以解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）（1）求角；（2）求面积.16．（2022·江苏常州·高三期末）已知在四边形中，，，，且，．（1）求；（2）求．17．（2022·江苏苏州·高三期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）的横线上，并解答下列题目．在中，已知角的对边分别为，且，．（1）求；（2）若为边上一点，且，__________，求的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）18．（2022·广东揭阳·高三期末）在中，角所对的边分别为，且.（1）求角；（2）若，且的面积为，且，求和的值.19．（2022·广东潮州·高三期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，（1）求角B的大小；（2）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求面积的最大值．20．（2022·广东东莞·高三期末）的内角、、的对边分别为、、，已知.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.21．（2022·广东罗湖·高三期末）设的内角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）若边上的高为，求．22．（2022·广东清远·高三期末）在平面四边形中，．（1）求；（2）求的面积．23．（2022·广东汕尾·高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角B（2）当b=3时，求的面积的最大值．24．（2022·广东佛山·高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若边上的中线，求的面积.25．（2022·广东·铁一中学高三期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.26．（2022·湖南娄底·高三期末）在中，已知，．（1）若，求的面积；（2）若，求的周长．（参考数据：．）27．（2022·湖南常德·高三期末）设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，．（1）求角A的大小；（2）从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值．②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值．28．（2022·湖南郴州·高三期末）在中，若边对应的角分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的长度．29．（2022·湖北武昌·高三期末）已知的内角、、的对边分别为、、，已知．（1）求；（2）若，，求的面积．30．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在中，角的对边分别是，的面积为.（1）若，，，求边；（2）若是锐角三角形且角，求的取值范围.31．（2022·湖北江岸·高三期末）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且.（1）求角C；（2）若，求c的取值范围.32．（2022·湖北襄阳·高三期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积．33．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，角，，所对的边分别为，，.的角平分线与交于点.（1）若，的面积为4，求的面积；（2）若，，，求的值.34．（2022·湖北·高三期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角A；（2）如图，若，点D是外一点，，设，求平面四边形面积的最大值及相应的值．35．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量夹角的余弦角为（1）求角B的大小；（2）求的取值范围.36．（2022·山东青岛·高三期末）在中，角所对的边分别为，已知，且.（1）求的值；（2）若的面积，求的值.37．（2022·山东临沂·高三期末）已知中，D是AC边的中点．，，．（1）求AC的长；（2）的平分线交BC于点E，求AE的长．38．（2022·山东枣庄·高三期末）设的内角A，B，C的对边分别为．（1）求；（2）从以下三个条件：①；②；③边上的高中选择一个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积．39．（2022·山东泰安·高三期末）在某海域处的巡逻船发现南偏东方向，相距海里的处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线（以点为坐标原点，正东，正北方向分别为轴，轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发小时后，可疑船只所在位置的横坐标为.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.（1）求的值；（2）若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.40．（2022·山东淄博·高三期末）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，延长BC至D，使，的面积为．（1）求AB的长；（2）求外接圆的面积．41．（2022·山东青岛·高三期末）如图，在四边形中，.

（1）求证：；（2）若，求的长.42．（2022·山东德州·高三期末）在①②③三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足___________.（1）求角A；（2）若A的角平分线AD长为1，且，求的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.43．（2022·山东烟台·高三期末）在①；②向量，，；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．问题：在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，D为AC边的中点，若______，求BD的长度．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．44．（2022·山东济南·高三期末）在.中，角，，的对边分别为，，，已知，.（1）求角；（2）若点在边上，且，求面积的最大值.45．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）在中，内角，，所对的边分别为，，.请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题（1）求角；（2）若，，延长到点，使，求线段的长度.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.46．（2022·山东日照·高三期末）已知中，它的内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的值.47．（2022·河北唐山·高三期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角C；（2）求的取值范围．48．（2022·河北张家口·高三期末）在中，内角、、的对边分别为、、，且，.（1）求；（2）若为的中点，，求的面积.49．（2022·河北保定·高三期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得.在点测得塔顶的仰角为.（1）求与两点间的距离（结果精确到）；（2）求塔高（结果精确到）.50．（2022·河北深州市中学高三期末）的内角，，的对边分别为，，.已知向量，，且.（1）求；（2）若，且，求的周长.专题06解三角形一、单选题1．（2022·湖北襄阳·高三期末）在中，，，则角的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，利用基本不等式求出的最小值，结合角的取值范围可求得角的最大值.【详解】设，则，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，因为，则.故选：A.2．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，为的重心，若，则外接圆的半径为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由条件判定为等边三角形，再求得的边长，以正弦定理去求外接圆的半径即可解决.【详解】由，可得，则有又在中，，为的重心，则为等边三角形.则解之得，则外接圆的半径为故选：C3．（2022·山东泰安·高三期末）在中，“”是“为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分、必要关系的定义，结合三角形内角的性质判断题设条件间的推出关系，即可确定答案.【详解】由：若，则为钝角；若，则，此时，故充分性成立.△为钝角三角形，若为钝角，则不成立；∴“”是“△为钝角三角形”的充分不必要条件.故选：.4．（2022·江苏如东·高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30°，则旗杆的高为（）A．20m B．10m C．m D．m【答案】B【分析】根据条件确定相关各角的度数，表示出，等边的长度，然后在中用余弦定理即可解得答案.【详解】如图示，AB表示旗杆，由题意可知：，所以设，则，在中，,即，解得，（舍去），故选：B.二、多选题三、填空题5．（2022·山东莱西·高三期末）在中，，，，，，若的外接圆的半径为，则角___________.【答案】【分析】先根据正弦定理求出，再由条件确定为钝角，为锐角，然后求出，再利用即可求得角.【详解】设角A,B,C的对边分别为a，b，c，由正弦定理，，，，即为钝角，为锐角，，，.故答案为：.6．（2022·江苏扬州·高三期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．若（）有最大值，则的取值范围是__________．【答案】【分析】方法一：由已知结正弦定理可得，从而可得＝2m[cosC＋（－）sinC]，构造函数f（C）＝cosC＋（－）sinC，利用导数求其最大值，从而结合三角函数的性质可得结果，方法二：由已知结正弦定理可得，从而可得mb＋nc＝2m[cosC＋（－）sinC]，构造函数f（C）＝cosC＋（－）sinC，然后利用辅助角公式结合三角函数的性质可求得【详解】法一：由题意可知，在中，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，所以，又B＋C＝，则mb＋nc＝m2sinB＋n2sinC＝2m[sin（－C）＋sinC]＝2m[cosC－sinC＋sinC]＝2m[cosC＋（）sinC]，设f（C）＝cosC＋（）sinC，则f′（C）＝－sinC＋（）cosC，令f′（C）＝0，则－sinC＋（）cosC＝0，即tanC＝∈（0，），所以∈，则∈（，2）．法二：由题意可知，在中，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，所以，又B＋C＝，则mb＋nc＝m2sinB＋n2sinC＝2m[sin（－C）＋sinC]＝2m[cosC－sinC＋sinC]＝2m[cosC＋（）sinC]，设f（C）＝2m[cosC＋（）sinC]＝sin（C＋），其中tan＝，则当C＋＝，即C＝－时取到最大值，则此时tanC＝tan（－）＝＝＝∈（0，），所以∈，则∈（，2）．故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查正弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，考查导数的应用，解题的关键是由正弦定理和三角函数恒等变换公式得到mb＋nc＝2m[cosC＋（）sinC]，然后构造函数f（C）＝cosC＋（）sinC，利用导数或三角函数的性质求出其最值，从而可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题7．（2022·广东揭阳·高三期末）如图所示，在等腰直角中，为的中点，，分别为线段上的动点，且.

（1）当时，则的值为__________.（2）的最大值为__________.【答案】【分析】第一个空：过点作于点，在Rt中，可求出，从而在中，根据余弦定理即可求出答案；第二空需要选择恰当的角度表示出的值，再利用三角恒等变换以及三角函数的性质求解出最值.【详解】当时，，过点作于点，在Rt中，，，，在中，由余弦定理，得.（2）设，则，过点分别作的垂线于两点，则，在与中，，，所以，所以当时，.故答案为：；.8．（2022·山东青岛·高三期末）已知的三个内角分别为，且成等差数列，则角的取值范围是_______；最小值为______.【答案】【分析】第一空：根据已知条件运用等差数列性质以及正弦定理得到，运用余弦定理和基本不等式即可求解；第二空：令，对其求导后根据导数与函数最值关系的知识即可求解.【详解】因为成等差数列，所以，在中，由正弦定理得：，代入上式化简得：，在中，由余弦定理得：，当且仅当，即时，等号成立，又因为在中，，所以，即角的取值范围是.令，，则，令，得或，又因为，所以，则，所以当时，单调递减；当时，单调递增.所以当，即时，取得最小值，所以.故答案为：；四、解答题9．（2022·江苏海安·高三期末）在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．（1）求∠ACB的大小；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据正弦定理及二倍角公式即可求解；（2）由（1），分别运用正弦定理和余弦定理求出相关边长，再由面积公式计算即可.（1）由题意，设，则，，在中，由正弦定理有，即，解得.所以，因为，所以.（2）由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，在中，由余弦定理有，即，解得，四边形ABCD的面积.10．（2022·江苏通州·高三期末）从以下3个条件中选择2个条件进行解答.①BA＝3；②BC＝；③∠A＝60°.在△ABC中，已知，D是AC边的中点，且BD＝，求AC的长及△ABC的面积.【答案】，三角形的面积为【分析】结合余弦定理、三角形的面积公式求得正确答案.【详解】选①②，设，由余弦定理得，，所以，由于，所以.所以.选①③，设，由余弦定理得，所以，所以.选②③，设，在三角形中，由余弦定理得①，在三角形中，由余弦定理得②，由①②解得，所以，所以.11．（2022·江苏扬州·高三期末）在①b2＋c2－a2＝，②asinB＝bsin（A＋），③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，△ABC的面积为S，．（1）求角A；（2）若AC＝2，BC＝，点D在线段AB上，且△ACD与△BCD的面积比为4∶5，求CD的长．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答内容计分）【答案】（1）（2）【分析】（1）选①，利用余弦定理和三角形的面积公式求得；选②，利用正弦定理、两角和的正弦公式求得；选③利用正弦定理、两角和的正弦公式求得.（2）利用余弦定理求得的长.（1）选①，因为b2＋c2－a2＝，由余弦定理b2＋c2－a2＝2bccosA，及得，所以，因为cosA≠0，所以，因为A∈（0，π），所以A＝．选②，因为asinB＝bsin（A＋），及正弦定理，所以可得sinAsinB＝sinBsin（A＋），因为sinB≠0，所以sinA＝sin（A＋），，所以，因为cosA≠0，所以，因为A∈（0，π），所以A＝．选③，因为，及正弦定理，所以，即．因为sinA≠0，所以，又A∈（0，π），所以A＝．（2）在△ABC中，由余弦定理得，因为AC＝2，BC＝，A＝，所以7，解得AB＝3或AB＝－1（舍），因为△ACD与ABCD面积比为4∶5，所以，在三角形ACD中，由余弦定理得，即．12．（2022·江苏宿迁·高三期末）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的对边分别为，且__________.（1）求角；（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）选择①，运用正弦定理及同角三角函数关系求解；选择②，运用面积公式及同角三角函数关系求解；选择③运用正切两角和公式及同角三角函数关系求解.（2）根据正弦定理及正切函数的单调性求解（1）选择①：条件即，由正弦定理可知，，在中，，所以，所以，且，即，所以；选择②：条件即，即，在中，，所以，则，所以，所以.选择③：条件即，所以，在中，，所以.（2）由（1）知，，所以，由正弦定理可知，，由是锐角三角形得，所以.所以，所以，故的取值范围为.13．（2022·江苏如东·高三期末）在①；②,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）判断△ABC的形状；（2）在（1）的条件下，若，b＝10，AD为BC边上的中线，求AD的长.【答案】（1）选①，等腰三角形；选②，等腰三角形或直角三角形；（2）选①，；选②，或；【分析】（1）选①，由正弦定理变形后可得；选②，由正弦定理及同角关系变形后，结合正弦函数性质得三角形为等腰三角形或直角三角形；（2）选①，由等腰三角形性质求得底边长，然后由余弦定理求得；选②，三角形为等腰三角形时同选①，三角形为直角三角形时，由求得，然后求得，用勾股定理求得．（1）选①，，由正弦定理理，即，又是三角形内角，所以，△ABC是等腰三角形；选②，，由正弦定理得，所以，，又是锐角三角形内角，所以或，所以或，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形；（2）选①，，则，，，中，由余弦定理得：，；选②，时同选①得，时，，则，，所以，，所以．14．（2022·江苏如皋·高三期末）已知在△ABC中，D为边BC上一点，CD=10，2AC=3AD=AB，cos∠CAD=.（1）求AD的长；（2）求sinB.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)在中，利用余弦定理建立方程求解作答.(2)利用(1)的结论求出，再在中由正弦定理计算作答.（1）依题意，在中，由余弦定理得：，即，解得，所以AD的长是.（2）在中，由(1)知，，由余弦定理得：，则有，在中，由正弦定理得：，所以.15．（2022·江苏无锡·高三期末）中，角所对应的边分别为，已知，，________.请在①；②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并加以解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）（1）求角；（2）求面积.【答案】（1）（2）【分析】（1）若选①，则由正弦定理化简算出即可；若选②，先由正弦定理角化边，再利用余弦定理即可（2）因为，计算和即可（1）若选①，则由，若选②，则，.（2）在中，，由正弦定理而16．（2022·江苏常州·高三期末）已知在四边形中，，，，且，．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）7【解析】（1）在中，则，又在中，，故（2）设，，，，则，由即可知，即在中，，又，则有故在中，即，解之得，即的长为717．（2022·江苏苏州·高三期末）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）的横线上，并解答下列题目．在中，已知角的对边分别为，且，．（1）求；（2）若为边上一点，且，__________，求的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）【答案】（1）（2）【分析】（1）利用三角形内角和以及诱导公式化简，可得答案；（2）若选①，根据边长之间的关系，结合余弦定理，可求的长，再用面积公式求得答案.若选②，可直接用正弦定理求得，接着用余弦定理求MC，最后求得面积；若选③，则根据直接求得AB,,再用余弦定理求得MC，最后求得面积.（1）由，得，由正弦定理得．因为，所以，所以，即．（2）选①，设，．因为，所以．由余弦定理得，解得．所以，所以的面积．选②，因为，所以．由正弦定理得，解得，由余弦定理得，解得．所以，所以的面积．选③，因为，所以．由，解得，所以．由余弦定理得，解得．所以，所以的面积．18．（2022·广东揭阳·高三期末）在中，角所对的边分别为，且.（1）求角；（2）若，且的面积为，且，求和的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）将已知条件利用正弦定理边化角，然后根据诱导公式、两角和的正弦公式化简即可得答案；（2）由余弦定理及三角形的面积公式列出方程组求解即可得答案.（1）解：在中，因为，所以由正弦定理可得，又，所以，即，，（2）解：由余弦定理及三角形面积公式得，即，因为，所以解得.19．（2022·广东潮州·高三期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，（1）求角B的大小；（2）若点D在边AC上，且AD=2DC，BD=2，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【分析】（1）由已知结合正弦定理得，而代入化简可得，从而可求出角B的大小，（2）由点D在边AC上，且AD=2DC，可得，平方化简后可得，再利用基本不等式可得，从而可求出面积的最大值（1）因为，所以由正弦定理得,所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以（2）因为点D在边AC上，且AD=2DC，所以，所以,所以，即，因为，所以，即，当且仅当时取等号，所以面积为，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为20．（2022·广东东莞·高三期末）的内角、、的对边分别为、、，已知.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值；（2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，可求得的值，即可得解.（1）解：因为，由正弦定理得，即，由，得，因为，所以.（2）解：由，，得，解得，由，即，即.由，得，故，所以的周长为.21．（2022·广东罗湖·高三期末）设的内角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）若边上的高为，求．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理可求得，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理可得出，再代入即可得解.（1）解：由余弦定理，得，所以，，所以，，又因为，所以，，则，，因此，.（2）解：因为的面积，则，由余弦定理，得，所以，，所以，.22．（2022·广东清远·高三期末）在平面四边形中，．（1）求；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中求出，然后在中，利用余弦定理即可求出的长；（2）首先判断出为直角三角形，从而可求出，然后利用三角形的面积公式即可求出答案.（1）因为为直角三角形，，所以．在中，，由余弦定理，得，所以．（2）由（1）知，，，所以，所以为直角三角形，且，所以，故．23．（2022·广东汕尾·高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角B（2）当b=3时，求的面积的最大值．【答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理角化边可得，根据余弦定理结合角B的范围，即可得答案.（2）由题意，结合基本不等式，可得，代入面积公式，即可得答案.（1）由正弦定理得：，整理得，所以，因为，所以（2）因为，所以（当且仅当时等号成立），所以面积的最大值.24．（2022·广东佛山·高三期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若边上的中线，求的面积.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为，再利用两角和的正弦公式求解；（2）在中，由余弦定理得到，然后分别在和中，利用余弦定理结合，两式相加得到，联立求得c，再利用三角形面积公式求解.（1）解；因为，所以，所以，即，因为，所以，所以；（2）在中，由余弦定理得，即①，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，两式相加得②，由①②得，所以.25．（2022·广东·铁一中学高三期末）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分别选三个条件，都可用正弦定理解出；（2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积.【详解】（1）选①，由正弦定理得，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴.选②，∵，，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴.选③，∵，由已知结合正弦定理可得，∴，∴，∵，∴.（2）∵，即，∴，解得，当且仅当时取等号，∴，周长的最小值为6，此时的面积.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，考查三角形面积公式，属于基础题.26．（2022·湖南娄底·高三期末）在中，已知，．（1）若，求的面积；（2）若，求的周长．（参考数据：．）【答案】（1）（2）【分析】（1）首先利用正弦定理得到，再利用面积公式求解即可.（2）首先设，，利用余弦定理得到，再求周长即可.（1）在中，由正弦定理得，，所以，所以三角形面积为.（2）因为，所以可设，，在中，由余弦定理得，，因为，，所以，解得，所以三角形的周长为．27．（2022·湖南常德·高三期末）设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，．（1）求角A的大小；（2）从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值．②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）①；②.【分析】（1）利用正余弦定理即求；（2）选①利用基本不等式及面积公式即求；选②利用余弦定理可得，然后利用基本不等式及面积公式即求.（1）∵且,∴，即，∴，又，∴；（2）选①∵AD平分∠BAC，∴，∵，∴，即，∴由基本不等式可得：，∴，当且仅当时取“=”，∴，即的面积的最小值为；②因为AD是BC边上的中线，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，∵，∴，在中，，由余弦定理得，∴∴，解得，当且仅当时取“=”，所以，即的面积的最大值为.28．（2022·湖南郴州·高三期末）在中，若边对应的角分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的长度．【答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理将边化角，再利用辅助角公式得到，即可求出；（2）依题意可得，再根据平面向量数量积的运算律求出，即可得解；（1）解：因为，由正弦定理可得在，，∴∴，即又，∴∴，∴（2）解：∵且，∴，∴∴29．（2022·湖北武昌·高三期末）已知的内角、、的对边分别为、、，已知．（1）求；（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理结合辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可求得结果；（2）利用余弦定理结合已知条件可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.（1）解：因为，所以，因为，则，所以，即，即，，则，所以，，解得．（2）解：因为，，，所以由，得，即，解得．所以．30．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在中，角的对边分别是，的面积为.（1）若，，，求边；（2）若是锐角三角形且角，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）,【分析】（1）由题意可求出角，在由余弦定理可求出边；（2）由正弦定理可把边转化为角，再利用角的范围即可求出答案.（1）∵，∴，又，则或当时，；当时，∴或（2）由正弦定理得，，∵是锐角三角形，∴，，；∴，，；∴∴，∴∴的取值范围为.31．（2022·湖北江岸·高三期末）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且.（1）求角C；（2）若，求c的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据正弦定理，将边化角，利用三角恒等变换以及三角形内角关系，即可求出结果；（2）利用余弦定理以及已知条件，即可求出的取值范围.（1）由正弦定理得，即，，因为，所以，所以，又因为，所以；（2）由得，且由（1）知：，由余弦定理得：当时，由二次函数的性质知：的值域为，当且仅当时取等号，此时，所以，即所以c的取值范围为.32．（2022·湖北襄阳·高三期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，且，求的面积．【答案】（1）（2）【分析】（1）先利用正弦定理统一成角，然后利用三角函数恒等变换公化简，从而可求出角的大小，（2）利用余弦将所给式统一成边，化简可得，结合已知可求出，再利用三角形面积公式求解即可（1）由已知及正弦定理，得．∴．∵，∴．∴．又∵，∴．∵，∴．（2）由已知及余弦定理，得，化简，得．即，又∵，∴．∴的面积．33．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，角，，所对的边分别为，，.的角平分线与交于点.（1）若，的面积为4，求的面积；（2）若，，，求的值.【答案】（1）6（2）【分析】（1）由题意结合三角形的面积公式可得，从而可得答案.（2）在中，由余弦定理得到的长，由勾股定理可得，从而得到角,得出答案.（1）为的平分线，∴，∴，∵，∴，又∵，∴.（2）∵，，，在中，由余弦定理得，∴，∴.又∵为角平分线，则,所以，则34．（2022·湖北·高三期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角A；（2）如图，若，点D是外一点，，设，求平面四边形面积的最大值及相应的值．【答案】（1）（2）最大值为，此时【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得进而求得.（2）求得平面四边形面积的表达式，结合三角函数最值的求法求得平面四边形面积的最大值及相应的值.（1）∵，由正弦定理知，，由余弦定理知，.（2）由（1）以及，得是等边三角形．设，则．余弦定理可得：，则．故四边形面积．∵，∴，∴当时，S取得最大值为，故平面四边形面积的最大值为，此时．35．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量夹角的余弦角为（1）求角B的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据向量夹角的坐标运算得到再由公式化简得到从而得到结果；（2）由三角形内角关系得到，根据角的范围求值域即可.（1）即解得（舍）（2）由（1）可知，即36．（2022·山东青岛·高三期末）在中，角所对的边分别为，已知，且.（1）求的值；（2）若的面积，求的值.【答案】（1）6（2）【分析】（1）由余弦定理即可求解；（2）由三角形面积公式可得sinB、cosB，结合余弦定理得出a+c=5，再结合（1）可得a,c的值.（1）由题意，结合余弦定理得，，所以.（2）由于，

，，所以，，又，所以，.37．（2022·山东临沂·高三期末）已知中，D是AC边的中点．，，．（1）求AC的长；（2）的平分线交BC于点E，求AE的长．【答案】（1）2（2）【分析】（1）根据，利用余弦定理建立方程求解即可；（2）由余弦定理求出A，根据三角形面积公式由建立方程求解.（1）设，由余弦定理可得又，，即.（2）由（1）知，因为，所以，由可得，，即解得.38．（2022·山东枣庄·高三期末）设的内角A，B，C的对边分别为．（1）求；（2）从以下三个条件：①；②；③边上的高中选择一个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积．【答案】（1）（2）选第②个条件；【分析】（1）利用余弦定理即可求出A；（2）选第①个条件，这样的三角形不存在；选第②个条件，先利用正弦定理，余弦定理求出边长c，即可求出；选第③个条件：先求出边长，代入判断出这样的三角形有两个.（1）因为，，所以．所以，所以．又，所以．（2）选第①个条件：．由可得：，因为，所以无解，这样的三角形不存在.选第②个条件：．由正弦定理，得，所以．由，得．解得，或（舍去）．因此．选第③个条件：边上的高．在中，由，所以，即，代入得：，解得：或，这样的三角形有两个.39．（2022·山东泰安·高三期末）在某海域处的巡逻船发现南偏东方向，相距海里的处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线（以点为坐标原点，正东，正北方向分别为轴，轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发小时后，可疑船只所在位置的横坐标为.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.（1）求的值；（2）若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.【答案】（1）（2）能够拦截成功拦截，时间为2小时【分析】（1）设1小时后两船相遇于点C，根据关于y轴对称，且，即可求解；（2）设t小时后两船相遇于点D，利用余弦定理列出方程，即可求解.（1）解：由题意，直线的倾斜角为，若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C，如图所示，则轴，，且关于y轴对称，所以，所以.（2）解：若巡逻船以海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示，则，，，，因为可得整理得，解得或（舍去），所以能够拦截成功拦截时间为2小时.40．（2022·山东淄博·高三期末）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，延长BC至D，使，的面积为．（1）求AB的长；（2）求外接圆的面积．【答案】（1）或（2）【分析】（1）利用余弦定理可求得，从而可得为等边三角形，再利用三角形的面积公式即可得出答案；（2）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求得外接圆的半径，即可得解.（1）解：因为，所以，又，所以，又因，所以为等边三角形，故，由，可得，故，解得或；（2）解：由（1）得：当时，，则，所以，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，所以，所以外接圆的面积为，当时，，则，所以，同理外接圆的面积为，综上所述，外接圆的面积为.41．（2022·山东青岛·高三期末）如图，在四边形中，.

（1）求证：；（2）若，求的长.【答案】（1）证明见解析.（2）.【分析】（1）由平行线的性质得，根据诱导公式可得，分别在、中，运用正弦定理得可得证；（2）由已知得，，再在中，运用余弦定理求得即可.（1）解：因为，所以，因为，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，同理在中，由正弦定理得，即，所以，所以，所以；（2）解：因为，所以，所以，又，所以，所以在中，，即，解得（舍去），所以.42．（2022·山东德州·高三期末）在①②③三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足___________.（1）求角A；（2）若A的角平分线AD长为1，且，求的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2）【分析】（1）选①，先用正弦定理，再求解角；选②，先用正弦定理，再用余弦定理求解；选③，先用正弦定理、诱导公式、二倍角公式，再根据特殊三角函数值求解.（2）由面积公式得，再用余弦定理得，再由转化计算即可求解.（1）选①得，.即，则（舍）或所以；选②得，即由，又，所以；选③.得，即，因为，所以又，所以.（2）由得，，即，由余弦定理，.解得，由正弦定理，，.所以的值为.43．（2022·山东烟台·高三期末）在①；②向量，，；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．问题：在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知，，D为AC边的中点，若______，求BD的长度．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案不唯一，具体见解析.【分析】选①，由正弦定理边化角，由余弦定理求出，再借助余弦定理计算作答.选②，由向量关系结合余弦定理求出角C，再由正弦定理求角A即可计算作答.选③，切化弦求出角C，由正弦定理求出角A，再借助余弦定理计算作答.【详解】若选①：在中，因，由正弦定理得，而，即有，整理得，又，则，即，有，由余弦定理得：，在中，由余弦定理，所以.若选②：由，得，即，整理得，在中，由余弦定理得：，而，则，由正弦定理