无锡地区初二数学期中试卷压轴题汇编

2014年4月无锡地区初二数学期中试卷压轴题汇编

一、选择题

1.（江阴初级中学）如图，点。是正ZiABC内一点，0A=3,OB=4,OC=5,将线段B。以点B为旋转中

心逆时针旋转60。得到线段BO',下列结论：①△504可以由△BOC绕点B逆时针旋转60。得到；②点O

与。’的距离为4；③NAO8=150。；④S四边形AOBO=6+3有；⑤S.+S心=6+乎.其中正确的结论

是（）

A.①②③④B.①@③⑤C.①②③④⑤D.①②③

2.（江阴一中）如图：已知AB=16,点C、。在线段AB上且AC=O8=3；P是线段CO上的动点，分别以

AP,PB为边在线段4B的同侧作等边AAEP和等边APFB,连接E凡设EF的中点为G;当点P从点C运

动到点。时，则点G移动路径的长是（）

A.0B.3C.5D.8

3.（江阴二中）如图，点。是△A8C的边AB的延长线上一点，点尸是边BC上的一个动点（不与点B重

合）.以8。、BF为邻边作平行四边形BOEF,又AP//BE（点P、E在直线AB的同侧），如果

=5

那么△PBC的面积与△A8C面积之比为（）

4.（江阴华士片）如图，已知△ABC的面积为24,点。在线段AC上，点F在线段8c的延长线上，且

BF=4CF,四边形。CFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）

A.3B.4C.6D.8

A

5.（江阴要塞片）如图，在平面直角坐标系中，矩形04BC的顶点4、C的坐标分别为（10,0）,（0,4）,

点。是04的中点，点P在直线8C上运动，当尸是等腰三角形时，点P的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

6.（江阴南菁实验学校）如图，在心△ABC中，NC=90。，AC=BC=6cm,点P从点A出发，沿AB方向以

每秒J5cm的速度向终点B运动；同时，动点。从点B出发沿BC方向以每秒的速度向终点C运动,

将△PQC沿2C翻折，点P的对应点为点P.设点。运动的时间为r秒，若四边形QPCP为菱形，则/的

值为)

A.B.2C.272D.3

7.（江阴青阳片）如图，在平面直角坐标系中，规定横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点.已知直线），=x

上有一点43,3）,动点P（f,3。，仑0,以OA与OP为一组邻边的平行四边形内部（不包括边界）至多有

8个整点，则线段。尸长度的最大值是（）

A.V13B.2V13C.V10D.2V10

8.（江阴长泾片）如图，D、E分别是AABC边AB、2c上的点，AD=2BD,BE=CE,设AADF的面积为

51,△(7£：/的面积为52,若%A8C=9,则51—52=)

13

A.-B.1C.-D.2

22

9.（无锡北塘区）如图，在给定的一张平行四边形纸片上作出一个菱形.甲的作法是：连接AC,作AC的

垂直平分线MN分别交A。，BC于M,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.乙的作法是：分别作

NA,N8的平分线AE,BF,分别交BC,AO于E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.根据两人的作

法可判断（）

A.甲、乙均错误B.甲、乙均正确C.甲正确，乙错误D.乙正确，甲错误

BC

10.（无锡滨湖区）如图1,在平面直角坐标系中，将口4BC。放置在第一象限，且49公轴.直线产一x

从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度/与直线在x轴上平移的

距离机的函数,图像如图2所示，贝仁4BCD的面积为（）

A.10B.1（）V5C.5D.54

11.（无锡崇安区）如图，点E在正方形ABC。外，连接AE、8E、OE,过点A作AE的垂线交£>E于点F.若

AE=AF=\,BF=y[5.则下列结论：①△AFZ）gA4E8；②点B到直线AE的距离为啦；③E8_LEQ；

④SAAFD+SAAFB=1+"\/^；⑤s正方彩48c£>=4+，^.其中正确结论的序号是（）

A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤

12.（无锡大桥中学）矩形ABC。中，AB=8,AD=6,P,。是对角线BQ上不重合的两点，点P关于直线

AD,AB的对称点分别是点E、凡点。关于直线BC、C力的对称点分别是点G、H.若由点E、尸、G、H

构成的四边形恰好为菱形，则尸。的长为（）

13.（无锡东亭片）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方

形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边（x>>）,下列四个说法：

①d+y2=49,②x-y=2,（3）2xy+4=49,④x+y=9.其中说法正确的是（）

A.①②B.①②③C.④D.①②③④

y

14.（无锡惠山区）关于x的方程红土区=1的解是正数，则。的取值范围是

x—1

A.a>-lB.a>—1且C.1V—1D.a<-i且中一2

15.（无锡江南中学）在我国，规定使用在水果或蔬菜上的农药必须低毒易挥发，在生活中我们在吃水果

或蔬菜前一般都会先清洗上面的残留农药，假设我们把清洗前水果或蔬菜上的残留农药量记为1个单位，

那么用工单位量的水清洗一次以后，水果或蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量比是」一，

1+X

现有。（a22）单位量的水供清洗，第一种清洗方法：一次清洗；第二种清洗方法：平分水量分两次清洗.你

认为下列哪种说法正确（）

A.第一种方法好B.第二种方法好

C.两种方法都一样D.方法的选择随着。的变化而变化

16.（无锡南长区）如图，将边长分别为1、2、3、5、…的若干正方形按一定的规律拼成不同的矩形，依次

记作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④、…，那么按此规律，矩形⑧的周长应该为（）

A.288B.220C.178D.110

17.（无锡省锡中）关于x的方程：x+!=c+」的解是内=c,x2=~,=c—J解是%=c,

XCCXc

则x+------=C+-------的解是

x—1c-1

A.Xy=c,%2=B.X1=c-1,x2

C.Xj=C,=D.2=Ci%?=

18.（无锡天一实验学校）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCQ沿EF对开后,

再把矩形EFC。沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么;等于（）

A.0.618也C.应

-2

19.（无锡外国语学校）如图，在平面直角坐标系中有一个平行四边形0A8C,其中两个顶点坐

标分别为A（5,0）、C（2,4）.现有一直线/:y=公计左—2（右0刚好将平行四边形分成面积相

等的两部分，则左的值是(

882

C.一D.-

593

20.（无锡锡北区）在正方形ABCD中，P为AB的中点，的延长线于点E,连接AE、BE、FAX.

CF2

AE交。户于点F,连接BF,FC.下列结论：①AABE学AADF；②FB=AB；®CF±DP；④——=一其

DE3

中正确的是（）

A.①②④B.C.①②③D.①②③④

21.（无锡新区）如图，动手操作：长为1,宽为a的长方形纸片（,<〃</）,如图那样折一下，剪下一个

2

边长等于长方形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等

于此时长方形宽度的正方，形（称为第二次操作）；如此反复操作下去.若在第八此操作后，,剩下的长方形

为正方形，则操作终止.当〃=3时，a的值为（）

第一次操作第二次操作

22.（宜兴泯东中学）如图已知正方形ABC。的边长为8,M在。C上，且。M=2,N是AC上的一动

点，则ON+MN的最小值为（）

23.（宜兴实验中学）如图，矩形ABCG（AB<BC）与矩形CDEF全等，点8、C、。在同一条直线上,

/APE的顶点P在线段BO上移动，使/APE为直角的点P的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

24.（宜兴外国语学校）定义：直线人与6相交于点。，对于平面内任意一点用到直线八、/2的距离分别

为P、4，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1,2）的点的

个数是()

A.2B.3C.4D.5

25.（宜兴洋溪中学）如图，有一张一个角为30。，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线

剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（）

A.8或2gB.10或4+26C.10或2gD.8或4+26

二、填空题

26.（江阴初级中学）如图，已知R/AABC中，NACB=90。，以斜边AB为边向外作正方形ABC。，且对角

线交于点O,连接。C.已知AC=4,OC=5y[2,则另一条直角边BC的长为

E

27.（江阴一中）已知：DABCD的周长为52cm,£>E，直线BC,。尸，直线AB,垂足分别为E、F,且

DE=5cm,DF=8cm,则BE+8尸的值为.

28.（江阴二中）如图，已知正方形ABCQ的边长为4,点E、F分别在边A3、BC上,且AE=BF=1,CE、

力F交于点。.下列结论：①/OOC=90°②OC=OE③AEBgdFCD@S40DC-S|jyi4）gBE0F中，正确的

有.

29.（江阴华士片）如图，矩形4BCD中，AB=6,BC=8,点E是BC边上一点，连接AE,把NB沿AE折

叠，使点8落在点方处.当△CEB，为直角三角形时，BE的长为.

30.（江阴要塞片）如图，R2ABC中，C=90",以斜边AB为边向外作正方形A8OE,且正方形对角线交

于点。，连接OC,己知AC=5,OC=J黄，则另一直角边BC的长为.

31.（江阴南菁实验学校）如图，线段A8的长为2,C为AB上一个动点，分别以AC、8c为斜边在AB

的同侧作两个等腰直角三角形AACO和ABCE,那么OE长的最小值是.

32.（江阴青阳片）如图，正六边形ABCOE尸的边长为4,两顶点A、8分别在x轴和y轴上运动，则顶点

D到原点O的距离的最大值和最小值的乘积为.

33.（江阴长泾片）在一块平行四边形的实验田里种植四种不同的农作物，现将该实验田划成四个平行四

边形地块（如图），已知其中三块田的面积分别是10/n2,15m2,30/,则整个这块实验田的面积为m2

34.（无锡北塘区）如图，线段AC="+1（其中〃为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方

形ABMN及正方形连接AM、ME、EA得到"ME.当A8=l时，aAME的面积记为S|；当AB=

2时，△AME的面积记为52；当A8=3时，ZiAME的面积记为S3;…；当A8="时，AAME的面积记为

S”.当n>2时，S”-S”-i=.

35.（无锡滨湖区）如图，在AAOB中，已知C是AB的中点，反比例函数y=&.（%>0）在第一象限的图

x

像经过A、C两点，若AOAB面积为6,则％的值为.

36.（无锡崇安区）如图，矩形ABC。的边AB在x轴上，AB的中点与原点。重合，AB=2,40=1,点E

的坐标为（0,2）.点F（x,0）在边AB上运动，若过点E、F的直线将矩形ABC£>的周长分成2:1两部

分，则x的值为一

37.（无锡大桥中学）已知矩形纸片A8CZ）中，AB=1,BC=2.将该纸片折叠成一个平面图形，折痕E尸不

经过A点（E,尸是该矩形边界上的点），折叠后点A落在点4处，给出以下判断：

①当四边形84（。为等腰梯形时，£F=V5；②当EF=粕时，四边形848为等腰梯形；

③当四边形©CD尸为正方形时，EF=五;④当EF=加时，四边形4CZ）尸为正方形.

其中正确的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）

AD

BC

38.（无锡东亭片）矩形ABC。中，AB:8c=1:2,点E、F分别从A、B出发匀速向2、C运动。当点E的

速度乂和点尸的速度匕满足关系时，始终有岳+邑=§2成立。（S|、邑、S2表示三块

图形的面积）

39.（无锡惠山区）如图，在矩形4BC。中，AO=6,AB=4,点E、G、H、B分别在48、BC、CD、AD

上，且AF=CG=2,BE=DH=l,点P是直线EF、GH之间任意一点，连结PE、PF、PG、PH,则aPEF

和APGH的面积和等于.

40.（无锡江南中学）如图，在平面直角坐标系中，四边形4BC。是正方形，点8、C分别在x轴、y轴上,

对角线4C、相交于点E,0E=y/2,OC=y,则点8的坐标为.

41.（无锡南长区）在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正

半轴上，点。在原点。现将正方形OABC绕。点顺时针旋转，当A点第一次落在直线尸上时停止旋转，

旋转过程中，4B边交直线y=x于点M,BC边交x轴于点N（如图）.在旋转正方形048c的过程中，△M8N

的周长为.

42.（无锡省锡中）如图，点。是AA8C所在平面内一动点，连接。8、0C,并把AB、OB、0C、C4的中

点。、E、尸、G顺次连接起来，若四边形3EFG为正方形，则点。所在的位置满足的条件是.

2

43.（无锡天一实验学校）如图，在AABC中，AB=AC,。是A8上的一点，且A£>=-AB,DF//BC,E

3

为的中点，若EFLAC,BC=6,则四边形。BC尸的面积为.

A

44.（无锡外国语学校）如图，0是正△ABC内一点，0A=3,0B=4,0C=5,将线段BO以点B为旋转中

心逆时针旋转60。得到线段B0\连接A00则下列结论：①△BOA可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°

也

得到；②点O与0'的距离为4；③/AOB=150。；④S四边形=6+3”；⑤s△AOC+SAAOB=6+4.其

中正确的结论是

45.（无锡锡北区）如图正方形ABCQ与正三角形AEF的顶点A重合，将AAEF绕其顶点A旋转，在旋转过

程中，当BE=DF时,NBAE的大小可以是.

46.（无锡新区）如图，在R2ABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4,点。在BC上，以AC为对角线的所有OACCE

中，CE最小的值是.

47.（宜兴泯东中学）小明尝试着将矩形纸片A8CC（如图①，A6C0沿过点4的直线折叠，使点B落在

AO边上的点尸处，折痕为AE（如图②）；再沿过点。的直线折叠，使得点C落在D4边上的点N处，点E

落在AE边上的点M处，折痕为OG（如图③）.如果第二次折叠后，点M正好在NN£»G的平分线上，那么

矩形ABCD中长与宽的比值为.

①②

48.（宜兴实验中学）在平面直角坐标系尤。），中,正方形A1BC。、A252c2,、A3B3C3B2,按图所示的

方式放置.点4、A2>4，…和点田、%、B3,…分别在直线产后+。和x轴上.已知C]（1,-1）,G

49.（宜兴外国语学校）如图，矩形ABCZ）中，点E,F,G,〃分别在边AB,BC,CD,D4上，点尸在

矩形ABCQ内.若AB=40",BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=4cm,四边形A£P4的面积为5<:相2,

则四边形PFCG的面积为cm1

50.（宜兴洋溪中学）如图，在菱形ABC。中，边长为10,ZA=60°.顺次连结菱形ABC。各边中点，可

得四边形A8G。；顺次连结四边形各边中点，可得四边形A282c2。2；顺次连结四边形4282c2。2

各边中点，可得四边形A383c3。3：按此规律继续下去….则四边形A2013B2013c2013。2013的周长

B

三、解答题

51.（江阴初级中学）将矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，可以使剪得的三块纸片恰能拼成一个等

腰三角形（不能有重叠和缝隙）.

小明的做法是：如图1所示，在矩形ABCO中，分别取40、48、CO的中点P、E、F,并沿直线PE、

PF剪两刀，所得的三部分可拼成等腰三角形APMN（如图2）.

（1）在图3中画出另一种剪拼成等腰三角形的示意图；

（2）以矩形A8CD的顶点8为原点，8C所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图4）,矩形4BCO剪

拼后得到等腰三角形△PMN,点P在边A。上（不与点A、。重合），点M、N在x轴上（点M在N

的左边）.如果点。的坐标为（5,8）,直线PM的解析式为产丘+A,请求出所有满足条件的k的值

（写出简要的解题过程）.

52.（江阴初级中学）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

•操作发现：

在等腰AABC中，AB=AC,分别以AB和4c为斜边，向AABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示,

其中于点F,EGLAC于点G,M是8c的中点，连接和ME,

则下列结论正确的是.（填序号即可）

®AF=AG=-AB；②MD=ME；③四边形AFMG是菱形；

2

④整个图形是轴对称图形；⑤MDLWE.

图1

•数学思考：

在任意"BC中，分别以A8和AC为斜边，向AABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的

中点，连接和ME,则例。和ME具有怎样的数量关系和位置关系？请给出证明过程；

D

图2

•类比探索：

在任意AABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向AABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC

的中点，连接和ME,试判断△MEQ的形状.答：.

•拓展延伸：

在三边互不相等的中（见备用图），仍分别以AB和AC为斜边，向AABC的内侧作（非等腰）直角

三角形ABD和（非等腰）直角三角形4CE,M是BC的中点，连接MO和ME,要使MD和ME仍具备图

2中的藜隼关系，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）.答：.

53.（江阴一中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABC。为正方形，4（3,0）、。（1,1）,点8、C

在第一象限内.

（1）求点8的坐标；

（2）将正方形ABC。以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，设运动时间为f秒，若存在某一时刻h使

在第二象限内点以。两点的对应点二、D'正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时，的值以及这

个反比例函数的解析式；

(3)在⑵的条件下，若⑵中求得的反比例函数的解析式为y=4,直线877所对应的解析式为

y=mx+n,当x取何值时，iwc+n——>0?

x

54.(江阴一中)如图，平面直角坐标系中，矩形O48C的对角线AC=12,NACO=30。

(1)求8、C两点的坐标；

(2)过点G(0,-6)作垂足为尸，直线G尸分别交AB、OC于点E、D,

求直线DE的解析式；

(3)在⑵的条件下，若点M在直线OE上，平面内是否存在点P,使以0、F、M、P为顶点的四边形是

菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

55.(江阴二中)矩形45C。中，AD=5,AB.=3,将矩形ABC£＞折叠，折痕为EF

(1)当直线E尸过点。时(如图1),点A的对应点《落在线段BC上，求线段EF的长；

(2)如图2,点A的对应点A，落在线段8c上，E点在线段AB上，同时F点也在线段AZ)上，则线段4B

的长的范围为.

56.(江阴二中)如图，矩形。ABC的边0A在x轴正半轴上，边0C在y轴正半轴上，8点的坐标为(1,3).矩

形O0BC是矩形0A8C绕B点逆时针旋转得到的.0,点恰好在x轴的正半轴上，0C交AB于点D

(1)求点。，的坐标，并判断AOhB的形状(要说明理由)

(2)求边CO,所在直线的解析式.

(3)延长54到M使AM=1,在(2)中求得的直线上是否存在点尸，使得/尸0M是以线段为直角边的直

角三角形?若存在，请直接写出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

57.(江阴华士片)(1)如图1,在正方形A8C。中，点E,尸分别在边BC,C£＞上交于点。,乙4。尸=90。.

求证：BF—AE.

图1

(2)如图2,正方形A8CD边长为12,将正方形沿MN折叠，使点A落在DC边上的点E处，且Z)E=5,求

折痕MN的长

(3)已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,ZFOH=90°,EF=4.直接

写出下列两题的答案：

①如图3,矩形A8CQ由2个全等的正方形组成，则GH=；

②如图4,矩形A8CZ)由"个全等的正方形组成，则GH=;(用”的代数式表示).

58.(江阴华士片)如图，在平面直角坐标系中，直线y=gx+4分别交x轴，y轴于A,B两点,点C

为02的中点，点。在第二象限，且四边形A0CD为矩形.

(I)直接写出点4,8的坐标，并求直线AB与CD交点E的坐标；

(2)动点尸从点C出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点。运动；同时，动点N从点A出

发，沿线段A。以每秒1个单位长度的速度向终点。运动，过点尸作尸”，04,垂足为“，连接NP.设

点P的运动时间为f秒.

①若的面积为1,求，的值；

②点。是点B关于点A的对称点，问3P+P//+HQ是否有最小值，如果有，求出相应的点P的坐

标；如果没有，请说明理由.

59.(江阴要塞片)如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平

面图形的一条面积等分线.如：平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线.

(1)三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有▲；

(2)如图1,梯形4BCD中，AB//DC,如果延长。C到E,使CE=AB,连接4E,那么有

S^ABCD=S^DE.请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形4BC。的面积等分线(不写作法，保

留作图痕迹)；

(3)如图，四边形ABC。中，A3与不平行，SAA℃>SAA8C，过点4能否作出四边形ABC。的面积等

分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由.

60.(江阴要塞片)如图①，在口/8CO中，AB=\3,BC=50,BC边上的高为12.点尸从点B出发，沿

B-A-D-A运动，沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-O-A运动时的速度为每秒8个单位长度.点

。从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度.P、。两点同时出发，当点。到达点C时，P、

。两点同时停止运动.设点产的运动时间为f（秒）.连结尸。.

（1）当点尸沿A-Q-A运动时，求AP的长（用含/的代数式表示）.

（2）连结AQ,在点P沿8-4-0运动过程中，当点尸与点以点A不重合时，记AAP。的面积为S.求S与

f之间的函数关系式.

（3）过点。作QR//A8,交AO于点R,连结BR,如图②.在点P沿B-A-D运动过程中，当线段P0扫过的

图形（阴影部分J被线段BR分成面积相等的两部分时f的值.

（4）设点C、。关于直线PQ的对称点分别为C'、D',直接写出C'O'//BC时？的值.

61.（江阴南菁实验学校）如图，在平面直角坐标系中，点4,C分别在x轴，y轴上，四边形ABC0为矩

形，AB=16,BC=12,点。与点A关于y轴对称，点E,尸分别是线段A。，AC上的动点（点E不与点A,

。重合），且NCEGNAC8。

（1）求AC的长和点。的坐标；

（2）说明AAEF与△£＞（7£；相似；

（3）当AEFC为等腰三角形时，求点E的坐标。

62.(江阴南菁实验学校)阅读理解：

如图1,在四边形ABC。的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合)，分别连接E。，EC,可以把

四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCO的边A8上的

相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形4BCD的边A8上的强相似点.

解决问题：

(1)如图1,ZA=ZB=ZD£C=55°,试判断点E是否是四边形ABCQ的边A8上的相似点，并说明理由；

(2)如图2,在矩形A8C。中，AB=5,BC=2,且A,B,C,。四点均在正方形网格(网格中每个小正方

形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图2中画出矩形A8CO的边A8上的一个强相

似点£:

拓展探究：

(3)如图3,将矩形A8CD沿CM折叠，使点。落在边上的点E处.若点E恰好是四边形A8CM的

边AB上的一个强相似点，试探究AB和8c的数量关系.

63.(江阴青阳片)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个

四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形.

(1)如图，在四边形ABCQ中，AD//BC,ZBAD=120°,ZC=75°,8。平分NABC.求证：3。是梯形

ABCD的和谐线；

(2)四边形A8CD中，AB=AD=BC,ZBAD=9Q°,AC是四边形的和谐线，求NBCD的度数.

BC

64.(江阴青阳片)已知，在AA8c中，ZBAC=90°,ZABC=45°,点。为直线8c上一动点(点。不与点

B,C重合).以AO为边做正方形力OE凡连接C尸

(1)如图1,当点£)在线段BC上时.求证CF+CD=BC；

(2)如图2,当点。在线段8c的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF,BC,CD三条线段之间

的关系：

(3)如图3,当点。在线段BC的反向延长线上时，且点A,尸分别在直线BC的两侧，其他条件不变;

①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系;

②若正方形AOEF的边长为2啦，对角线AE,。尸相交于点0,连接0C求0C的长度.

65.（江阴长泾片）已知：甲、乙两车分别从相距300千米的A,5两地同时出发相向而行，其中甲到8地

后立即返回，下图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行独时间x（小时）之间的函数图象.

（1）求甲车离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值

范围；

9

（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了彳小时，求乙车离出发地的距离y（千米）与行驶

时间x（小时）之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间.

66.（江阴长泾片）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片A8C。，点P为正方形4。边上的一点（不

与点A、点。重合）将正方形纸片折叠，使点8落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF,

连接2P、BH.

（1）求证：NAPB=/BPH；

（2）当点P在边A。上移动时，AP。”的周长是否发生变化？并证明你的结论；

67.（无锡北塘区）定义：如图①，在中，CO是A8边上的中线，那么“以（和△8CQ是“友好三角

形”，并且SAAa>=SABC0.应用：如图②，在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,点E在A。上，点F在BC上,

AE=BF,AF与BE交于点0.

⑴求证：4A0B和AAOE是“友好三角形”；

⑵连接。。，若AAOE和△OOE是“友好三角形”，求四边形CCO尸的面积.

图②

68.（无锡北塘区）已知，在AABC中，NBAC=90。，NABC=45。，点。为直线BC上一动点（点。不与

点B,C重合）.以AQ为边做正方形AQEF,连接CF.

⑴如图1,当点。在线段BC上时.求证CF+CC=8C；

⑵如图2,当点。在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF,BC,三条线段之间的关

系为：•

⑶如图3,当点。在线段8c的反向延长线上时，且点A,F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；

①请直接写出CF,BC,C。三条线段之间的关系为：.

②若正方形AOE尸的边长为1,对角线AE,。尸相交于点0,连接0C.求0C的长度.

69.（无锡滨湖区）（1）如图1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形A2C。的顶点A重合，将此三

角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC、DC于点、E、F,连结EF.猜想

BE、EF、OF三条线段间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2,将RrAABC沿斜边4c翻折得到RSAOC,E、尸分别是BC、C。边上的点，-Z

2

BAD,连结E凡试猜想BE、EF、。尸三条线段之间的数量关系，并证明你的结论.

70.（无锡崇安区）如图，在矩形4BC。中，AB=1,BC=3,点E为BC边上的动点（点E与点8、C不

重合），设BE=x.操作：在射线8c上取一点F,使得EF=BE,以点尸为直角顶点、EF为边作等腰直角

三角形EFG,设AEFG与矩形ABCD重叠部分的面积为5.

（1）求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：

（2）S是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值，若不存在，请说明理由.

A_______________________________D

BEC

AD

B备用图C

71.(无锡大桥中学)邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；

在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第“次操

作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为〃阶准菱形.如图，oABCD^,若AB=1,BC=2,^\oABCD

为1阶准菱形.

(1)判断：

①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形；

②已知oABCQ的邻边长分别为〃，b(a>b),满足a=5Z?+r,b=4r,oABCZ)是阶准菱形.

(2)操作、探究与计算：已知口48。。的邻边长分别为2,“(l<a<3),且是3阶准菱形，请画出所有口48。£)

及裁剪线的示意图，并在图形下方写出。的值；

72.(无锡大桥中学)如图所示，四边形0ABe是矩形，点A、C的坐标分别为(-6,0),(0,2),点。

是线段BC上的动点(与端点8、C不重合)，过点。作直线>=gx+6交折线048于点

(1)若直线),=!工+〃将矩形分成面积相等的两部分，求匕的值；

(2)记△0QE的面积为S,求S与。的函数关系式；

(3)当点E在线段0A上时，矩形O4BC关于直线3E的对称图形为四边形0/A/SG，试判断四边形

0/A/B/G与矩形0ABe的重叠部分是什么特殊图形，给出证明；并求出重叠部分的面积.

73.（无锡东亭片）如图1,已知矩形ABCD,点C是边OE的中点，且AB=2A£>=16回.

（1）A48C是三角形（不必说明理由，结论可以直接用于下面的证明）；

（2）保持图1中的A43C固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置（当垂线段AD、BE

在直线MN的同侧）.试探究线段A。、BE、OE长度之间有什么关系？并给予证明；

N

E

c

M

图2

（3）保持图2中的A43C固定不变，继续绕点C旋转OE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段

A。、8E在直线MN的