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文档简介
3.2函数的基本性质
m目标导航
1.了解函数的单调区间、单调性等概念.
2.会用定义证明函数的单调性.
3.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
4.会借助单调性求最值.
5.了解函数奇偶性的定义,掌握性数奇偶性的判断和证明方法.
6.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.
7.掌握用奇偶性求解析式的方法.
嬲?读
知识点一增函数与减函数的定义
前提条件设函数儿1)的定义域为7,区间DQI
Vxi,X2《。,X|<X2
条件
都有犬汨)勺伏2)都有人即)次X2)
yyyW)
图示疵】)产几)
!
X|必
0X\x2!r0x
结论«K)在区间。上单调递增«r)在区间。上单调递减
当函数«x)在它的定义域上单调递增当函数凡封在它的定义域上单调
特殊情况
时,我们就称它是—函数递减时,我们就称它是—函数
知识点二函数的单调区间
如果函数y=/U)在区间。上,那么就说函数丁=段)在这一区间具有,区间。叫做y=/U)的
单调区间.
最大值最小值
一般地,设函数>=凡¥)的定义域为/,如果存在实数M满足:VA-e/,都有
条件危)—M府)一M
3x0e/,使得__________
结论称M是函数y=40的最大值称M是函数),=/3)的最小值
几何意义/(X)图象上最高点的_________火X)图象上最低点的________
知识点四求函数最值的常用方法
1.图象法:作出y=«r)的图象,观察最高点与最低点,最高(低)点的纵坐标即为函数的最
大(小)值.
2.运用已学函数的值域.
3.运用函数的单调性:
⑴若y=Kx)在区间[a,可上单调递增,则丁2=,
Nmin=♦
(2)若y=£x)在区间m,可上单调递减,则ymax=,
ymin—•
4.分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.
知识点五函数的奇偶性
奇偶性定义图象特点
设函数式幻的定义域为/,如果Vx£/,都有一xW/,
偶函数关于—对称
且____________________,那么函数,/)是偶函数
设函数共0的定义域为/,如果Vxw/,都有一
奇函数关于—对称
且____________________,那么函数«x)是奇函数
知识点六用奇彳号性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[小句上的解析式,求关于原点的对称区间[一儿一4]上
的解析式,其解决思路为
(1)“求谁设谁”,印在哪个区间上求解析式,X就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用兀0的奇偶性写出一段)或五一力,从而解出fix).
知识点七函数的奇偶性与单调性
1.若人¥)为奇函数且在区间[a,A](a<b)上单调递增,则人外在[一力,一以]上,即在对称区间
上单调性.
2.若{r)为偶函数且在区间[小如加上为单调递增,则4”)在[一4一〃]上,即在对称区
间上单调性.
0跟踪训练
一、单选题
1.已知/(X)是以2为周期的函数,且/(力=4工£[_]内,则/⑺=()
A.IB.-IC.±1D.7
2.设/(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是()
A.是奇函数B./(力|〃-力|是奇函数
C./(X)-/(-X)是奇函数D./(X)+/(T)是奇函数
3.函数〃])=*的单调增区间是()
1-X
A.(YO」)B.(YO/)5,+OO)
C.,y)D.(-oo,-l?,-FOO)
4.已知函数的定义域为R,/(x+2)为奇函数,/(2x+l)为偶函数,则函数的
周期是()
A.2B.3C.4D.5
5.若函数/(力=(1一/)(/+成:-5)的图像关于直线1=0对称,则/⑴的最大值是()
A.-4B.4C.4或-4D.不存在
6.已知函数“X)的定义域是R,41+力为偶函数,VXGR,〃4+刈=一/(—x)成立,
"1)=2,则“2023)=()
A.-IB.IC.-2D.2
7.已知函数“X)是定义在(-8,0)U(0,~)上的奇函数,且/(-1)=0,若对于任意两个实
数%,%£(0,48)且%=%,不等式"“)一"/)<o恒成立,则不等式犷•(力>0的解集是
X\~X2
()
A.(^o,-l)u(0,l)B.(-OO,-1)U(1,-HX>)
c.(-1,0)51,欣)D.(-l,O)U(OJ)
8.意大利画家达・芬奇提出:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,那么项链所
形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题“,其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线
函数,其函数表达式为coshx=g;,相应的双曲正弦函数的表达式为01山'=三匚.设函
数人月=瞿9,若实数机满足不等式/⑵〃+3)+/(->)<0,则m的取值范围为()
A.(一L3)B.(―3,1)C.(―3,3)D.(-oo,T)kj(3,4oo)
二、多选题
9.设函数/(%)存在最小值时,实数。的值可能是()
A.-2B.-1C.0D.1
,w、[-2x+l,x<0
10.己知函数/力=2°I、八,则()
1-x'+2x+l、x20
A./(-1)=-2B.若=则。=0或。=2
C.函数“力在(04)上单调递减D.函数/(x)在[T2]的值域为[1,3]
2
11.已知函数/(力是定义在R上的偶函数,当“20时,f(x)=x-2xt则()
A./(力的最小值为-1B.〃力在(-2,0)上单调递减
C./(力二0的解集为[-2,22.存在实数“满足/(》+2)+〃一切=0
12.我们知道,函数y=f(x)的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
y=/(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为:函数y=/(x)的图象关于点Ra,b)成中
心对称图形的充要条件是函数y=/(x+。)一方为奇函数.现在已知,函数
f(x)=d+侬2+依+2的图像关于点QQ)对称,则()
A./(2)=0
B.7⑴=3
C.对任意xeR,有/(2+X)+/(2—X)=0
D.存在非零实数%,使/(2+%)-/(2-%)=0
三、填空题
13.函数/(力=+4x-12的单调减区间为.
14.若偶函数/(力在[0,y)上单调递减,且/0)=0,则不等式/什-3工+3)之0的解集是
15.设偶函数〃幻在(。,帝)上单调递减,且/(-3)=0,则不等式"2:"一、<0的解集是
2x
16.已知函数/(x)=k-l|+|2x+a|的最小值为2,则实数。的值为一.
四、解答题
2
17.己知=a-不w(aeR)
⑴证明/(x)是R上的增函数;
(2)是否存在实数。使函数/(同为奇函数?若存在,请求出”的值,若不存在,说明理由.
18.定义在(0,+8)上的函数”同满足下面三个条件:
①对任意正数aO都有/(a)+/(b)=/(必);②当x>l时,/(x)<0;③/(2)=-1
⑴求/⑴和的值;
(2)试用单调性定义证明:函数/(力在(0,+8)上是减函数;
⑶求满足/(4/-12/)+2>/(1口)的%的取值集合.
19.已知函数/(力="-:在定义城[1,20]上单调递增
(1)求a的取值范围;
⑵若方程〃"二10存在整数解,求满足条件的〃的个数.
20.已知/(外是定义在R上的偶函数,当xWO时,f(x)=x2+2x+2.
(1)求函数/㈤的解析式;
(2)定义在[〃国]上的一个函数皿此,用分法丁:〃〈毛〈…〈工户夕将区间出司任意划
分为〃个小区间,如果存在一个常数使得和式^恒成立,则称
函数砥X)为在[〃应]上的有界变差函数.试判断函数/(X)是否为在[L3]上的有界变差函数?
若是,求知的最小值;若不是,请说明理由
3.2函数的基本性质
凰目标导航
1.了解函数的单调区间、单调性等概念.
2.会用定义证明函数的单调性.
3.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.
4.会借助单调性求最值.
5.了解函数奇偶性的定义,掌握豕数奇偶性的判断和证明方法.
6.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.
7.掌握用奇偶性求解析式的方法.
盛懈读
一增函数与减函数的定义
前提条件设函数Kr)的定义域为/,区间DG/
VXi,Xl<X2
条件
都有人汨)4及)都有直3)次X2)
yy
图示恤I)!艮X。产向)
!
oX\x210X|必x
结论於)在区间。上单调递增40在区间。上单调递减
当函数凡0在它的定义域上单调递增当函数用在它的定义域上单调
特殊情况
时,我们就称它是—函数递减时,我们就称它是—函数
【答案】增减
知识点二函数的单调区间
如果函数力在区间。上,那么就说函数在这一区间具有,区间。叫做y=/U)的
单调区间.
【答案】单调递增或单调递减(严珞的)单调性
知识点三函数的最大值与最小值
最大值最小值
一般地,设函数y=ya)的定义域为/,如果存在实数“满足:Vxe/,都有
条件
3x0eZ,使得__________
结论称M是函数丁=洲%)的最大值称M是函数),=/)的最小值
几何意义兀0图象上最高点的—凡外图象上最低点的—
【答案】仝纵坐标纵坐标
知识点四求函数最值的常用方法
1.图象法:作出y=/U)的图象,观察最高点与最低点,最高(低)点的纵坐标即为函数的最
大(小)值.
2.运用已学函数的值域.
3.运用函数的单调性:
(1)若y=/(x)在区间■,6]上单调递增,则ymax=,
ymin=.
(2)若y="r)在区间[a,可上单调递减,则)*=,
为1泊=・
4.分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.
【答案】加加期期b)
知识点五函数的奇偶性
奇偶性定义图象特点
设函数人工)的定义域为/,如果都有一
偶函数关于一对称
且____________________,那么函数久0是偶函数
设函数火幻的定义域为/,如果VxW/,都有一
奇函数关于—对称
且____________________,那么函数危)是奇函数
【答案】大一")=於»轴<一%)=一凡丫)原点
知识点六用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[八句上的解析式,求关于原点的对称区间[一人一切上
的解析式,其解决思路为
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,X就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用/(x)的奇偶性写出一段)或五-x),从而解出人工).
知识点七函数的奇偶性与单调性
1.若以)为奇函数且在区间[a,坊3<力)上单调递增,则段)在[―8,一«]上,即在对称区间
上单调性.
2.若凡0为偶函数且在区间[。,冰。<母上为单调递增,则火0在[一4一0上,即在对称区
间上单调性.
【答案】单调递增一致(相同)单调递减相反
国跟踪训练
一、单选题
1.已知f(x)是以2为周期的函数,且/(x)=f,xe[T,l],则/⑺=()
A.IB.-IC.±1D.7
【答案】A
【分析】除三角函数外,也有很多周期函数.可以利用周期函数的定义求值或求解析式.
【详解】因为函数/(X)是周期为2的周期函数,所以兼为/(力的周期,即
f(x+2k)=f(x\keZ.
所以〃7)=/(1+6)=〃1)=12=I.
故选:A.
2.设/(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是()
A./(x)/(r)是奇函数B./(必〃—力|是奇函数
C.〃力―/(r)是奇函数D.〃力+〃一”是奇函数
【答案】C
【分析】由奇函数和偶函数的定义依次判断即可.
【详解】A选项:设尸(X)=/(X)/(T),F(-X)=/(-X)/(X)=F(X),则/(X)/(T)为偶
函数,A错误;
B选项:设G(X)=/(X)|〃T)|,则G(T)=〃T)|/(X)|,G(x)与G(-x)关系不定,即不
确定/(X)|/(T)|的奇偶性,B错误:
C选项:设M(x)=/(x)—/(r).则M(T)=/(T)—/(X)=—例(X),则〃同一“T)为
奇函数,C正确;
D选项:设N(x)=/(x)+/(—x),则N(T)=/(T)+/(X)=N(X),贝iJ/(x)+/(—x)为偶
函数,D错误.
故选:C.
3.函数〃力=士的单调增区间是()
A.(f,?)B.(f,一)
C.(3,?)用,也)D.(-oo,-l?,-FOO)
【答案】C
【分析】分离常数,然后根据图像平移得到函数图像,继而求出单调增区间.
(lx)+1
【详解】/(x)=~~=-i+_L=—L-i;
1-x1-xx-\
.••八。的图象是由y=-L的图象沿X轴向右平移1个单位,然后沿y轴向下平移1个单位得
X
到,如下图
.•./(X)的单调增区间是(一8,1),(1,+8).
故选:c.
4.己知函数/(人)的定义域为R,/。十2)为奇函数,/(2%+1)为偶函数,则函数/(人)的
周期是()
A.2B.3C.4D.5
【答案】C
【分析】由奇函数性质可得〃r+2)=—/(x+2),由偶函数性质可得/(—2x+l)=/(2x+l),
化简整理可得f(x+2)=-f(x),即可求出周期.
【详解】因为/(x+2)为奇函数,所以〃-x+2)=-/(x+2),
因为f(2x+l)为偶函数,所以f(-2x+l)=〃2x+l),则〃T+l)=f(%+l),
则/[—(x+l)+l[=/(x+2),BP/(-x)=/(x+2),
所以“T+2)=—/(T),即f(x+2)=—/(x),贝IJ/(X+4)=—/(X+2)=/(X),
所以/(x)的周期是4.
故选:C.
5.若函数/(力=(1一/)(/+6一5)的图像关于直线1=0对称,则/⑺的最大值是()
A.-4B.4C.4或-4D.不存在
【答案】B
【分析】由函数/(x)的图像关于直线工=0对称,知/(刈为偶函数,由此可求出。值,再代
入/(力利用换元法可转化为二次函数求最值.
【详解】由函数〃力=(1-f)(f+奴-5)的图像关于直线x=0对称,知/(力是偶函数,
22
.,./(-x)=/(x),即--ar_5)=(l-x)(x+ar-5),
整理得2ai(r-l)=0总成立,得。=0,
.・/(力=(1-巧华-5),
令W=f(d0),则y=(lT)(f_5)=_*+6/_5=_«_3)2+4,
当r=3时,>有最大值4,即/(力的最大值是4.
故选:B.
6.己知函数/(人)的定义域是R,/(1十))为偶函数,VxeR,/(4十人)=-/(一人)成立,
/(1)=2,则f(2023)=()
A.-IB.IC.-2D.2
【答案】C
【分析】通过已知可判断了(x)是周期为4的函数,利用周期性即可求出.
【详解】因为〃1+力为偶函数,所以“l+»=/(lr),则/(2+M=/(T),
所以/(4+x)=—/(—x)=—/(2+切,则/(2+x)=-/(x)=/(—x),
所以〃4+x)=/a),所以/(x)是周期为4的函数,
因为〃4T)=_f[_(T)]f(1)7,/(3)=-2,
所以〃2023)=〃505x4+3)=〃3)=-2.
故选:C.
7.已知函数“X)是定义在(一,0)U(0,”)上的奇函数,且/(-1)=0,若对于任意两个实
数%,%£(0,48)且%=%,不等式"“)一"/)<o恒成立,则不等式犷•(力>0的解集是
X\~X2
()
A.(^o,-l)u(0,l)B.(-OO,-1)U(1,-HX>)
c.(-1,0)51,欣)D.(-l,O)U(OJ)
【答案】D
【分析】根据题意可得f(x)在区间(0,收)上单调递减,构造g(x)=4(x),可得g(©为偶函
数且在(y,0)上递增,在(0,+8)上递减,且g(-l)=g(D=0,即可求解.
【详解】解:由题可知,〃“)在区间(0,2)上单调递减,
又/⑺为奇函数,则f(T)=-fa),且f(-D=o,故/⑴=o,
设g(x)=#(x),则g(-x)=-#([¥)=#(x)=g(x),故g(x)为偶函数,
又gM在区间(-00,0)上单调递增,在区间(0,+8)上单调递减,
又g(-1)=g(D=0,所以gW>0的解集为(TO)U(O,1),
即xf(x)>0的解集为(TO)U(0,D.
故选:D.
8.意大利画家达・芬奇提出:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,那么项链所
形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题“,其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线
函数,其函数表达式为cosh%=《苧二,相应的双曲正弦函数的表达式为sinhx=J匚.设函
数/(力=鬻?,若实数用满足不等式〃2机+3)+/(->)<0,则m的取值范围为()
A.(-1,3)B.(-3,l)C.(-3,3)D.(-CO,-1)VJ(3,+OO)
【答案】D
【分析】根据题意,写出函数解析式,由奇偶性和单调性,解不等式.
【详解】由题意,八同=畔=鼻=,由==一誉;=_〃力,
coshAc+cc+cc+c
则函数f(x)为奇函数,即f(2〃?+3)+/(Tn2)<o=/(2〃?+3)<-f(一m2)
+因/(力===之==1一一易知其为增函数,
e+ee-+le+1
则26+3〈加,解得xv-1或x>3,
故选:D.
二、多选题
9.设函数”引={?[上:;〃力存在最小值时,实数。的值可能是()
A.-2B.-1C.0D.1
【答案】ABC
【分析】根据函数解析式,分。>0、。=0、avO三种情况讨论,当avo时根据二次函数的
性质只需函数在断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可;
/、{ax-\,x<a
【详解】解:因为/x=,0।、,
'-2ax+\,x>a
若a>0,当xva时〃x)=at-l在(-oo,a)上单调递增,当XTF时f(x)f此时函数
不存在最小值;
若。=0,则〃力=J+LCO,此时/(力.=-1,符合题意;
若a<0,当XV。时/(K)=O¥T在(Y0,a)上单调递减,
当众°时/(x)=f-*+1,
二次函数产炉-2公+1对称轴为x=",开口向上,此时/(力在田)上单调递增,
要使函数〃力存在最小值,只需2a2+1,解得。工一1,
综上可得4€(-oo,T]U{0}.
故选:ABC
,、f-2x+l,x<0
10.已知函数〃力=<2c1、八,则()
-A"+2^+l.x>0
A./(-1)=-2D,若/(a)=l,则。-0或a-2
C.函数f(x)在(0,1)上单调递减D.函数f(x)在[T2]的值域为[1,3]
【答案】BD
【分析】作出函数图象,根据图象逐个分析判断即可
【详解】函数/(x)的图象如左图所示.
/(-l)=-2x(-l)+l=3,故A错俣;
当°<0时,f(a)=l=>-2a+l=l=>a=0,此时方程无解;当/0时,f(a)=l^>-a2+2a+\
=ina=0或a=2,故B正确;
由图象可得,/(力在(0,1)上单调递增,故C错误;
由图象可知当xe[T,2]时,/(凡而=min{/(0)J(2)}=l,/(x)^=max{/(-l),/(l)}=3,
故/。)在[1,2]的值域为[1,3],D正确.
故选:BD.
11.已知函数/(%)是定义在R上的偶函数,当x20时,f(jc)=x2-2x,则()
A.””的最小值为-1B./(力在(-2,0)上单调递减
C.7(同40的解集为[—2,2]D.存在实数x满足〃X+2)+/(T)=0
【答案】ACD
【分析•】根据偶函数的性质求出函数解析式,即可画出函数图象,即可判断;
【详解】解:函数/Q)是定义在R上的偶函数,当"0时,/(X)=X9-2A=(X-1),-1,
设x<0,则-x>0,所以/(—x)=f+2x,因为/")是偶函数,所以/(-x)=/(x),
所以f(x)=d+2x,
x2-2x,x.0
所以/(%)=
X2+2X,X<0
函数图象如下所示:
可得”>0时,/(X)在x=l时取得最小值T,由偶函数的图象关于丁轴对称,可得/⑶在R
上取得最小值T,故A正确;
f(x)在上单调递减,在(-1,0)上单调递增,故B错误;
由IT1,八或/八,解得04工<2或_2<x<0,综上可得了(力40的解集为卜22],
Ix_Zxsu[x+Zxsu
故C正确;
由f(0)=0,/(-2)=/(2)=0,即存在实数X满足/(x+2)+/(—x)=0,故D正确;
故选:ACD.
12.我们知道,函数y=f(x)的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
y=/(外为奇函数.有同学发现可以将其推广为:函数y=/(x)的图象关于点Ra,b)成中
心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-人为奇函数.现在已知,函数
内+2的图像关于点(2,0)对称,则()
A./(2)=0
B.f⑴=3
C.对任意xeR,有f(2+x)+/(2—x)=0
D.存在非零实数%,使/(2+%)-/(2-%)=0
【答案】ACD
【分析】根据题意可得函数y=/(x+2)为奇函数,从而可判断D:再根据
/(x+2)+/(-x+2)=0,可求出利〃的值,从而可判断A,B;令〃2+力一/(2-力=0,
解方程即可判断D.
【详解】解:由题意,因为函数/(X)=V+如2+心+2的图像关于点(2,0)对称,
所以函数y=/(x+2)为奇函数,
所以/(x+2)+/(—x+2)=0,故C正确;
又y=/(%+2)=/+(〃2+6)/+(12+4,〃+〃)x+4/〃+2〃+10,
则/(x+2)+f(-x+2)=2(5+6)f+2(4利+方+10)=0,
_|/w+6=0m=-6
所以(4加+2〃+10=0{
所以/(x)=d-6f+7x+2,/(x+2)=V-5%,
则f(2)=0J⑴=4,故A正确,B错误;
令〃2+x)-/(2-x)=0,
贝|」2/一10工=0,解得x=0或土石,
所以存在非零实数而,使/(2+玉)-/(2-不)=0,故D正确.
故选:ACD.
三、填空题
13.函数〃力=42+4%-12的单调减区间为.
【答案】或(-co,-6)
【分析】优先考虑定义域,在研究复合函数的单调性时,要弄清楚它由什么函数复合而成的,
再根据“同增异减''可求解.
【详解】函数〃x)=Jx2+4x-12是由函数g(〃)=4和〃(x)=f+©-12组成的复合函数,
,X2+4X-12^0,解得XW-6或XN2,
;•函数y=的定义域是或xN2},
因为函数〃(x)=f+4K-12在(Y,-6]单调递减,在[2,2)单调递增,
而g(“)=4在[0,+8)上单调递增,
由复合函数单调性的“同增异减”,可得函数/(力的单调减区间(YO,-6].
故答案为:(-8,-6].
14.若偶函数/(九)在[0,+R)上单调递减,口/(1)=0,则不等式/(不一3人十3)之0的解集是
【答案】[L2]
【分析】根据偶函数的性质得到-"XVI时/(1)之0,即可将不等式化为-14/一3%+341,
解得即可.
【详解】解:因为偶函数/(力在[0,+8)上单调递减,所以“X)在(0,0)上单调递增,
又/(1)=0,所以/(—1)=/(1)=0,所以当-1WXW1时/(x”0,
则不等式f(f-3x+3"o等价于_132一31+3小,解得1«.2,
所以原不等式的解集为[1,2].
故答案为:[1,2]
15.设偶函数八x)在。位)上单调递减,且/(-3)=0,则不等式<0的解集是
【答案】(-3,0)U(3,E)
【分析】不等式等价于红迫<0,利用函数的奇偶性和单调性可得答案.
x
【详解】因为“幻是偶函数,所以以空上也<0等价于丝包<0,
2xx
又“外在(0,内)上单调递减,所以/(x)在(F,0)上单调递增.
fix)x<0Jx>0
由<0得,
XfW>0[f(x)<0
又f(-3)=0,所以f(3)=0,
x<0x>0
由,/。)>0得一3<x<0,由,/(幻<0得x>3,
J(-3)=01/(3)=0
故解集为(T0)53,+co).
故答案为:(一3,0)。(3,内).
16.已知函数/(力=卜-1用2工+4的最小值为2,则实数。的值为__.
【答案】-6或2
【分析】分类讨论。的取值范围,去掉绝对值符号,确定函数的最小值,解方程求得。的值.
3x+a-1,(x>——)
【详解】当-■|21,即。<一2时:/(x)=|A-l|+|2x+a|=«-x-a-l,(l<x<,
2
—3x—a+L(x<1)
结合其图象:
可知〃x)min=/(-§=-葭-1=2,所以a=-6或4=2(舍);
3x+a-l,(x>1)
当一擀<1,g[Ja>-2时,/(.v)=|.v-l|+|2x+«|=«x+a+l,(—KxKI),
2
八.za、
-3x-6r+l,(x<—)
2
则f(x)min=f(一?=一>1=2,所以a=2或a=-6(舍),
综上得a=-6或2,
故答案为:-6或2
四、解答题
2
17.已知/(x)=a-k;(aeR)
3+1
⑴证明/(X)是R上的增函数;
(2)是否存在实数。使函数/(力为奇函数?若存在,请求出。的值,若不存在,说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在实数。=1,理由见解析
【分析】(1)根据单调性的定义即可作差比较函数值的大小即可证明:(2)根据/(0)=0可
求得。的值,进而根据奇函数的定义证明即可.
【详解】⑴对任意xeR都有3、1=0,,〃力的定义域是R,
222(3演-3-)
设则/(占)=-;^-----:——
汉22eRHx<x2,,,八J八/(x"j八-七,3怂+13J1=7(_3号--+1e)r俄——+々1)
•・・y=3,在R上是增函数,且王<为
/.3X'<3&且(3内+1乂3版+1)>0=/(百)一/(电)<0=/(%)<f(W)
\/(X)是R1二的增函数.
(2)若存在实数。使函数/(%)为R上的奇函数,则/(O)=Ona=l
2
下面证明a=l时/(x)=l-是奇函数
\"X)为R上的奇函数
••・存在实数4=1,使函数“X)为R上的奇函数.
18.定义在(0,+8)上的函数满足下面三个条件:
①对任意正数ab,都有/(〃)+/(»=/(必);②当X>1时,/(x)<0:③/(2)=-1
⑴求/⑴和的值;
(2)试用单调性定义证明:函数/(力在(0,+8)上是减函数;
(3)求满足/(4/-12/)+2>/(18"的%的取值集合.
【答案】(1)/(1)=0,/(;)=2
⑵证明见解析
(3)xe(3,6)
【分析】(D赋值计算得解;
(2)根据定义法证明单调性;
(3)根据①及单调性计算得解.
【详解】(1)卢尸1得/⑴可。)+〃1),则/(1)=0,
而“4)可⑵+〃2)=-1-1=-2,
且/(4)+/(£|=〃1)=°,则/(目=2;
⑵取定义域中的任意的为,与,且0<司</,:•§》1,
当工>1时,/(x)<0,"目<0,
/\/\
=fM+f--fM=f%<o,
IXJkXl>
.•J(力在(0,+8)上为减函数.
⑶由条件①及(I)的结果得,./(4XM2X2)+2>/(18X)
,.-./(4?-12X2)+/^>/(18A),
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