高一数学人教A版2019必修第一册32函数的基本性质学案含解析

3.2函数的基本性质

m目标导航

1.了解函数的单调区间、单调性等概念.

2.会用定义证明函数的单调性.

3.了解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.

4.会借助单调性求最值.

5.了解函数奇偶性的定义，掌握性数奇偶性的判断和证明方法.

6.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.

7.掌握用奇偶性求解析式的方法.

嬲?读

知识点一增函数与减函数的定义

前提条件设函数儿1）的定义域为7,区间DQI

Vxi，X2《。，X|<X2

条件

都有犬汨）勺伏2）都有人即）次X2）

yyyW)

图示疵】）产几）

!

X|必

0X\x2!r0x

结论«K）在区间。上单调递增«r）在区间。上单调递减

当函数«x）在它的定义域上单调递增当函数凡封在它的定义域上单调

特殊情况

时，我们就称它是—函数递减时，我们就称它是—函数

知识点二函数的单调区间

如果函数y=/U）在区间。上，那么就说函数丁=段）在这一区间具有，区间。叫做y=/U）的

单调区间.

最大值最小值

一般地，设函数>=凡¥）的定义域为/,如果存在实数M满足：VA-e/,都有

条件危)—M府）一M

3x0e/,使得__________

结论称M是函数y=40的最大值称M是函数），=/3）的最小值

几何意义/（X）图象上最高点的_________火X）图象上最低点的________

知识点四求函数最值的常用方法

1.图象法：作出y=«r）的图象，观察最高点与最低点，最高（低）点的纵坐标即为函数的最

大（小）值.

2.运用已学函数的值域.

3.运用函数的单调性：

⑴若y=Kx）在区间［a,可上单调递增，则丁2=，

Nmin=♦

（2）若y=£x）在区间m，可上单调递减，则ymax=,

ymin—•

4.分段函数的最大（小）值是指各段上的最大（小）值中最大（小）的那个.

知识点五函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

设函数式幻的定义域为/,如果Vx£/,都有一xW/,

偶函数关于—对称

且____________________，那么函数,/）是偶函数

设函数共0的定义域为/,如果Vxw/,都有一

奇函数关于—对称

且____________________，那么函数«x）是奇函数

知识点六用奇彳号性求解析式

如果已知函数的奇偶性和一个区间［小句上的解析式，求关于原点的对称区间［一儿一4］上

的解析式，其解决思路为

（1）“求谁设谁”，印在哪个区间上求解析式，X就应在哪个区间上设.

（2）要利用已知区间的解析式进行代入.

（3）利用兀0的奇偶性写出一段）或五一力，从而解出fix）.

知识点七函数的奇偶性与单调性

1.若人¥）为奇函数且在区间［a,A］（a<b）上单调递增，则人外在［一力，一以］上，即在对称区间

上单调性.

2.若｛r）为偶函数且在区间［小如加上为单调递增，则4”）在［一4一〃］上，即在对称区

间上单调性.

0跟踪训练

一、单选题

1.已知/（X）是以2为周期的函数，且/（力=4工£［_］内，则/⑺=（）

A.IB.-IC.±1D.7

2.设/（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）

A.是奇函数B./（力|〃-力|是奇函数

C./(X)-/(-X)是奇函数D./(X)+/(T)是奇函数

3.函数〃])=*的单调增区间是()

1-X

A.(YO」)B.(YO/)5,+OO)

C.，y)D.(-oo,-l?,-FOO)

4.已知函数的定义域为R,/(x+2)为奇函数，/(2x+l)为偶函数，则函数的

周期是()

A.2B.3C.4D.5

5.若函数/(力=(1一/)(/+成:-5)的图像关于直线1=0对称，则/⑴的最大值是()

A.-4B.4C.4或-4D.不存在

6.已知函数“X)的定义域是R,41+力为偶函数，VXGR,〃4+刈=一/(—x)成立，

"1)=2,则“2023)=()

A.-IB.IC.-2D.2

7.已知函数“X)是定义在(-8,0)U(0,~)上的奇函数，且/(-1)=0,若对于任意两个实

数%,%£(0,48)且％=%，不等式"“)一"/)<o恒成立,则不等式犷•(力>0的解集是

X\~X2

()

A.(^o,-l)u(0,l)B.(-OO,-1)U(1,-HX>)

c.(-1,0)51,欣)D.(-l,O)U(OJ)

8.意大利画家达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所

形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题“，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线

函数，其函数表达式为coshx=g;，相应的双曲正弦函数的表达式为01山'=三匚.设函

数人月=瞿9,若实数机满足不等式/⑵〃+3)+/(->)<0,则m的取值范围为()

A.(一L3)B.(―3,1)C.(―3,3)D.(-oo,T)kj(3,4oo)

二、多选题

9.设函数/（%）存在最小值时，实数。的值可能是（）

A.-2B.-1C.0D.1

,w、［-2x+l,x<0

10.己知函数/力=2°I、八，则（）

1-x'+2x+l、x20

A./（-1）=-2B.若=则。=0或。=2

C.函数“力在（04）上单调递减D.函数/（x）在［T2］的值域为［1,3］

2

11.已知函数/（力是定义在R上的偶函数，当“20时，f（x）=x-2xt则（）

A./（力的最小值为-1B.〃力在（-2,0）上单调递减

C./（力二0的解集为［-2,22.存在实数“满足/（》+2）+〃一切=0

12.我们知道，函数y=f（x）的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数

y=/（x）为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=/（x）的图象关于点Ra,b）成中

心对称图形的充要条件是函数y=/（x+。）一方为奇函数.现在已知，函数

f（x）=d+侬2+依+2的图像关于点QQ）对称，则（）

A./（2）=0

B.7⑴=3

C.对任意xeR,有/（2+X）+/（2—X）=0

D.存在非零实数%,使/（2+%）-/（2-%）=0

三、填空题

13.函数/（力=+4x-12的单调减区间为.

14.若偶函数/（力在［0,y）上单调递减，且/0）=0,则不等式/什-3工+3）之0的解集是

15.设偶函数〃幻在（。,帝）上单调递减，且/（-3）=0,则不等式"2:"一、<0的解集是

2x

16.已知函数/（x）=k-l|+|2x+a|的最小值为2,则实数。的值为一.

四、解答题

2

17.己知=a-不w（aeR）

⑴证明/（x）是R上的增函数；

（2）是否存在实数。使函数/（同为奇函数？若存在，请求出”的值，若不存在，说明理由.

18.定义在（0,+8）上的函数”同满足下面三个条件：

①对任意正数aO都有/（a）+/（b）=/（必）；②当x>l时,/（x）<0；③/（2）=-1

⑴求/⑴和的值；

（2）试用单调性定义证明：函数/（力在（0,+8）上是减函数；

⑶求满足/（4/-12/）+2>/（1口）的％的取值集合.

19.已知函数/（力="-：在定义城［1,20］上单调递增

（1）求a的取值范围；

⑵若方程〃"二10存在整数解，求满足条件的〃的个数.

20.已知/（外是定义在R上的偶函数，当xWO时，f（x）=x2+2x+2.

（1）求函数/㈤的解析式;

（2）定义在［〃国］上的一个函数皿此，用分法丁：〃〈毛〈…〈工户夕将区间出司任意划

分为〃个小区间，如果存在一个常数使得和式^恒成立，则称

函数砥X）为在［〃应］上的有界变差函数.试判断函数/（X）是否为在［L3］上的有界变差函数？

若是，求知的最小值；若不是，请说明理由

3.2函数的基本性质

凰目标导航

1.了解函数的单调区间、单调性等概念.

2.会用定义证明函数的单调性.

3.了解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.

4.会借助单调性求最值.

5.了解函数奇偶性的定义，掌握豕数奇偶性的判断和证明方法.

6.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.

7.掌握用奇偶性求解析式的方法.

盛懈读

一增函数与减函数的定义

前提条件设函数Kr）的定义域为/,区间DG/

VXi，Xl<X2

条件

都有人汨）4及）都有直3）次X2）

yy

图示恤I）!艮X。产向）

!

oX\x210X|必x

结论於）在区间。上单调递增40在区间。上单调递减

当函数凡0在它的定义域上单调递增当函数用在它的定义域上单调

特殊情况

时，我们就称它是—函数递减时，我们就称它是—函数

【答案】增减

知识点二函数的单调区间

如果函数力在区间。上，那么就说函数在这一区间具有，区间。叫做y=/U）的

单调区间.

【答案】单调递增或单调递减（严珞的）单调性

知识点三函数的最大值与最小值

最大值最小值

一般地，设函数y=ya）的定义域为/,如果存在实数“满足：Vxe/,都有

条件

3x0eZ,使得__________

结论称M是函数丁=洲%）的最大值称M是函数），=/）的最小值

几何意义兀0图象上最高点的—凡外图象上最低点的—

【答案】仝纵坐标纵坐标

知识点四求函数最值的常用方法

1.图象法：作出y=/U）的图象，观察最高点与最低点，最高（低）点的纵坐标即为函数的最

大（小）值.

2.运用已学函数的值域.

3.运用函数的单调性：

（1）若y=/（x）在区间■，6］上单调递增，则ymax=,

ymin=.

（2）若y="r）在区间［a,可上单调递减，则）*=,

为1泊=・

4.分段函数的最大（小）值是指各段上的最大（小）值中最大（小）的那个.

【答案】加加期期b）

知识点五函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

设函数人工）的定义域为/,如果都有一

偶函数关于一对称

且____________________,那么函数久0是偶函数

设函数火幻的定义域为/,如果VxW/,都有一

奇函数关于—对称

且____________________,那么函数危）是奇函数

【答案】大一"）=於»轴＜一%）=一凡丫）原点

知识点六用奇偶性求解析式

如果已知函数的奇偶性和一个区间［八句上的解析式，求关于原点的对称区间［一人一切上

的解析式，其解决思路为

（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，X就应在哪个区间上设.

（2）要利用已知区间的解析式进行代入.

（3）利用/（x）的奇偶性写出一段）或五-x）,从而解出人工）.

知识点七函数的奇偶性与单调性

1.若以）为奇函数且在区间［a,坊3＜力）上单调递增，则段）在［―8,一«］上，即在对称区间

上单调性.

2.若凡0为偶函数且在区间［。，冰。＜母上为单调递增，则火0在［一4一0上，即在对称区

间上单调性.

【答案】单调递增一致（相同）单调递减相反

国跟踪训练

一、单选题

1.已知f（x）是以2为周期的函数，且/（x）=f,xe［T,l］,则/⑺=（）

A.IB.-IC.±1D.7

【答案】A

【分析】除三角函数外，也有很多周期函数.可以利用周期函数的定义求值或求解析式.

【详解】因为函数/（X）是周期为2的周期函数，所以兼为/（力的周期，即

f(x+2k)=f(x\keZ.

所以〃7)=/(1+6)=〃1)=12=I.

故选：A.

2.设/(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()

A./(x)/(r)是奇函数B./(必〃—力|是奇函数

C.〃力―/(r)是奇函数D.〃力+〃一”是奇函数

【答案】C

【分析】由奇函数和偶函数的定义依次判断即可.

【详解】A选项：设尸(X)=/(X)/(T),F(-X)=/(-X)/(X)=F(X),则/(X)/(T)为偶

函数，A错误；

B选项：设G(X)=/(X)|〃T)|,则G(T)=〃T)|/(X)|,G(x)与G(-x)关系不定，即不

确定/(X)|/(T)|的奇偶性，B错误：

C选项：设M(x)=/(x)—/(r).则M(T)=/(T)—/(X)=—例(X),则〃同一“T)为

奇函数，C正确；

D选项：设N(x)=/(x)+/(—x),则N(T)=/(T)+/(X)=N(X),贝iJ/(x)+/(—x)为偶

函数，D错误.

故选：C.

3.函数〃力=士的单调增区间是()

A.(f,?)B.(f，一)

C.(3，?)用，也)D.(-oo,-l?,-FOO)

【答案】C

【分析】分离常数，然后根据图像平移得到函数图像，继而求出单调增区间.

(lx)+1

【详解】/(x)=~~=-i+_L=—L-i；

1-x1-xx-\

.••八。的图象是由y=-L的图象沿X轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移1个单位得

X

到，如下图

.•./(X)的单调增区间是(一8,1),(1,+8).

故选：c.

4.己知函数/(人)的定义域为R,/。十2)为奇函数，/(2%+1)为偶函数，则函数/(人)的

周期是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由奇函数性质可得〃r+2)=—/(x+2),由偶函数性质可得/(—2x+l)=/(2x+l),

化简整理可得f(x+2)=-f(x),即可求出周期.

【详解】因为/(x+2)为奇函数，所以〃-x+2)=-/(x+2),

因为f(2x+l)为偶函数,所以f(-2x+l)=〃2x+l),则〃T+l)=f(%+l),

则/[—(x+l)+l[=/(x+2),BP/(-x)=/(x+2),

所以“T+2)=—/(T),即f(x+2)=—/(x),贝IJ/(X+4)=—/(X+2)=/(X),

所以/(x)的周期是4.

故选：C.

5.若函数/(力=(1一/)(/+6一5)的图像关于直线1=0对称，则/⑺的最大值是()

A.-4B.4C.4或-4D.不存在

【答案】B

【分析】由函数/(x)的图像关于直线工=0对称，知/(刈为偶函数，由此可求出。值，再代

入/(力利用换元法可转化为二次函数求最值.

【详解】由函数〃力=(1-f)(f+奴-5)的图像关于直线x=0对称，知/(力是偶函数，

22

.,./(-x)=/(x),即--ar_5)=(l-x)(x+ar-5),

整理得2ai(r-l)=0总成立，得。=0,

.・/(力=(1-巧华-5),

令W=f(d0),则y=(lT)(f_5)=_*+6/_5=_«_3)2+4,

当r=3时，＞有最大值4,即/(力的最大值是4.

故选：B.

6.己知函数/(人)的定义域是R,/(1十))为偶函数，VxeR,/(4十人)=-/(一人)成立，

/(1)=2,则f(2023)=()

A.-IB.IC.-2D.2

【答案】C

【分析】通过已知可判断了(x)是周期为4的函数，利用周期性即可求出.

【详解】因为〃1+力为偶函数，所以“l+»=/(lr),则/(2+M=/(T),

所以/(4+x)=—/(—x)=—/(2+切，则/(2+x)=-/(x)=/(—x),

所以〃4+x)=/a),所以/(x)是周期为4的函数，

因为〃4T)=_f[_(T)]f(1)7,/(3)=-2,

所以〃2023)=〃505x4+3)=〃3)=-2.

故选：C.

7.已知函数“X)是定义在(一,0)U(0,”)上的奇函数，且/(-1)=0,若对于任意两个实

数%,%£(0,48)且％=%，不等式"“)一"/)<o恒成立,则不等式犷•(力>0的解集是

X\~X2

()

A.(^o,-l)u(0,l)B.(-OO,-1)U(1,-HX>)

c.(-1,0)51,欣)D.(-l,O)U(OJ)

【答案】D

【分析】根据题意可得f(x)在区间(0，收)上单调递减，构造g(x)=4(x),可得g(©为偶函

数且在(y,0)上递增，在(0,+8)上递减，且g(-l)=g(D=0,即可求解.

【详解】解：由题可知，〃“)在区间(0,2)上单调递减，

又/⑺为奇函数，则f(T)=-fa),且f(-D=o,故/⑴=o,

设g(x)=#(x),则g(-x)=-#([¥)=#(x)=g(x),故g(x)为偶函数，

又gM在区间(-00,0)上单调递增，在区间(0,+8)上单调递减，

又g(-1)=g(D=0,所以gW>0的解集为(TO)U(O,1)，

即xf(x)>0的解集为(TO)U(0,D.

故选：D.

8.意大利画家达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所

形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题“，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线

函数，其函数表达式为cosh%=《苧二，相应的双曲正弦函数的表达式为sinhx=J匚.设函

数/(力=鬻?，若实数用满足不等式〃2机+3)+/(->)<0,则m的取值范围为()

A.(-1,3)B.(-3,l)C.(-3,3)D.(-CO,-1)VJ(3,+OO)

【答案】D

【分析】根据题意，写出函数解析式，由奇偶性和单调性，解不等式.

【详解】由题意，八同=畔=鼻=，由==一誉;=_〃力，

coshAc+cc+cc+c

则函数f(x)为奇函数，即f(2〃?+3)+/(Tn2)<o=/(2〃?+3)<-f(一m2)

+因/(力===之==1一一易知其为增函数，

e+ee-+le+1

则26+3〈加，解得xv-1或x>3,

故选：D.

二、多选题

9.设函数”引={?［上:;〃力存在最小值时，实数。的值可能是()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】ABC

【分析】根据函数解析式，分。>0、。=0、avO三种情况讨论，当avo时根据二次函数的

性质只需函数在断点处左侧的函数值不小于右侧的函数值即可；

/、{ax-\,x<a

【详解】解：因为/x=,0।、，

'-2ax+\,x>a

若a>0,当xva时〃x)=at-l在(-oo,a)上单调递增，当XTF时f(x)f此时函数

不存在最小值；

若。=0,则〃力=J+LCO,此时/(力.=-1,符合题意;

若a<0,当XV。时/(K)=O¥T在(Y0,a)上单调递减,

当众°时/(x)=f-*+1,

二次函数产炉-2公+1对称轴为x="，开口向上，此时/(力在田)上单调递增，

要使函数〃力存在最小值，只需2a2+1，解得。工一1，

综上可得4€(-oo,T］U{0}.

故选：ABC

,、f-2x+l,x<0

10.已知函数〃力=<2c1、八，则()

-A"+2^+l.x>0

A./(-1)=-2D,若/(a)=l,则。-0或a-2

C.函数f(x)在(0,1)上单调递减D.函数f(x)在［T2］的值域为［1,3］

【答案】BD

【分析】作出函数图象，根据图象逐个分析判断即可

【详解】函数/(x)的图象如左图所示.

/(-l)=-2x(-l)+l=3,故A错俣；

当°<0时，f(a)=l=>-2a+l=l=>a=0,此时方程无解；当/0时，f(a)=l^>-a2+2a+\

=ina=0或a=2,故B正确；

由图象可得，/(力在(0,1)上单调递增，故C错误；

由图象可知当xe［T,2］时，/(凡而=min{/(0)J(2)}=l,/(x)^=max{/(-l),/(l)}=3,

故/。)在［1,2］的值域为［1,3］,D正确.

故选：BD.

11.已知函数/(%)是定义在R上的偶函数，当x20时，f(jc)=x2-2x,则()

A.””的最小值为-1B./(力在(-2,0)上单调递减

C.7(同40的解集为［—2,2］D.存在实数x满足〃X+2)+/(T)=0

【答案】ACD

【分析•】根据偶函数的性质求出函数解析式，即可画出函数图象，即可判断；

【详解】解：函数/Q)是定义在R上的偶函数，当"0时，/(X)=X9-2A=(X-1),-1,

设x<0,则-x>0,所以/(—x)=f+2x,因为/")是偶函数，所以/(-x)=/(x),

所以f(x)=d+2x,

x2-2x,x.0

所以/(%)=

X2+2X,X<0

函数图象如下所示：

可得”>0时，/(X)在x=l时取得最小值T,由偶函数的图象关于丁轴对称，可得/⑶在R

上取得最小值T，故A正确；

f(x)在上单调递减，在(-1,0)上单调递增，故B错误；

由IT1,八或/八，解得04工<2或_2<x<0,综上可得了(力40的解集为卜22],

Ix_Zxsu[x+Zxsu

故C正确;

由f(0)=0,/(-2)=/(2)=0,即存在实数X满足/(x+2)+/(—x)=0,故D正确；

故选：ACD.

12.我们知道，函数y=f(x)的图象关系坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数

y=/(外为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=/(x)的图象关于点Ra,b)成中

心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-人为奇函数.现在已知，函数

内+2的图像关于点(2,0)对称，则()

A./(2)=0

B.f⑴=3

C.对任意xeR,有f(2+x)+/(2—x)=0

D.存在非零实数%,使/(2+%)-/(2-%)=0

【答案】ACD

【分析】根据题意可得函数y=/(x+2)为奇函数，从而可判断D：再根据

/(x+2)+/(-x+2)=0,可求出利〃的值，从而可判断A,B；令〃2+力一/(2-力=0,

解方程即可判断D.

【详解】解：由题意，因为函数/(X)=V+如2+心+2的图像关于点(2,0)对称,

所以函数y=/(x+2)为奇函数,

所以/(x+2)+/(—x+2)=0,故C正确；

又y=/(%+2)=/+(〃2+6)/+(12+4，〃+〃)x+4/〃+2〃+10,

则/(x+2)+f(-x+2)=2(5+6)f+2(4利+方+10)=0,

_|/w+6=0m=-6

所以(4加+2〃+10=0{

所以/(x)=d-6f+7x+2,/(x+2)=V-5%,

则f(2)=0J⑴=4,故A正确,B错误;

令〃2+x)-/(2-x)=0,

贝|」2/一10工=0,解得x=0或土石，

所以存在非零实数而，使/(2+玉)-/(2-不)=0,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13.函数〃力=42+4%-12的单调减区间为.

【答案】或(-co,-6)

【分析】优先考虑定义域,在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，

再根据“同增异减''可求解.

【详解】函数〃x)=Jx2+4x-12是由函数g(〃)=4和〃(x)=f+©-12组成的复合函数,

,X2+4X-12^0,解得XW-6或XN2,

;•函数y=的定义域是或xN2},

因为函数〃(x)=f+4K-12在(Y,-6］单调递减，在［2,2)单调递增，

而g(“)=4在［0,+8)上单调递增,

由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数/(力的单调减区间(YO,-6］.

故答案为：(-8,-6］.

14.若偶函数/(九)在［0,+R)上单调递减，口/(1)=0,则不等式/(不一3人十3)之0的解集是

【答案】［L2］

【分析】根据偶函数的性质得到-"XVI时/(1)之0,即可将不等式化为-14/一3%+341,

解得即可.

【详解】解：因为偶函数/(力在［0,+8)上单调递减，所以“X)在(0,0)上单调递增，

又/(1)=0,所以/(—1)=/(1)=0,所以当-1WXW1时/(x”0,

则不等式f(f-3x+3"o等价于_132一31+3小，解得1«.2,

所以原不等式的解集为［1,2］.

故答案为：［1，2］

15.设偶函数八x)在。位)上单调递减，且/(-3)=0,则不等式＜0的解集是

【答案】(-3,0)U(3,E)

【分析】不等式等价于红迫＜0,利用函数的奇偶性和单调性可得答案.

x

【详解】因为“幻是偶函数，所以以空上也＜0等价于丝包＜0,

2xx

又“外在(0,内)上单调递减，所以/(x)在(F,0)上单调递增.

fix)x<0Jx>0

由＜0得，

XfW>0[f(x)<0

又f(-3)=0,所以f(3)=0,

x<0x>0

由，/。)>0得一3<x<0,由，/(幻<0得x>3,

J(-3)=01/(3)=0

故解集为(T0)53,+co).

故答案为：(一3,0)。(3,内).

16.已知函数/(力=卜-1用2工+4的最小值为2,则实数。的值为__.

【答案】-6或2

【分析】分类讨论。的取值范围，去掉绝对值符号，确定函数的最小值，解方程求得。的值.

3x+a-1,(x>——)

【详解】当-■|21,即。<一2时：/(x)=|A-l|+|2x+a|=«-x-a-l,(l<x<,

2

—3x—a+L(x<1)

结合其图象：

可知〃x）min=/（-§=-葭-1=2,所以a=-6或4=2（舍）；

3x+a-l,(x>1)

当一擀<1,g[Ja>-2时，/(.v)=|.v-l|+|2x+«|=«x+a+l,(—KxKI),

2

八.za、

-3x-6r+l,(x<—)

2

则f(x)min=f(一?=一>1=2,所以a=2或a=-6(舍),

综上得a=-6或2,

故答案为：-6或2

四、解答题

2

17.已知/（x）=a-k；（aeR）

3+1

⑴证明/（X）是R上的增函数；

（2）是否存在实数。使函数/（力为奇函数？若存在，请求出。的值，若不存在，说明理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）存在实数。=1,理由见解析

【分析】（1）根据单调性的定义即可作差比较函数值的大小即可证明：（2）根据/（0）=0可

求得。的值，进而根据奇函数的定义证明即可.

【详解】⑴对任意xeR都有3、1=0,，〃力的定义域是R,

222(3演-3-)

设则/(占)=-；^-----：——

汉22eRHx<x2,，,八J八/(x"j八-七，3怂+13J1=7(_3号--+1e)r俄——+々1)

•・・y=3，在R上是增函数，且王<为

/.3X'<3&且(3内+1乂3版+1)>0=/(百)一/(电)<0=/(%)<f(W)

\/(X)是R1二的增函数.

(2)若存在实数。使函数/(%)为R上的奇函数，则/(O)=Ona=l

2

下面证明a=l时/(x)=l-是奇函数

\"X)为R上的奇函数

••・存在实数4=1，使函数“X)为R上的奇函数.

18.定义在(0,+8)上的函数满足下面三个条件：

①对任意正数ab,都有/(〃)+/(»=/(必)；②当X>1时，/(x)<0：③/(2)=-1

⑴求/⑴和的值；

(2)试用单调性定义证明：函数/(力在(0,+8)上是减函数；

(3)求满足/(4/-12/)+2>/(18"的％的取值集合.

【答案】(1)/(1)=0,/(；)=2

⑵证明见解析

(3)xe(3,6)

【分析】(D赋值计算得解；

(2)根据定义法证明单调性；

(3)根据①及单调性计算得解.

【详解】(1)卢尸1得/⑴可。)+〃1),则/(1)=0,

而“4)可⑵+〃2)=-1-1=-2,

且/(4)+/(£|=〃1)=°，则/(目=2；

⑵取定义域中的任意的为，与，且0<司</，:•§》1，

当工>1时，/(x)<0,"目<0,

/\/\

=fM+f--fM=f%<o,

IXJkXl>

.•J（力在（0,+8）上为减函数.

⑶由条件①及（I）的结果得，./（4XM2X2）+2>/（18X）

,.-./（4?-12X2）+/^>/（18A）,