《混凝土结构基本原理》受弯构件正截面承载力计算

第五章受弯构件正截面承载力计算主要内容5.1

概述5.2受弯构件的一般构造5.3

受弯构件的正截面的受力分析正截面受弯构件承载力计算的基本假定与应用

5.4

5.5单筋矩形截面受弯构件的正截面承载力计算

5.6双筋矩形截面受弯构件的正截面承载力计算

5.7

5.8T形截面受弯构件的正截面承载力计算深受弯构件的正截面承载力计算5.1概述受弯构件是指截面上通常有弯矩和剪力共同作用而轴力可以忽略不计的构件。梁和板是典型的受弯构件。它们是土木工程中使用面最广的一类构件。梁和板的区别在于：梁的截面高度一般大于其宽度，而板的截面高度则远小于其宽度。

结构和构件要满足承载能力极限状态和正常使用极限状态的要求。梁、板正截面受弯承载力计算就是从满足承载能力极限状态出发的，即要求满足

M≤Mu(5-1)式中的M是受弯构件正截面的弯矩设计值，它是由结构上的作用所产生的内力设计值；Mu是受弯构件正截面受弯承载力的设计值，它是由正截面上材料所产生的抗力。（1）截面形状

梁、板常用矩形、T形、I字形、槽形、空心板和倒L形梁等对称和不对称截面

5.2受弯构件的一般构造(2)梁、板的截面尺寸

1)矩形截面梁的高宽比h/b一般取2.0～2.5；T形截面梁的h/b一般取2.5～4.0(此处b为梁肋宽)。矩形截面的宽度或T形截面的肋宽b一般取为100、120、150、(180)、200、(220)、250和300mm，300mm以下的级差为50mm；括号中的数值仅用于木模。

2)梁的高度采用h＝250、300、350、750、800、900、1000mm等尺寸。800mm以下的级差为50mm，以上的为l00mm。

3)现浇板的宽度一般较大，设计时可取单位宽度(b=1000mm)进行计算。5.2受弯构件的一般构造（3）材料选择

1）混凝土强度等级：梁、板常用的混凝土强度等级是C20、C30、C40。

2）钢筋强度等级及常用直径：梁中纵向受力钢筋宜采用HRB400级、HRB500级、HRBF400级和HRBF500级，也可采用HPB300、HRB335、RRB400级钢筋，常用直径为12mm、14mm、16mm、18mm、20mm、22mm和25mm。根数不得少于2根。

3）梁的箍筋宜采用HRB400级、HRBF400级、HPB300级、HRB500级和HRBF500级的钢筋，也可采用HRB335钢筋。梁的高度在300mm及以上，箍筋直径不应小于10mm，梁的高度小于300mm，箍筋直径不应小于8mm。

4）板的分布钢筋，当按单向板设计时，除沿受力方向布置受力钢筋外，还应在垂直受力方向布置分布钢筋。分布钢筋宜采用HPB300级(Ⅰ级)和HRB335级(Ⅱ级)级钢筋，常用直径是6mm和8mm。

5.2受弯构件的一般构造4）纵向受拉钢筋的配筋百分率设正截面上所有纵向受拉钢筋的合力点至截面受拉边缘的竖向距离为as，则合力点至截面受压区边缘的竖向距离h0＝h－as。这里，h是截面高度，下面将讲到对正截面受弯承载力起作用的是h0，而不是h，所以称h0为截面的有效高度，称bh0为截面的有效面积，b是截面宽度。纵向受拉钢筋的总截面面积用As表示，单位为mm2。纵向受拉钢筋总截面面积As与正截面的有效面积bh0的比值，称为纵向受拉钢筋的配筋百分率，用ρ表示，或简称配筋率，用百分数来计量，即

(％)(5-2)

纵向受拉钢筋的配筋率ρ在一定程度上标志了正截面上纵向受拉钢筋与混凝土之间的面积比率，它是对梁的受力性能有很大影响的一个重要指标。

5.2受弯构件的一般构造5）混凝土保护层厚度

纵向受力钢筋的外表面到截面边缘的垂直距离，称为混凝土保护层厚度，用c表示。

混凝土保护层有三个作用：保护纵向钢筋不被锈蚀；在火灾等情况下，使钢筋的温度上升缓慢；使纵向钢筋与混凝土有较好的粘结。

5.2受弯构件的一般构造受弯5.3.1

受弯构件正截面受弯的受力过程hasbAsh0xnecesf5.3受弯构件的正截面的受力分析hasbAsh0xnecesfxnecesfMAshasbh0hasbAsh0exncesfMcrMfthasbAsh0xnecesfMyfybhasAsh0ecxnesfMfyhasbAsh0xnecesfMufy弹性受力阶段（Ⅰ阶段）:混凝土开裂前的未裂阶段

从开始加荷到受拉区混凝土开裂，梁的整个截面均参加受力，由于弯矩很小，应变沿梁截面高度为直线变化。虽然受拉区混凝土在开裂以前有一定的塑性变形，但整个截面的受力基本接近线弹性，荷载-挠度曲线或弯矩-曲率曲线基本接近直线。截面抗弯刚度较大，挠度和截面曲率很小，钢筋的应力也很小，且都与弯矩近似成正比。在弯矩增加到Mcr时，受拉区边缘纤维的应变值即将到达混凝土受弯时的极限拉应变实验值εtu0，截面处于即将开裂状态，称为第I阶段末，用Ia表示。5.3受弯构件的正截面的受力分析5.3.2适筋梁正截面受力的三个阶段带裂缝工作阶段（Ⅱ阶段）：混凝土开裂后至钢筋屈服前的裂缝阶段在开裂瞬间，开裂截面受拉区混凝土退出工作，其开裂前承担的拉力将转移给钢筋承担，导致钢筋应力有一突然增加（应力重分布），这使中和轴比开裂前有较大上移。

M0=Mcr0时，在纯弯段抗拉能力最薄弱的某一截面处，当受拉区边缘纤维的拉应变值到达混凝土极限拉应变实验值εtu0时，将首先出现第一条裂缝，一旦开裂，梁即由第I阶段转入为第Ⅱ阶段工作。

弯矩再增大，截面曲率加大，同时主裂缝开展越来越宽。由于受压区混凝土应变不断增大，受压区混凝土应变增长速度比应力增长速度快，塑性性质表现得越来越明显，受压区应力图形呈曲线变化。当弯矩继续增大到受拉钢筋应力即将到达屈服强度fy0时，称为第Ⅱ阶段末，用Ⅱa表示。5.3受弯构件的正截面的受力分析

第Ⅱ阶段是截面混凝土裂缝发生、开展的阶段，在此阶段中梁是带裂缝工作的。其受力特点是：1)在裂缝截面处，受拉区大部分混凝土退出工作，拉力主要由纵向受拉钢筋承担，但钢筋没有屈服；2)受压区混凝土已有塑性变形，但不充分，压应力图形为只有上升段的曲线；3)弯矩与截面曲率是曲线关系，截面曲率与挠度的增长加快了。

5.3受弯构件的正截面的受力分析屈服阶段（Ⅲ阶段）：钢筋开始屈服至截面破坏的

破坏阶段

纵向受力钢筋屈服后，正截面就进入第Ⅲ阶段工作。

钢筋屈服。截面曲率和梁的挠度也突然增大，裂缝宽度随之扩展并沿梁高向上延伸，中和轴继续上移，受压区高度进一步减小。弯矩再增大直至极限弯矩值Mu0时，称为第Ⅲ阶段末，用Ⅲa表示。

在第Ⅲ阶段整个过程中，钢筋所承受的总拉力大致保持不变，但由于中和轴逐步上移，内力臂z略有增加，故截面极限弯矩Mu0略大于屈服弯矩My0,可见第Ⅲ阶段是截面的破坏阶段，破坏始于纵向受拉钢筋屈服，终结于受压区混凝土压碎。

5.3受弯构件的正截面的受力分析

其特点是：

1)纵向受拉钢筋屈服，拉力保持为常值；裂缝截面处，受拉区大部分混凝土已退出工作，受压区混凝土压应力曲线图形比较丰满，有上升段曲线，也有下降段曲线；

2)弯矩还略有增加；

3)受压区边缘混凝土压应变达到其极限压应变实验值εcu时，混凝土被压碎，截面破坏；

4)弯矩—曲率关系为接近水平的曲线。5.3受弯构件的正截面的受力分析Ⅲa状态：计算Mu的依据。Ⅰa状态：计算Mcr的依据;Ⅱ阶段：计算裂缝、刚度的依据;ⅠaⅡaⅢaⅠⅡⅢMcrMyMu0

fM/Mu5.3受弯构件的正截面的受力分析受力阶段主要特点

第Ⅰ阶段

第Ⅱ阶段第Ⅲ阶段习称

未裂阶段带裂缝工作阶段

破坏阶段外观特征没有裂缝，挠度很小有裂缝，挠度还不明显钢筋屈服，裂缝宽，挠度大弯矩—截面曲率大致成直线

曲线接近水平的曲线

混凝土应力图形受压区直线受压区高度减小，混凝土压应力图形为上升段的曲线，应力峰值在受压区边缘受压区高度进一步减小，混凝土压应力图形为较丰满的曲线；后期为有上升段与下降段的曲线，应力峰值不在受压区边缘而在边缘的内侧受拉区前期为直线，后期为有上升段的曲线，应力峰值不在受拉区边缘大部分退出工作绝大部分退出工作纵向受拉钢筋应力σs≤20～30kN/mm2

20～30kN/mm2<σs<fy0σs＝fy0与设计计算的联系Ia阶段用于抗裂验算用于裂缝宽度及变形验算Ⅲa阶段用于正截面受弯承载力计算适筋梁正截面受弯三个受力阶段的主要特点

1）第Ι阶段：从加载至混凝土开裂，弯矩从零增至开裂弯矩Mcr，该阶段结束的标志是混凝土拉应变增至混凝土极限拉应变，而并非混凝土应力增至ft。第Ι阶段末是混凝土构件抗裂验算的依据。

2）第Ⅱ阶段：弯矩由Mcr增至钢筋屈服时的弯矩My，该阶段结束的标志是钢筋应力达到屈服强度,该阶段混凝土带裂缝工作，第Ⅱ阶段末是混凝土构件裂缝宽度验算和变形验算的依据。

3）第Ⅲ阶段：弯矩由My增至极限弯矩Mu，该阶段结束的标志是混凝土压应变达到其非均匀受压时的极限压应变，而并非混凝土的应力达到其极限压应力。第Ⅲ阶段末是混凝土构件极限承载力设计的依据。

正截面工作的三个阶段：5.3受弯构件的正截面的受力分析

1）延性破坏：配筋合适的构件，具有一定的承载力，同时破坏时具有一定的延性，如适筋梁ρminh/h0≤ρ≤ρb

。（钢筋的抗拉强度和混凝土的抗压强度都得到发挥）

2）受拉脆性破坏：承载力很小，取决于混凝土的抗拉强度，破坏特征与素混凝土构件类似。虽然由于配筋使构件在破坏阶段表现出很长的破坏过程，但这种破坏是在混凝土一开裂就产生，没有预兆，也没有第二阶段，如少筋梁ρ<ρmin

h/h0、少筋轴拉构件；（混凝土的抗压强度未得到发挥）

3）受压脆性破坏：具有较大的承载力，取决于混凝土受压强度，延性能力较差，如超筋梁ρ>ρb和轴压构件。（钢筋的受拉强度没有发挥）5.3受弯构件的正截面的受力分析5.3.3

正截面受弯的三种破坏形态（1）正截面承载力计算的基本假定1)截面应变保持平面；2)不考虑混凝土的抗拉强度；3)纵向钢筋的应力—应变关系方程为:纵向钢筋的极限拉应变取为0.01。4)混凝土受压的应力—应变关系曲线方程按规范规定取用。5.4正截面受弯构件计算的基本假定及应用◆《规范》应力—应变关系上升段：水平段：5.3受弯构件的正截面的受力分析(2)适筋梁与超筋梁的界限及界限配筋率5.3受弯构件的正截面的受力分析适筋梁与超筋梁的界限为“平衡配筋梁”，即在受拉纵筋屈服的同时，混凝土受压边缘纤维也达到其极限压应变值，截面破坏。设钢筋开始屈服时的应变为，则

此处为钢筋的弹性模量。设界限破坏时中和轴高度为xcb，则有设，称为界限相对受压区高度5.3受弯构件的正截面的受力分析式中h0——截面有效高度；

xb——界限受压区高度；

fy——纵向钢筋的抗拉强度设计值；

——非均匀受压时混凝土极限压应变值。当相等时，属于界限情况，与此对应的纵向受拉钢筋的配筋率，称为界限配筋率，记作ρb，此时考虑截面上力的平衡条件，在式(5—20)中，以xb代替x，则有 故其中，中的下角b表示界限。

当相对受压区高度时，属于超筋梁。

5.3受弯构件的正截面的受力分析（3）适筋梁与少筋梁的界限及最小配筋率少筋破坏的特点是一裂就坏，所以从理论上讲，纵向受拉钢筋的最小配筋率应是这样确定的：按Ⅲa阶段计算钢筋混凝土受弯构件正截面受弯承载力与按Ia阶段计算的素混凝土受弯构件正截面受弯承载力两者相等。但是，考虑到混凝土抗拉强度的离散性，以及收缩等因素的影响，所以在实用上，最小配筋率往往是根据传统经验得出的。为了防止梁“一裂即坏”，适筋梁的配筋率应大于。

我国《混凝土设计规范》规定：

1)受弯构件、偏心受拉、轴心受拉构件，其一侧纵向受拉钢筋的配筋率不应小于0.2%和45ft/fy(%)中的较大值；

2)卧置于地基上的混凝土板，板的受拉钢筋的最小配筋率可适当降低，但不应小于0.15％。5.3受弯构件的正截面的受力分析◆基本公式C=a1fcbxTs=fyAssM

a1

fcx=bxn5.5单筋矩形截面受弯构件的正截面受弯承载力计算◆适用条件防止超筋脆性破坏防止少筋脆性破坏

◆受弯构件正截面受弯承载力计算包括截面设计、截面复核两类问题。

5.5单筋矩形截面受弯构件的正截面受弯承载力计算★截面设计已知：弯矩设计值M求：截面尺寸b，h(h0)、截面配筋As，以及材料强度fy、fc未知数：受压区高度x、b，h(h0)、As、fy、fc基本公式：两个

根据环境类别及混凝土强度等级，确定混凝土保护层最小厚度，再假定as，得h0，并按混凝土强度等级确定α1，解二次联立方程式。然后分别验算适用条件和ρminh/h0≤ρ

当环境类别为一类时(即室内环境)一般取：梁内一层钢筋时，as=35mm；梁内两层钢筋时，as=60~65mm；对于板as=20mm。★截面复核已知：截面尺寸b，h(h0)、截面配筋As，以及材料强度fy、fc求：截面的受弯承载力Mu>M未知数：受压区高度x和受弯承载力Mu基本公式：x≥xbh0时，Mu=？As<rminbh

？如果满足，两个适用条件，则有

或

当Mu≥M时，认为截面受弯承载力满足要求，否则为不安全。当Mu大于M过多时，该截面设计不经济。其中ξ的物理意义：①由知，ξ称为相对受压区高度；②由知，ξ与纵向受拉钢筋配筋百分率ρ相比，不仅考虑了纵向受拉钢筋截面面积As与混凝土有效面积的比值，也考虑了两种材料力学性能指标的比值，能更全面地反映纵向受拉钢筋与混凝土有效面积的匹配关系，因此又称ξ为配筋系数。由于纵向受拉钢筋配筋百分率ρ比较直观，故通常还用ρ作为纵向受拉钢筋与混凝土两种材料匹配的标志。

双筋截面是指同时配置受拉和受压钢筋的情况。A

s'A

s受压钢筋受拉钢筋5.6双筋矩形截面受弯构件的正截面的受弯承载力计算

弯矩很大，按单筋矩矩形截面计算所得的ξ又大于ξb，而梁截面尺寸受到限制，混凝土强度等级又不能提高时；即在受压区配置钢筋以补充混凝土受压能力的不足。

在不同荷载组合情况下，其中在某一组合情况下截面承受正弯矩，另一种组合情况下承受负弯矩，即梁截面承受异号弯矩，这时也出现双筋截面。

此外，由于受压钢筋可以提高截面的延性，因此，在抗震结构中要求框架梁必须配置一定比例的受压钢筋。一般来说在正截面受弯中，采用纵向受压钢筋协助混凝土承受压力是不经济的，工程中从承载力计算角度出发通常仅在以下情况下采用：5.6双筋矩形截面受弯构件的正截面的受弯承载力计算◆基本公式Cs=ss'As'Cc=afcbxT=fyAsh0asas'A

s'A

sMxecu>eyse

5.6双筋矩形截面受弯构件的正截面的受弯承载力计算◆基本公式单筋部分As1纯钢筋部分As2受压钢筋与其余部分受拉钢筋As2组成的“纯钢筋截面”的受弯承载力与混凝土无关。因此，截面破坏形态不受As2配筋量的影响，理论上这部分配筋可以很大，如形成钢骨混凝土构件。◆基本公式◆适用条件防止超筋脆性破坏保证受压钢筋强度充分利用注意：双筋截面一般不会出现少筋破坏情况，故可不必验算最小配筋率。★截面设计已知：弯矩设计值M，截面b、h、a和a

，材料强度fy、fy

、fc。求：截面配筋未知数：x、As、

As

基本公式：力、力矩的平衡条件否是按单筋计算取x=xb即★

截面复核当x<2a

s时，Mu按x＝2a

s计算:已知：b、h、as、as

、As、As

、fy、fy

、fc求：Mu≥M未知数：受压区高度x和受弯承载力Mu两个未知数，有唯一解。问题：当x>xb时，Mu=?3）T形截面受拉钢筋较多，可将截面底部宽度适当增大，形成工形截面。工形截面的受弯承载力的计算与T形截面相同。挖去中和轴受弯构件在破坏时，大部分受拉区混凝土早已退出工作，故将受拉区混凝土的一部分去掉。只要把原