数学教案：几何概型第二课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第2课时导入新课设计思路一：（问题导入）下图是卧室和书房地砖的示意图，图中每一块地砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去.在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大？卧室（书房）设计思路二：（情境导入）在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。推进新课新知探究对于导入思路一:由于地砖除颜色外完全相同，小猫自由地走来走去,因此，小猫可能会停留在任何一块地砖上,而且在任何一块地砖上停留的可能性相同，对于这样一个随机事件的概率，有如下的结论：对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样，这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起。如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.几何概型与古典概型一样也是一种等可能事件的概率模型，它的特点是：(1）试验中所有可能出现的结果，也就是基本事件有无限多个。（2）基本事件出现的可能性相等。实际上几何概型是将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，这就是几何概型.几何概型的概率计算方法如下：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P(A）=.这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.对于导入思路二：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。（2）几何概型的概率公式：P(A）=.（3）几何概型的特点：1°试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.2°每个基本事件出现的可能性相等.应用示例思路1例1取一个边长为2a的正方形及其内切圆（如图所示），随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.分析：由于是随机丢豆子，故可以认为豆子落入正方形内任意一点都是机会均等的，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型。于是利用几何概型求概率的公式，豆子落入圆中的概率应该等于圆面积与正方形面积的比。解：记“豆子落入圆内”为事件A，则P(A）=.答：豆子落入圆内的概率为.点评：在解题时,首先要区分是古典概型还是几何概型，这两种随机事件的概率类型虽然每一个事件的发生都是等可能的，但是几何概型是有无数个基本事件的情形，古典概型是有有限个基本事件的情形。此外，本例可以利用计算机模拟，过程如下：（1)在Excel软件中，选定A1，键入“=（rand（）—0。5）*2”.(2）选定A1，按“ctrl+C".选定A2～A1000，B1～B1000，按“ctrl+V”。此时，A1～A1000,B1～B1000均为［-1,1］区间上的均匀随机数.（3)选定D1,键入“=power（A1,2）+power（B1,2)"；再选定D1,按“ctrl+C”；选定D2～D1000,按“ctrl+V"，则D列表示A2+B2。（4）选定F1，键入“=IF（D1＞1,1，0)”；再选定F1，按“ctrl+C”;选定F2～F1000，按“ctrl+V”，则如果D列中A2+B2＞1,F列中的值为1,否则F列中的值为0。（5)选定H1，键入“FREQUENCY(F1：F10，0。5）”，表示F1~F10中小于或等于0.5的个数，即前10次试验中落到圆内的豆子数；类似的，选定H2，键入“FREQUENCY（F1:F20，0.5)"，表示前20次试验中落到圆内的豆子数；选定H3，键入“FREQUENCY（F1：F50，0.5)”，表示前50次试验中落到圆内的豆子数；选定H4，键入“FREQUENCY（F1：F100，0.5）”，表示前100次试验中落到圆内的豆子数；选定H5,键入“FREQUENCY(F1：F500，0。5）"，表示前500次试验中落到圆内的豆子数；选定H6，键入“FREQUENCY（F1：F1000，0.5）”，表示前1000次试验中落到圆内的豆子数。（6)选定I1，键入“H1*4/10”,表示根据前10次试验得到圆周率π的估计值；选定I2,键入“H2*4/10”，则I2为根据前20次试验得到圆周率π的估计值；类似操作,可得I3为根据前50次试验得到圆周率π的估计值，I4为根据前100次试验得到圆周率π的估计值，I5为根据前500次试验得到圆周率π的估计值，I6为根据前1000次试验得到圆周率π的估计值.如图:例2如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率.分析：在线段AB上取一点C′，使得线段AC′的长度等于线段AC的长度.那么原问题就转化为求AM小于AC′的概率.所以，当点M位于下图中的线段AC′上时，AM＜AC，故线段AC′即为区域d.区域d的测度就是线段AC′的长度，区域D的测度就是线段AB的长度。解:在AB上截取AC′=AC.于是P(AM<AC）=P（AM〈AC′)=。答:AM小于AC′的概率为.变式训练：若将例2改为:如下图,在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC的概率.解:此时，应该看作射线CM落在∠ACB内部是等可能的。公式中的区域D是∠ACB（内部）,而区域d求法应该与原题是一样的，即在线段AB上取一点C′，使得线段AC′的长度等于线段AC的长度（如图），那么区域d就是∠ACC′（内部）。从而区域d的测度就是∠ACC′的度数，区域D的测度就是∠ACB的度数.∠ACC′==67.5°，所以所求事件的概率为。点评：由此可见，背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的.此题可参考习题3.3的第6题。例3(会面问题)甲、乙二人约定在12点到下午5点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去。设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响。求二人能会面的概率.分析:两人相约的时间都是5小时，设X，Y分别表示甲、乙二人到达的时刻,因此,0≤X≤5,0≤Y≤5，这样两人到达的时刻就构成一个正方形,而两人能会面必须满足｜X－Y｜≤1，而这个不等式所表示的是一个带状的，位于正方形内的图形，由于两人到达的时刻是随机的，而且,在每一个时刻到达的可能性是相同的，因此，符合几何概型所具有的特点，可以运用几何概型概率的计算方法来计算。解：记A={二人能会面}。以X，Y分别表示甲、乙二人到达的时刻,于是0≤X≤5，0≤Y≤5，即点M落在图中的阴影部分。所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的，符合几何概型的条件.二人会面的条件是：|X－Y｜≤1,故正方形的面积为5×5=25，阴影部分的面积为5-2××42=9.二人能会面的概率为。点评：建立适当的数学模型，是解决几何概型问题的关键。对于“碰面问题”可以模仿本题建立数学模型。例4如图，随机投掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不扎在黑色的靶心,也不扎在两个区域之间,更不会脱靶,求飞镖扎在下列区域的概率：（1)编号为25的区域；（2)编号在6到9之间的区域;（3）编号为奇数的区域.（每一个小区域的面积相同）分析：由于飞镖是随机投掷到靶子上，并且落在靶子的每一个位置的可能性相同，因此,符合几何概型的特点。解：假设靶子的每一个区域的面积为1个单位,则靶子所在圆的面积为28个单位.（1)记事件A为“飞镖扎在编号为25的区域”，则P（A)=.（2）记事件B为“飞镖扎在编号为6到9之间的区域"，则P(B）=。（3）记事件C为“飞镖扎在编号为奇数的区域”，则P（C)=.答：（1）飞镖扎在编号为25的区域的概率为；（2）飞镖扎在编号在6到9之间的区域的概率为；(3）飞镖扎在编号为奇数的区域的概率为.点评：仔细研读题目,从题目提供的信息进行分析，寻找适当的解题方法，是解决本题的要害所在。思路2例1在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL，含有麦诱病种子的概率是多少？分析：病种子在这1L种子中的分布可以看作是随机的，取得的10mL种子可视为区域d，所有种子可视为区域D。解：取出10mL麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A，则P(A）=。答：含有麦诱病种子的概率为.点评：由于病种子是随机地处在容器中，它可以位于容器的任何一个位置，而且在每一个位置的可能性相同，符合几何概型的特点，所以运用几何概型概率的计算方法来解决本题。例2假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00～8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A）的概率是多少？分析：由于两人到达和离开的时刻是随机的，而且，在每一个时刻到达或离开的可能性是相同的，因此，符合几何概型所具有的特点，可以运用几何概型概率的计算方法来计算。解：如图，以横坐标x表示报纸送到时间，纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件.根据题意，只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P(A）==87。5％。点评：建立适当的数学模型，该模型符合几何概型的特点，这是解答本题的关键所在。另外我们还可以运用计算机产生随机数来模拟该试验。设X是0到1之间的均匀随机数，Y也是0到1之间的均匀随机数。如果Y+7＞X+6。5,即Y＞X-0。5，那么父亲在离开家前能得到报纸.计算机模拟的方法：(1）选定A1，键入函数“=rand(）”;（2）选定A1，按“ctrl+C"，选定A2~A50，B1～B50,按“ctrl+V”。此时，A1~A50，B1～B50均为［0，1]区间上的均匀随机数.用A列的数加7表示父亲离开家的时间，B列的数加6。5表示送报人送到报纸的时间。如果A+7＞B+6。5,即A-B＞-0.5，则表示父亲在离开家前能得到报纸.（3）选定D1，键入“=A1-B1”；再选定D1，按“ctrl+C”,选定D2D50，按“ctrl+V”.（4)选定E1，键入函数“=FREQUENCY（D1：D50,-0.5）”，E1表示统计D列中小于或等于—0。5的数的个数，即父亲在离开家前不能得到报纸的频数.（5）选定F1，键入“=（50—E1）/50.F1表示统计50次试验中，父亲在离开家前能得到报纸的频率。下面是我们在计算机上做的50次试验,得到的结果是P(A）=0。88，如图:例3假设一个直角三角形的两直角边的长都是0到1之间的随机数，试求斜边长小于34的事件的概率.分析：由于直角边的长是0到1之间的随机数,因此设两直角边的长分别为x,y,而x，y满足0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=，x,y可以落在0≤x≤1,0≤y≤1所表示的图形的任何一个位置,而且在每个位置的可能性相同,满足几何概型的特点.解:设两直角边的长分别为x，y,则0≤x≤1，0≤y≤1，斜边长=,如右图,样本空间为边长是1的正方形区域,而满足条件的事件所在的区域的面积为。因此,所求事件的概率为P=。点评:根据已知条件，构造满足题目条件的数学模型，再运用几何概型的概率计算方法来计算某个事件发生的概率,是一种常用的求解概率问题的方法.例4甲、乙两人相约于中午12点到13点之间在某一个地方碰面，并约定先到者等候20分钟后可以离开，试设计模拟方法估计两人能碰面的概率.分析：当两人到达碰面地点的时间相差在20分钟之内时，两人能碰面。我们可以用两个转盘来模拟两人到达碰面地点的时间.解：运用转盘模拟的方法。具体步骤如下：(1）做两个带指针（分针）的转盘，标上刻度在0到60来表示时间,如右图;（2）每个转盘各转m次，并记录转动得到的结果,以第一个转盘的结果x表示甲到达碰面地点的时间，以第二个转盘的结果y表示乙到达碰面地点的时间;（3）统计两人能碰面(满足｜x－y|〈20）的次数n；（4)计算的值,即为两人能碰面的概率的近似值(理论值为）.点评:实施模拟的方法除了转盘模拟的方法外，还可以运用现代信息技术即计算机来模拟,具体操作如下：（1）新建一个电子表格文件，在A1的位置输入：=RAND(）60，产生一个0到60的随机数x；（2)将A1位置处的表达式复制到B1处,这样又产生一个0到60的随机数y；（3)在C1的位置处输入：=IF（A1—B1<=-20，0,IF(A1-B1〈20，1，0），判断两人能否碰面（即是否满足｜x－y|<20),如果是,就返回数值1，否则返回数值0；(4)将第一行的三个表达式复制100行,产生100组这样的数据,也就是模拟了100次这样的试验，并统计每次的结果；（5）在C101处输入：=SUM(C1：C100）/100统计这100次重复试验中正好两人能碰面的频率,即事件“两人能碰面"发生的概率的近似值。知能训练课本本节练习4、5.解答:4。设A={射线OA落在∠xOT内}.因为射线OA落在∠xOT内是随机的，也就是射线OA可以落在∠xOT内任意一个位置，这符合几何概型的条件，区域d的测度是60，区域D的测度是360，根据几何概型的概率计算公式,得P（A)=。5.运用计算机模拟的结果大约为2.7左右.点评：根据实际问题的背景，判断是否符合几何概型的特点，如是则选择符合题意的“测度”，运用求几何概型概率的方法来解决问题，此外我们还可以设计符合问题的模拟方法来模拟得到问题的近似解。课堂小结在这节课上我们主要是运用几何概型求解一些问题的概率,以及运用模拟的方法求某一个事件的概率的近似值.结合上节课的内容可以知道，几何概型的概率问题仍然是随机事件的概率,与古典概型的区别是古典概型所含的基本事件的个数是有限个，而几何概型所包含的基本事件的个数是无限的。对于几何概型我们着重研究如下几种类型：（1)与长度有关的几何概型；（2）与面积有关的几何概型；(3)与体积有关的几何概型；（4)与角度有关的几何概型.其中我们对与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.作业课本习题3。34、5、6。设计感想几何概型是区别于古典概型的又一随机事件的概率模型，在解决实际问题时首先根据问题的背景，判断该事件是属于古典概型还是几何概型，这两者的区别在于构成该事件的基本事件的个数是有限个还是无限个。在使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例.随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数)有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量。这种方法也是我们研究问题常用的方法.习题详解习题3.31。记A={灯与两端距离都大于2m}。因为把一盏灯挂在绳子上的位置是随机的，也就是说灯挂在绳子上的位置可以是绳子上任意一点，这符合几何概型的条件，根据P=，得P（A）=。答：灯与两端距离都大于2m的概率为13.2.记A={所投的点落入小正方形内}。由于是随机投点，故可以认为所投的点落入大正方形内任意一点都是机会均等的,这符合几何概型的条件，可以看成几何概型。于是利用几何概型求概率的公式，所投的点落入小正方形内的概率应该等于小正方形内面积与大正方形面积的比，即P(A)=。答：所投的点落入小正方形内的概率为.3.记A={所投的点落在梯形内部｝。由于是随机投点，故可以认为所投的点落入矩形内的任意一点都是机会均等的，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型。于是利用几何概型求概率的公式，所投的点落入梯形内部的概率应该等于梯形面积与矩形面积的比，即P（A)=.答：所投的点落在梯形内部的概率为。4。设A=｛该点落在正方形内｝。因为该点落在正方形内是随机的，也就是该点可以落在正方形内任意一个位置，这符合几何概型的条件，根据几何概型的求概率计算公式，得P(A)=。答:乘客到达站台立即乘上车的概率为。5。分析：直接求“硬币落下后与格线有公共点”的概率比较困难，可以考虑先求“硬币落下后与格线无公共点"的概率，再求“硬币落下后与格线有公共点的概率”.解：因为直径等于2cm的硬币投掷到正方形网格上是随机的，也就是硬币可以落在正方形网格上任意一个位置，这符合几何概型的条件。要求“硬币落下后与格线无公共点”的概率，根据几何概型的求概率计算公式:P（A）=，因为每个小正