第10讲三角恒等变换、解三角形(原卷版+解析)

第10讲三角恒等变换、解三角形【题型精讲】题型一:三角恒等变换1．（2021·福建宁德·高三期中）已知，则（）A． B． C． D．2．（2021·全国·高三月考（文））已知，则（）A． B．C． D．3．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知，且，则（）A． B． C． D．题型二：利用正余弦定理解三角形1．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知中，角所对的边分别为，若，则的面积为（）A． B． C．1 D．2．（2021·河南·高三月考（文））在锐角中，角的对边分别为，若则的取值范围为（）A． B．C． D．3．（2021·江苏省苏州第十中学校高三月考）中，为边的中点，，，，则的面积为___________.4．（2021·全国·高三专题练习）在平面四边形中，角，，则的取值范围是__________．题型三：正余弦定理的实际应用1．（2021·湖北·高三月考）如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为________．2．（2021·河南·高三月考（文））如图所示，公园直立的路灯杆BC正前方有棵挺拔的小树NH，在路灯杆前的点A（BC，NH，点A在同一平面内）处测得路灯顶点B处和小树顶点N处的仰角分别为45°和30°.再朝小树正前方行走到点M，此时M，N，B三点在同一条直线上.在点M处测得MH=1m，小树顶点N处的仰角为60°，则路灯杆BC的长为___________m.3．（2021·全国·高三月考（文））如图，设的内角，，所对的边分别为，，，若，，是外一点，，，则四边形面积的最大值是___________.4．（2021·安徽省舒城中学三模（理））如图，某湖有一半径为的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且，．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．【课后精练】一、单选题1．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则图2中菱形的一个锐角的余弦值为（）A． B． C． D．2．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．3．（2021·全国·高三专题练习）1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高，山高，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（）A． B．C． D．4．（2021·辽宁·高三月考）人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得=（）A． B． C． D．5．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知，则（）A． B． C． D．6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知，则（）A． B． C． D．7．（2021·北京市第十三中学高三期中）从长度分别为的根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（）A．可能是锐角 B．一定是直角 C．可能大于 D．一定小于8．（2021·陕西渭南·高三月考（理））在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则最小内角的正弦值为（）A． B． C． D．9．（2021·河南·高三月考（理））已知锐角三角形的三边长分别为2，5，，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．10．（2021·福建·莆田第二十五中学高三月考）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是（）A． B．C． D．11．（2021·全国·高三专题练习）旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的山峰和山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则两座山峰之间的距离（）A． B． C． D．12．（2021·辽宁·模拟预测）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）A． B． C． D．二、填空题13．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）若，则__________．14．（2021·广西桂林·高三月考（文））下面有四个命题：①函数的最小正周期是.②函数的图象关于直线对称；③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点.④把函数的图象向右平移得到的图象.其中真命题的序号是___________（写出所有真命题的编号）15．（2021·广东茂名·高三月考）某学生在劳动技术课活动中设计了如图所示的几何图形，其中为半圆的圆心，则该图形的面积为_________.16．（2021·全国·高三专题练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点之一.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为米，在它们之间的地面上的点（、、三点共线）处测得楼顶．教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米．第10讲三角恒等变换、解三角形【题型精讲】题型一:三角恒等变换1．（2021·福建宁德·高三期中）已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以由，，故选：A2．（2021·全国·高三月考（文））已知，则（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：故选：B3．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，∴，∵，∴，则，∴，故选：B.题型二：利用正余弦定理解三角形1．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知中，角所对的边分别为，若，则的面积为（）A． B． C．1 D．【答案】B【详解】由余弦定理得：，又因为，，又，所以，所以，故选：B2．（2021·河南·高三月考（文））在锐角中，角的对边分别为，若则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】在中，由及正弦定理得：，，于是得因为为锐角三角形，则有，即，解得，有，则，所以的取值范围为．故选：A3．（2021·江苏省苏州第十中学校高三月考）中，为边的中点，，，，则的面积为___________.【答案】【详解】不妨设在和中，由余弦定理由于故，代入长度可得在中，由余弦定理，又由面积公式，故答案为：4．（2021·全国·高三专题练习）在平面四边形中，角，，则的取值范围是__________．【答案】．【详解】如图1，延长，，相交于点E．由图易知将边向上或向下平行移动，条件，并不改变．所以当点D趋近于点C时，最小当点D趋近于点E时，最大．因此问题转化为在中求的值，以及在三角形中求的值．在中，,所以,由余弦定理易求得：在中，,所以,由正弦定理易求得：,即，所以所以的取值范围是．故答案为：．题型三：正余弦定理的实际应用1．（2021·湖北·高三月考）如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为________．【答案】【详解】如图连接AC，设∠ADC，由，，，可知，∴四边形ABCD面积：，其中，当时，.故答案为：.2．（2021·河南·高三月考（文））如图所示，公园直立的路灯杆BC正前方有棵挺拔的小树NH，在路灯杆前的点A（BC，NH，点A在同一平面内）处测得路灯顶点B处和小树顶点N处的仰角分别为45°和30°.再朝小树正前方行走到点M，此时M，N，B三点在同一条直线上.在点M处测得MH=1m，小树顶点N处的仰角为60°，则路灯杆BC的长为___________m.【答案】##【详解】设，在中，有，，所以，在中，有，，则，所以，由题意可知，可得，即，解得，所以.故答案为：.3．（2021·全国·高三月考（文））如图，设的内角，，所对的边分别为，，，若，，是外一点，，，则四边形面积的最大值是___________.【答案】【详解】在中，由余弦定理可得，即，所以，因为，所以为等边三角形，在中，由余弦定理可得，由于，，代入上式可得，所以，所以当即时，最大为，四边形面积的最大值为，故答案为：.4．（2021·安徽省舒城中学三模（理））如图，某湖有一半径为的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且，．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．【答案】【详解】在中，，，，，，则（其中），当时，取最大值，所以“直接监测覆盖区域”面积的最大值.故答案为：.【课后精练】一、单选题1．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则图2中菱形的一个锐角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意知，大正方形的面积为25，其边长为5，小正方形的面积为1，其边长为1，每个直角三角形的面积为，设图1中一个直角三角形的短直角边长为m，则另一条直角边长m+1，有，解得，设直角三角形中短边对的角为，则，所以，即图2中菱形的一个锐角的余弦值为.故选：A2．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】,当时，，所以，故的值域为，因为在上有解即在上有解，故即，故选：C.3．（2021·全国·高三专题练习）1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高，山高，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】由米勒问题的解答可知，此人应站在离塔水平距离为处观察，设此时视角为，塔底离地面高度为，塔顶离地面高度为，则，则，故.故选：B4．（2021·辽宁·高三月考）人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得=（）A． B． C． D．【答案】A【详解】在中，，由正弦定理得，即，由倍角公式得，，解得，，故选：A5．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，又因为，，所以，所以.故选：D6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知，则（）A． B． C． D．【答案】A解：因为，所以，即，，所以故选：A7．（2021·北京市第十三中学高三期中）从长度分别为的根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（）A．可能是锐角 B．一定是直角 C．可能大于 D．一定小于【答案】D【详解】解：从长度分别为的根细木棒中选择三根有，，，，，，，，，共10种取法，其中能够围成三角形的有，，，若三边为，设最大角为，则，故最大角为钝角，即；若三边为，设最大角为，则，故最大角为钝角即；若三边为，设最大角为，则，故最大角为直角，即；故最大内角一定小于；故选：D8．（2021·陕西渭南·高三月考（理））在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则最小内角的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为，所以则，可知的最小内角为角A，所以，又，所以.故选：D.9．（2021·河南·高三月考（理））已知锐角三角形的三边长分别为2，5，，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】因2，5，是三角形的三边，则且，解得，设这个三角形中长为5，m的边所对角分别为，显然长为2的边所对角必为锐角，而这个三角形为锐角三角形，则由余弦定理得：，且，即且，解得，所以实数的取值范围是.故选：B10．（2021·福建·莆田第二十五中学高三月考）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】由已知得：，则，故扇形的面积为，法1：弓形的面积为，∴所求面积为．法2：扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，∴所求面积为．故选：D11．（2021·全国·高三专题练习）旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的山峰和山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则两座山峰之间的距离（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可知：，，，由余弦定理得故选：C12．（2021·辽宁·模拟预测）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】康威圆的圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，所以其康威圆半径为，故面积为．故选:C.二、填空题13．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）若，则__________．【答案】【详解】解：由得，整理得，