2025届高考数学统考一轮复习第三章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课时规范练文含解析北师大版

PAGE第三章三角函数、解三角形第七节正弦定理和余弦定理课时规范练A组——基础对点练1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，则b＝()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D．3解析：由余弦定理，得4＋b2－2×2bcosA＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－eq\f(1,3)(舍去)，故选D.答案：D2．在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，则B的值为()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：由正弦定理知，eq\f(sinA,sinA)＝eq\f(cosB,sinB)，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.答案：B3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若asinA＋bsinB<csinC，则△ABC的形态是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定解析：依据正弦定理可得a2＋b2<c2.由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，故C是钝角．即△ABC是钝角三角形．答案：C4．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则A．10 B．9C．8 D．5解析：化简23cos2A＋cos2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cosA＝eq\f(1,5).由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA，代入数据，解方程，得b＝5.答案：D5．(2024·长沙模拟)在△ABC中，A＝eq\f(π,4)，b2sinC＝4eq\r(2)sinB，则△ABC的面积为()A．1 B．2C．3 D．4解析：因为b2sinC＝4eq\r(2)sinB，所以b2c＝4eq\r(2)b，即bc＝4eq\r(2)，故S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝2.答案：B6．(2024·广东广州调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝eq\r(7)，c＝4，cosB＝eq\f(3,4)，则△ABC的面积为()A．3eq\r(7) B．eq\f(3\r(7),2)C．9 D．eq\f(9,2)答案：B7．(2024·河南三市联考)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，sinA∶sinB＝1∶eq\r(3)，c＝2cosC＝eq\r(3)，则△ABC的周长为()A．3＋3eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3＋2eq\r(3) D．3＋eq\r(3)解析：因为sinA∶sinB＝1∶eq\r(3)，所以b＝eq\r(3)a，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋（\r(3)a）2－c2,2a×\r(3)a)＝eq\f(\r(3),2)，又c＝eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)，b＝3，所以△ABC的周长为3＋2eq\r(3)，故选C.答案：C8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满意sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()A．a＝2b B．b＝2C．A＝2B D．B＝2解析：因为A＋B＋C＝π，sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以sin(A＋C)＋2sinBcosC＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以2sinBcosC＝sinAcosC，又cosC≠0，所以2sinB＝sinA，所以2b＝a，故选A.答案：A9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝________．答案：eq\f(π,3)10．(2024·合肥市一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝45°，2bsinB－csinC＝2asinA，且△ABC的面积等于3，则b＝________．解析：∵A＝45°，2bsinB－csinC＝2asinA，∴由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－eq\r(2)bc，①由正弦定理可得：2b2－c2＝2a2，②又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝3，即bc＝6eq\r(2)，③由①②③联立解得b＝3.答案：3B组——素养提升练11．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B，则cosB的值为________．解析：因为A＝2B，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，b＝3，c＝1，所以eq\f(a,2sinBcosB)＝eq\f(3,sinB)，可得a＝6cosB，由余弦定理可得：a＝6×eq\f(a2＋1－9,2a)，所以a＝2eq\r(3)，所以cosB＝eq\f(a,6)＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)12．(2024·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析：依据题意，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即sinA＝eq\f(1,2)，结合余弦定理可得2bccosA＝8，所以A为锐角，且cosA＝eq\f(\r(3),2)，从而求得bc＝eq\f(8\r(3),3)，所以△ABC的面积为S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)13．(2024·成都模拟)已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A＝eq\r(3)cos2A，且角A为锐角．(1)求三角形内角A的大小；(2)若a＝5，b＝8，求c的值．解析：(1)由题意，sin2A＝eq\r(3)cos2A，即tan2A＝eq\r(3).所以2A＝eq\f(π,3)或者2A＝eq\f(4π,3)，因为角A为锐角，所以A＝eq\f(π,6).(2)由(1)可知A＝eq\f(π,6)，a＝5，b＝8；由余弦定理，2bccosA＝c2＋b2－a2，可得：c2－8eq\r(3)c＋39＝0，解得c＝4eq\r(3)＋3或者4eq\r(3)－3.14．(2024·泉州模拟)已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，acsinA＋4sinC＝4csinA.(1)求a的值；(2)圆O为△ABC的外接圆(O在△ABC内部)，△OBC的面积为eq\f(\r(3),3)，b＋c＝4，推断△ABC的形态，并说明理由．解析：(1)由正弦定理可知，sinA＝eq\f(a,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，则acsinA＋4sinC＝4csinA⇔a2c＋4c＝4ac，因为c≠0，所以a2c＋4c＝4ac⇔a2＋4＝4a⇔(a－2)2＝0，可得a＝2.(2)设BC的中点为D，则OD⊥BC，所以S△OBC＝eq\f(1,2)BC·OD.又因为S△OBC＝eq\f(\r(3),3)，BC＝2，所以OD＝eq\f(\r(3),3)，在Rt△BOD中，tan∠BOD＝eq\f(BD,OD)＝eq\f(\f(1,2)BC,OD)＝eq\f(1,\f(\r(3),