2025版新教材高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.1任意角蝗制及三角函数的概念学案新人教A版

第四章三角函数、解三角形4.1随意角、弧度制及三角函数的概念必备学问预案自诊学问梳理1.角的概念的推广(1)角的定义:一条射线围着它的旋转所成的图形.

(2)角的分类按旋转方向不同分为(3)终边相同的角:全部与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.2.弧度制的定义和公式(1)定义:长度等于的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度单位用符号rad表示,读作弧度.

(2)公式:角α的弧度数公式|α|=lr(弧长用l表示角度与弧度的换算①1°=π180rad,②1rad=180弧长公式弧长l=

扇形面积公式S=12lr=12|α3.随意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个随意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数,记作sinα,即y=sinα把点P的横坐标x叫做α的余弦函数,记作cosα,即x=cosα把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切,记作tanα,即yx=tanα(x各象限符号Ⅰ+++Ⅱ+--Ⅲ--+Ⅳ-+-1.随意角的三角函数α是一个随意角,终边上随意一点P(不与圆点O重合)的坐标为(x,y),点P与原点的距离为r,则sinα=yr,cosα=xr,tanα=yx(x2.三角函数值在各象限的符号规律:一全正,二正弦,三正切,四余弦.3.象限角4.轴线角5.若α∈0,π2,则sinα<α<tanα.考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)小于90°的角是锐角.()(2)若sinα>0,则α是第一、其次象限的角.()(3)相等的角终边肯定相同,终边相同的角也肯定相等.()(4)若角α为第一象限角,则sinα+cosα>1;若α∈0,π2,则tanα>cosα>sinα.(2.已知扇形的半径为12cm,弧长为18cm,则扇形圆心角的弧度数是()A.23 B.3C.23π D.33.sin2cos3tan4的值()A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在4.设角α的终边与单位圆相交于点P35,-45,则sinα-cosα的值是()A.-75 B.-15 C.155.(2024北京东城一模,12)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,将角α的终边按逆时针方向旋转π6后经过点(-1,3),则sinα=.关键实力学案突破考点角的表示及象限的判定【例1】(1)(2024江西九江一模)若sinα<0,且sin(cosα)>0,则角α是()A.第一象限角 B.其次象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)终边在直线y=3x上的角的集合为.

(3)若角θ的终边与6π7角的终边相同,则在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种状况.2.推断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再推断角α的象限即可.3.确定角kα,αk(k≥2,且k∈N*)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出kα或αk的范围,最终依据k的可能取值探讨确定kα或α对点训练1(1)设集合M=xx=k2·180°+45°,k∈Z,N=xx=k4·180°+45°,k∈Z,那么(A.M=N B.M⊆NC.N⊆M D.M∩N=N(2)(2024陕西榆林一中检测,3)若角θ满意sinθ>0,tanθ<0,则θ2是(A.其次象限角 B.第一象限角C.第一或第三象限角 D.第一或其次象限角(3)已知角α为第三象限角,则2α的终边所在的位置范围为.

考点三角函数定义的应用(多考向探究)考向1利用定义求三角函数值【例2】(1)(2024山东潍坊一模,3)在平面直角坐标系xOy中,点P(3,1),将向量OP绕点O按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ,则点Q的坐标是(A.(-2,1) B.(-1,2) C.(-3,1) D.(-1,3)(2)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sinα+5cosα+4tanα=.

解题心得用三角函数定义求三角函数值的两种状况:(1)已知角α终边上一点P的坐标,则干脆用三角函数的定义求解三角函数值;(2)已知角α的终边所在的直线方程,留意终边位置有两个,对应的三角函数值有两组.对点训练2(2024陕西宝鸡一中检测)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若角α的终边过点P35,-45,则cosαtanα的值是()A.-45 B.4C.-35 D.考向2利用定义求参数的值【例3】已知角α终边上一点P(m,4),且cosα=26m,则m的值为.解题心得利用三角函数的定义求参数的值应用的方程思想,由已知条件及三角函数的定义得到关于参数的一个方程,解方程得参数的值.对点训练3已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cosα=-45,则m的值为(A.-12 B.1C.-32 D.考向3利用定义判定三角函数值的符号【例4】若角α的终边落在直线y=-x上,则sinα|cosα|+|sinα|cosα0(填解题心得判定三角函数值的符号,先搞清三角函数中的角是第几象限角,再依据正弦、余弦函数值在各象限的正负状况确定.假如不知角所在象限,须要分类探讨求解.对点训练4若θ是其次象限角,则sin(cosθ)cos(sinθ)0.(填“>考点扇形弧长、面积公式的应用【例5】(1)(2024山东历城二中模拟四,4)如图2,在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD,用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1,扇形OAB的面积为S2,当S1与S2的比值为5-12时,扇面的形态较为美观,则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为A.5+14 BC.3-5 D.5-2(2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角(正角)α=弧度时,其面积最大,最大面积是.

解题心得求扇形面积的最值常用的思想方法是转化法.一般从扇形面积公式动身,在弧度制下先使问题转化为关于α的函数,再利用基本不等式或二次函数求最值.对点训练5(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,则扇形的圆心角(正角)是弧度,扇形的面积是.

(2)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10,则弦AB所对的圆心角α的大小为,α所在的扇形弧长l为,弧所在的弓形的面积S为.

【典例】如图,在平面直角坐标系xOy中,某单位圆的圆心的初始位置在点(0,1)处,此时圆上一点P的位置在点(0,0)处,圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为.

审题要点(1)已知条件:滚动后的圆心坐标为(2,1)和圆的半径长为1;(2)隐含条件:点P转动的弧长是2;(3)等量关系:P转动的弧长等于弧长所对的圆心角;(4)解题思路:求点P坐标可借助已知坐标(2,1),通过构造直角三角形,并在直角三角形中利用三角函数定义求出.答案(2-sin2,1-cos2)解析如图,作CQ∥x轴,PQ⊥CQ,Q为垂足.依据题意得劣弧DP的长为2,故∠DCP=2.则在△PCQ中,∠PCQ=2-π2,|CQ|=cos2-π2=sin2,|PQ|=sin2-π2=-cos2,所以点P的横坐标为2-|CQ|=2-sin2,点P的纵坐标为1+|PQ|=1-cos2,所以点P故OP=(2-sin2,1-cos2).反思提升1.解决本例应抓住在旋转过程中角的改变,结合弧长公式、解直角三角形等学问来解决.2.审题的关键是在明确已知条件的基础上,找寻出隐含条件;解题的关键是依据已知量寻求未知量,通过未知量的转化探究解题突破口.第四章三角函数、解三角形4.1随意角、弧度制及三角函数的概念必备学问·预案自诊学问梳理1.(1)端点(2)正角负角零角象限角2.(1)半径长(2)|α|r考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.B由题意知l=|α|r,∴|α|=lr3.A∵sin2>0,cos3<0,tan4>0,∴sin2cos3tan4<0.4.A由题意知sinα=-45,cosα=35,所以sinα-cosα=-45-355.1由题意,α+π6为其次象限角.tanα+π6=3-1=-3,所以α+π6=2π3,此时α=π关键实力·学案突破例1(1)D(2)αα=π3+kπ,k∈(3)2π7,20π21,34π21(1)∵-1≤cosα≤1,且sin(cosα)>0,∴0∴角α为第四象限角,故选D.(2)∵在(0,2π)内终边在直线y=3x上的角是π3,4π3,与角π3,4π3终边相同的角分别为2kπ+π3,2kπ+4π∴终边在直线y=3x上的角的集合为αα(3)∵θ=6π7+2kπ(k∈∴θ3=2π7+依题意,0≤2π7+2kπ3<2π,k∈Z,解得-37∴k=0,1,2,即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2对点训练1(1)B(2)C(3)第一或其次象限或y轴的非负半轴(1)由于M中,x=k2·180°+45°=k·90°+45°=(2k+1)45°,2k+1是奇数;而N中,x=k4·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)45°,k+1是整数,因此必有M⊆(2)由sinθ>0,tanθ<0,知θ为其次象限角,∴2kπ+π2<θ<2kπ+π(k∈Z),∴kπ+π4<θ2<kπ+π2(k∈(3)由α是第三象限角,得π+2kπ<α<3π2+2kπ(k∈则2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).故角2α的终边在第一或其次象限或y轴的非负半轴.例2(1)D(2)-2或-4(1)设向量OP与x轴的夹角为α,向量OQ与x轴的夹角为β,点Q的坐标为(x,y).由三角函数的定义得tanα=33,所以α=π6.由题意β=π2+π6,|OP|=2,所以sinβ=sincosβ=cosπ2+π6=x2,(2)设α终边上随意一点为P(-4a,3a),r=|5a|.当a>0时,r=5a,sinα=35,cosα=-45,tanα=-5sinα+5cosα+4tanα=3-4-3=-4;当a<0时,r=-5a,sinα=-35,cosα=45,tanα=-34,5sinα+5cosα+4tanα=-3+4-3综上可知,5sinα+5cosα+4tanα=-4或5sinα+5cosα+4tanα=-2.对点训练2A由三角函数的定义知cosα=35,tanα=-4535=-43,故cosαtanα=35×例30或±2由三角函数定义,cosα=mm2+16=26m,解得,m=0或m=±2.故m对点训练3B∵r=64m2+9,∴cosα=-8m64m2+9=-45,例4=因为角α的终边落在直线y=-x上,所以角α的终边位于其次或第四象限.当角α的终边位于其次象限时,sinα|cosα|+|sinα|cosα=sinα对点训练4<∵θ是其次象限角,∴-1<cosθ<0,0<sinθ<1.∴sin(cosθ)<0,cos(sinθ)>0.∴sin(cosθ例5(1)B(2)2c216(1)设∠AOB=θ,半圆O的半径为r,扇形OCD的半径为r1,依题意,有12θr2-12θr1212(2)设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S.(方法1)∵c=2r+l,∴r=c-l2∴S=12rl=12×c-l2×l=-14l-c22+c216,∴当l=c2时,Smax