数学教案：回归分析的基本思想及其初步应用第四课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第四课时教学目标知识与技能通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想和求回归方程的步骤．过程与方法通过对回归模型的选择，使学生进一步体会建立回归模型的步骤，体会各个步骤的功能和重要性．情感、态度与价值观通过案例的分析，培养学生的探索精神,提高对数据的处理能力，并且使学生了解回归分析在生活实际中的应用，增强数学的应用意识,提高学习兴趣．重点难点教学重点:掌握在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法，总结求回归方程的步骤，会用合适的方法进行模型分析．教学难点：如何根据散点图选择合适的回归模型并对其拟合效果进行检验．eq\o(\s\up7（)，\s\do5(教学过程）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（引入新课)）提出问题：某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下：身高x（cm）60708090100110120130140150160170体重y（kg)6。137.909。9912.1515。0217.5020。9226。8631。1138。8547。2555。05(1）试建立y与x之间的回归方程；（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1。2倍为偏胖，低于平均值的0.8为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为82kg的在校男生的体重是否正常？学生活动：合作交流，探讨方案并计算检验．学情预测:方案一：计算相关系数r≈0.96>0.75，故y与x之间具有很强的线性相关性．设y与x之间的回归方程为eq\o（y,\s\up6(^）)＝eq\o（b,\s\up6（^)）x＋eq\o(a，\s\up6(^）），则eq\o(b，\s\up6（^）)＝eq\f(\i\su(i＝1,12,x)iyi－12\x\to(x）\x\to（y）,\i\su（i＝1，12，x）\o\al（2，i）－12\x\to(x)2）≈0。4319,eq\o（a，\s\up6（^))＝eq\x\to(y)－eq\o（b,\s\up6(^))eq\x\to(x)≈－25.679，故回归方程为：eq\o（y,\s\up6(^））＝0.4319x－25.679.当x＝175时，eq\o(y，\s\up6(^）)≈55.15.因为55.15×1.2＝66。18＜82，故这名男生偏胖．方案二：画出散点图如图所示：样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny，得x60708090100110120130140150160170z1。812.072.302。502.712。863.043。293.443.663。864。01作出散点图:由表中数据可得z与x之间的回归直线方程为eq\o（z，\s\up6(^)）＝0。693＋0.020x，则有eq\o（y，\s\up6（^)）＝e0.693＋0。020x.当x＝175时,eq\o(y,\s\up6(^)）≈66。22，由于66.22×1.2＝79.464〈82,所以这名男生偏胖．设计目的:复习回归分析的基本步骤，让学生体会回归思想在实际问题中的应用，在操作过程中锻炼学生的数据处理能力．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（探究新知))提出问题：虽然两种解法的结论是一致的，但分析过程同学们可以发现，两种解法中求得的体重平均值是不同的，试分析两种模型哪种更合适？学生活动:讨论交流．学情预测：可能学生会出现争论：一种观点：原因出在选取的回归模型不同，从散点图上观察，选取指数型模型可能更好，得到的答案可信度可能更高．另一种观点:计算x与y的相关系数可得：r≈0.96>0.75,显示具有很强的线性相关性，故采用线性回归模型不会出错．提出问题:怎样来评判这两种解法呢？学生活动：分组合作，讨论解决的方法．学情预测：可以求相关指数、计算残差平方和或画残差图来分析两种模型的拟合效果．对于方案1:残差平方和约为：190。424,相关指数：Req\o\al（2，1)≈0.93,残差图：对于方案2：残差平方和约为：33.8，相关指数：Req\o\al（2，2)≈0.988,残差图:通过图形可以发现,方案二在数据拟合效果上更好，故应该采用方案二的结论．设计目的：通过对问题的探讨，让学生回顾学过的比较回归模型拟合效果的方法，体会在进行回归分析时方程类型合理选取的重要性．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（理解新知））提出问题：通过对上面问题的分析，同学们觉得进行线性回归分析时，确定完变量后是计算线性相关系数还是画散点图？学生活动：学生分组讨论．学情预测：应该是先画散点图，根据散点图判断出回归方程的类型进行求解，当根据图形无法确定哪种方程形式更合理时，可多设出几个方程分别求出，再根据残差分析和计算相关指数来比较回归方程的拟合效果，选择拟合效果最好的方程进行预测．教师：残差分析的作用不光在于比较回归模型的拟合效果，它还有一个重要的作用，就是通过残差样本点的分布，还可以发现样本点收集过程中的错误，有利于纠正采集中的错误．提出问题：同学们自己能否把回归分析的步骤补充完整．学生活动：分组讨论，合作交流．学情预测：(1)确定变量；(2)画散点图;（3）分析回归模型类型；（4）求回归方程;(5）分析拟合效果．设计目的：让学生整理回归分析的基本步骤，进一步明确每一个步骤的作用和重要性．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(运用新知))例1通常一个人的身高越高，他的脚就越大，为了调查这一问题，对9名高三男生的身高和脚长进行测量,得到如下数据：（单位：cm)身高x168170172174176178180180181脚长y24.525。52626。52727。52727.527.5（1)根据上述数据作出散点图,能发现两者有何近似关系?根据判断求出回归方程．(2）如果一名学生的身高为185cm，估计他的脚长．思路分析：先画出散点图,根据散点图确定回归模型的类型，然后求y与x之间的回归方程并进行预测．解：（1)根据上表中的数据,作出散点图．由图可以看出，身高与脚长之间的总体趋势成一条直线,即它们线性相关，因此可用线性回归模型来拟合，设线性回归模型为eq\o（y，\s\up6(^））＝eq\o(b，\s\up6（^))x＋eq\o（a,\s\up6（^)），由图中数据可求得回归方程为：eq\o（y,\s\up6(^)）＝0。163x－2。037。（2）当x＝185时，eq\o（y，\s\up6（^）)≈28。1,即当一名学生的身高185cm时，估计他的脚长为28。1cm。【变练演编】例2下表是1957年美国旧轿车价格的调查资料,以x表示轿车的使用年数，y表示相应的年均价格,求y关于x的方程。使用年数x12345678910平均价格y2651194314941087765538484290226204思路分析:根据散点图,判断回归方程的类型，当不能确定时，就多选择几个进行比较选择．解：画出散点图：根据样本点的分布规律，若选择线性回归模型，可设方程为eq\o(y,\s\up6（^）)＝eq\o(b，\s\up6(^))x＋eq\o（a，\s\up6(^)）,由图中数据可求得回归方程为：eq\o（y,\s\up6（^））＝－255.14x＋2371。5,计算相关指数Req\o\al(2，1)＝0.8763.若选择指数型回归方程模型，可设为eq\o（y,\s\up6（^））＝c1ec2x，于是令z＝lny，变换后的数据：x12345678910y7。8837。5727。3096。9916.6406。2886。1825.6705.4215.318画出散点图：由图可知各点基本位于一条直线附近,由上表中数据可得线性回归模型为eq\o（z,\s\up6（^)）＝8。165－0。298x，因此旧轿车的平均价格对使用年数的非线性回归模型为:eq\o(y,\s\up6(^）)＝e8。165－0。298x计算相关指数Req\o\al（2,2）＝0。9924,因为Req\o\al（2,2）〉Req\o\al（2,1），故非线性回归模型eq\o（y,\s\up6（^))＝e8.165－0.298x的拟合效果更好．所以y关于x的方程应为eq\o(y,\s\up6(^))＝e8.165－0.298x.设计意图：进一步体会回归分析思想的应用，熟悉求回归方程的基本步骤．【达标检测】1．某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系．现取了8对观测值,计算得：eq\i\su(i＝1，8，x）i＝52，eq\i\su（i＝1,8,y)i＝228，eq\i\su(i＝1,8，x）eq\o\al（2,i)＝478,eq\i\su（i＝1，8，x）iyi＝1849，则y与x的回归直线方程是（)A.eq\o(y，\s\up6（^)）＝11。47＋2.62xB。eq\o(y,\s\up6（^)）＝－11.47＋2.62xC.eq\o(y，\s\up6(^））＝2.62x＋11.47xD.eq\o(y，\s\up6（^))＝11。47－2。62x2．相关的一组数据如下表所示，它们的线性回归方程为eq\o（y,\s\up6（^)）＝0x＋1.5，则当解释变量x＝1时，预测变量y等于（）x12345y1。31。71.71。31.5A.1。5B．1。3C．1。4D．1。553．部分国家13岁学生数学测验平均分数为：中国韩国瑞士俄罗斯法国以色列加拿大英国美国约旦授课天数251222207210174215188192180191分数80737170646362615546对于授课天数与分数是否存在回归直线，下列说法正确的是（)A．一定存在B．可能存在也可能不存在C．一定不存在D．以上都不正确答案：1。A2。A3．A解析:作出散点图进行直观分析，也可以求出相关系数进行判断，答案选A.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(课堂小结)）师生回顾课堂内容，由学生进行小结：1．建立回归模型的基本步骤：2．如何选择合适的回归模型：3．如何将非线性回归模型转化为线性回归模型．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（补充练习）)【基础练习】1．散点图在回归分析中的作用是()A．查找个体个数B．比较个体数据大小关系C．探究个体分类D．粗略判断变量是否相关2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b,纵截距是a，那么必有（）A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反3．一组观察值（x1,y1),（x2，y2)，…，（xn,yn）之间满足yi＝a＋bxi＋ei（i＝1，2,…,n)，若ei恒为0，则R2为__________．答案或提示：1。D2.A3．1解析：ei＝0,eq\i\su(i＝1,n，e)eq\o\al(2，i)＝0,R2＝1，其实此时随机误差e为0，即没有误差，y与x是确定的函数关系．所以答案为1.【拓展练习】4．在钢线碳含量对于电阻的效应中，得到如下表所示的数据：碳含量（x/％)0。100.300。400.550.700.800.9520℃时电阻(y/Ω)1518192122.623.626求y对x的线性回归方程，并检验回归方程的显著性．解：eq\x\to（x)≈0。543，eq\x\to（y）≈20。74,eq\o(∑，\s\up6（7)，\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2，i)＝2。595，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1）)yeq\o\al（2，i)＝3094.72,eq\o(∑,\s\up6(7），\s\do4（i＝1)）xiyi＝85。45。∴eq\o(b，\s\up6（^))＝eq\f(85。45－7×0.543×20.74,2。595－7×(0.543)2）≈12。46,eq\o（a,\s\up6（^)）＝20。74－12.46×0.543≈13.97,∴所求回归直线方程为eq\o(y,\s\up6（^））＝13.97＋12.46x。利用相关系数检验是否显著：eq\o(∑，\s\up6（7)，\s\do4（i＝1）)xiyi－7eq\x\to（x）eq\x\to（y)≈6。62，eq\o(∑，\s\up6（7),\s\do4(i＝1））xeq\o\al（2,i）－7eq\x\to(x）2≈0。531，eq\o（∑，\s\up6(7），\s\do4(i＝1)）yeq\o\al（2，i)－7eq\x\to(y）2≈83。69，∴r≈0。993，由于r＞0.75，故钢线碳含量对于电阻的效应线性相关关系显著．eq\o(\s\up7(）,\s\do5(设计说明))本节课以问题创设情境引发矛盾，并引导学生分析矛盾产生的原因,以问题为主线，展开对建立回归方程各个步骤的分析,引导学生