数学教案：空间中的平行关系直线与平面平行

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o(\s\up7（)，\s\do5（整体设计）)教学分析教材首先归纳了直线与平面的位置关系,通过实际操作归纳出了直线与平面平行的判定定理，给出了性质定理并加以证明．值得注意的是判定定理不需证明，只需要归纳出即可．三维目标1．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，提高学生的归纳能力和抽象思维能力．2．利用判定定理和性质定理解决有关问题，培养转化与化归的数学思想．重点难点教学重点:归纳判定定理和两个定理的应用．教学难点：性质定理的证明．课时安排1课时eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教学过程）)导入新课设计1.(情境导入）将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？设计2.（实例导入）平衡木是女子竞技体操的一个项目，它需要在高1.2米、宽10公分的木板上完成各种跳步、转体、平衡、舞蹈及技巧空翻动作．运动员必须具备很好的控制身体的能力、准确的动作技术及勇敢果断的意志品质．我国平衡木一直处于世界一流水平，2000年刘璇摘取奥运平衡木金牌．你知道如何在平衡木上保持平衡吗？推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出问题)）(1）我们知道，如果一条直线和一个平面有两个公共点，那么这条直线就在这个平面内(如下图）．在空间中,一条直线和一个平面的位置关系,除了直线在平面内,还有几种情况？(2)若平面外一条直线平行平面内一条直线，探究平面外的直线与平面的位置关系．(3）用三种语言描述直线与平面平行的判定定理．（4)直线与平面平行有什么性质?讨论结果：（1）直线a和平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，这个公共点A叫做直线与平面的交点(如下图(1）），并记作a∩α＝A。直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行．并记作a∥α(如下图(2)）．(1)(2)从以上分析可知,如果直线不在平面内，还有两种情况，即平行和相交．因此,除了直线在平面内直线与平面的位置关系不是平行就是相交．（2）直线a在平面α外,是不是能够判定a∥α呢?不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行,因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α。若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗？既然不可能相交，则该直线与平面平行．(3）直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．符号语言为：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（aα，bα，a∥b))a∥α.图形语言为：如下图．（4)定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．已知：l∥α,lβ,α∩β＝m(如下图)．求证：l∥m。证明：因为l∥α，所以l和α没有公共点．又因为m在α内，所以l和m也没有公共点．因为l和m都在平面β内,且没有公共点,所以l∥m。在空间中，经常应用这条定理,由“线、面平行”去判断“线、线平行”．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(应用示例)）思路1例1已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点（如下图)．求证：EF∥平面BCD。证明：连结BD.在△ABD中,因为E，F分别是AB,AD的中点，所以EF∥BD.又因为BD平面BCD，EF平面BCD，所以EF∥平面BCD。例2求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内．已知：l∥α，点P∈α，P∈m，m∥l(如下图)．求证：mα.证明：设l与P确定的平面为β，且α∩β＝m′，则l∥m′。又知l∥m，m∩m′＝P,由平行公理可知，m与m′重合．所以mα。变式训练如下图，在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点,过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法．画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB于F，连结EF，则平面MNEF为所求,其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线．证明：如下图，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（BC面MNEF,NE面MNEF,BC∥NE））BC∥平面MNEF.所以BC∥平面MNEF.点评:“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行．思路2例3设P，Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D,面A1B1C1D1的中心，如下图，(1)证明PQ∥平面AA1B1B；(2）求线段PQ的长．(1)证法一：取AA1,A1B1的中点M，N，如下图，连结MN，NQ,MP，∵MP∥AD，MP＝eq\f（1，2）AD，NQ∥A1D1，NQ＝eq\f(1,2）A1D1，∴MP∥ND且MP＝ND。∴四边形PQNM为平行四边形．∴PQ∥MN。∵MN面AA1B1B，PQ面AA1B1B，∴PQ∥面AA1B1B.证法二：连结AD1,AB1，在△AB1D1中，显然P，Q分别是AD1，D1B1的中点,∴PQ∥AB1,且PQ＝eq\f（1,2）AB1.∵PQ面AA1B1B，AB1面AA1B1B,∴PQ∥面AA1B1B.（2)解：方法一：PQ＝MN＝eq\r(A1M2＋A1N2)＝eq\f(\r(2）,2）a。方法二：PQ＝eq\f（1,2）AB1＝eq\f（\r（2），2)a.变式训练如下图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E在AB1上,F在BD上，且B1E＝BF.求证：EF∥平面BB1C1C。证明：连结AF并延长交BC于M，连结B1M。∵AD∥BC，∴△AFD∽△MFB。∴eq\f(AF,FM)＝eq\f（DF,BF)。又∵BD＝B1A，B1E＝BF，∴DF＝AE。∴eq\f(AF，FM)＝eq\f(AE,B1E）.∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C。∴EF∥平面BB1C1C.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能训练））1．已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，M为PC的中点，求证:PA∥平面MBD。证明：如下图，连结AC、BD交于O点，连结MO，∵O为AC的中点，M为PC的中点,∴MO为△PAC的中位线．∴PA∥MO。∵PA平面MBD，MO平面MBD，∴PA∥平面MBD。2.如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1A，D1C的中点．求证:MN∥平面ABCD.分析:取CD的中点E，转化为证明线线平行MN∥AE.证明：取CD的中点记为E，连结NE，AE.如下图．由N，E分别为CD1与CD的中点，可得NE∥D1D且NE＝eq\f（1，2)D1D，又AM∥D1D且AM＝eq\f（1,2)D1D,所以AM∥EN且AM＝EN，即四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE，又AE面ABCD，MN面ABCD，所以MN∥面ABCD.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升）)如下图，已知ABCD和ACEF所在的平面相交于AC，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.

证明:设AC∩BD＝O,连结OE，∵O、M分别是AC、EF的中点,四边形ACEF是平行四边形，∴四边形AOEM是平行四边形．∴AM∥OE.∵OE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（课堂小结)）证明平行的策略是转化,即证明线面平行转化为证明线线平行．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（作业））本节练习B3，4题．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(设计感想））线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，线面平行的判定是高考考查的重点，多年来,高考立体几何第一问往往考查线面平行的判定．本节不仅选用了大量的传统经典题目，而且还选取了近几年的高考题目．学生通过这些优秀题目的训练，不仅可以熟练掌握线面平行的判定，而且将大大增强学好数学的信心．eq\o（\s\up7(),\s\do5（备课资料)）备选习题下列命题中正确的个数是(）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点A．0B．1C．2D．3解析：如