2025版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理排列与组合学案含解析新人教A版

PAGE计数原理、概率、随机变量及其分布课程标准命题解读1.理解样本点、有限样本空间、随机事务．2.会计算古典概型中简洁随机事务的概率，加深对随机现象的相识和理解．3.理解两个基本计数原理，运用计数原理探究排列、组合、二项式定理等问题．4.了解条件概率及其与独立性的关系，能进行简洁计算．5.理解离散型随机变量及其分布列的含义，知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象．6.理解伯努利试验，驾驭二项分布，了解超几何分布．7.了解听从正态分布的随机变量，知道连续型随机变量．8.基于随机变量及其分布解决简洁的实际问题.考查形式：高考在本章一般命制1道选择题或填空题及1道解答题．考查内容：两个计数原理、排列与组合、二项式定理、概率、随机变量及其分布，其中概率、随机变量及其分布是高考命题的热点，每年必考．备考策略：(1)计数原理常与古典概型综合．(2)驾驭二项式定理及其应用，会利用通项公式求特定项．(3)加强以实际问题为背景，考查分布列、期望等是高考的热点题型的训练．(4)概率统计试题的阅读量和信息量都有所加强，考查角度趋向于应用概率统计学问对实际问题做出决策．核心素养：数学建模、数学运算、逻辑推理.第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合一、教材概念·结论·性质重现1．两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事须要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成这件事共有N＝m×n种不同的方法两个计数原理的区分分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．排列与组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素依据肯定的依次排成一列组合的定义作为一组3.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同组合的个数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,(n－m)！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)性质Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)(1)“排列”与“组合”的辨析排列与组合最根本的区分在于“有序”和“无序”．取出元素后交换依次，假如与依次有关，则是排列；假如与依次无关，则是组合．(2)①排列数与组合数之间的联系：Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)＝Aeq\o\al(m,n).②两种形式：连乘积形式；阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．二、基本技能·思想·活动体验1．推断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． (×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能干脆完成这件事． (√)(3)全部元素完全相同的两个排列为相同排列． (×)(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同． (√)(5)若Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，则x＝m成立． (×)2．有4位老师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位老师不能在本班监考，则不同的监考方法有()A．8种B．9种C．10种D．11种B解析：设四位监考老师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d.假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法．由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法．3．某中学语文老师从《红楼梦》《平凡的世界》《红岩》《老人与海》4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的安排方法共有()A．6种B．12种C．18种D．24种C解析：(1)先从《平凡的世界》《红岩》《老人与海》三本书中选择2本，共有Ceq\o\al(2,3)＝3(种)选法；(2)将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三个学生，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)排法．依据分步乘法计数原理，不同的安排方法有3×6＝18(种)．故选C．4．由数字2,0,1,9组成没有重复数字的四位偶数的个数为________．10解析：依据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数：第一类，个位是0时，满意题意的四位偶数的个数为Aeq\o\al(3,3)＝6；其次类，个位是2时，满意题意的四位偶数的个数为Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4.由分类加法计数原理，得满意题意的四位偶数的个数为6＋4＝10.5．从2名女生、4名男生中选3人参与学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．16解析：(方法一)可分两种状况：第一种状况，只有1名女生入选，不同的选法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12(种)；其次种状况，有2名女生入选，不同的选法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝4(种)．依据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12＋4＝16(种)．(方法二)从6人中任选3人，不同的选法共有Ceq\o\al(3,6)＝20(种)．从6人中任选3人都是男生，不同的选法有Ceq\o\al(3,4)＝4(种)．所以，至少有1名女生入选的不同的选法共有20－4＝16(种).考点1两个原理的应用——基础性(1)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有()A．250个B．249个C．48个D．24个C解析：分两类：①当千位上的数字为4时，满意条件的四位数有Aeq\o\al(3,4)＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满意条件的四位数有Aeq\o\al(3,4)＝24(个)．由分类加法计数原理，得全部满意条件的四位数共有24＋24＝48(个)．故选C．(2)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位挚友，每位挚友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种B解析：分两种状况：①4位挚友中有2个人得到画册，有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)赠送方法；②4位挚友中只有1个人得到画册，有Ceq\o\al(1,4)＝4(种)赠送方法．由分类加法计数原理，得不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．故选B．(3)如图，将4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形不同色，则不同的涂法有()A．72种B．48种C．24种D．12种A解析：(方法一)分四步完成，首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法．由分步乘法计数原理，得不同的涂法有4×3×2×3＝72(种)．(方法二)按要求涂色至少须要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2×1＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种)．两个计数原理的应用(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步：分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事务完成．(2)较困难的问题可借助图表来完成．(3)对于涂色问题：①分清元素的数目以及在不相邻的区域内是否可以运用同类元素；②留意对每个区域逐一进行，分步处理．1．甲、乙、丙三人踢毽子，相互传递，每人每次只能踢一下．由甲起先踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．6种C．10种D．16种B解析：分两类：甲第一次踢给乙时，满意条件的传递方式有3种(如图)；同理，甲第一次踢给丙时，满意条件的传递方式也有3种．由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6(种)传递方式．2．假如一个三位正整数如“a1a2a3”满意a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么全部凸数的个数为()A．240B．204C．729D．920A解析：分两类：①假如这个三位数含0，则0必在末位，共有这样的凸数Ceq\o\al(2,9)个；②假如这个三位数不含0，则这样的凸数共有(Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,9))个．综上所述，全部凸数共有2Ceq\o\al(2,9)＋Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(2,2)＝240(个)．3．(2024·重庆模拟)某地行政区域如图所示，请你用4种不同的颜色为每个区域涂色，要求相邻区域不同色，共有________种不同的涂色方法．(用详细数字作答)72解析：假设按a→b→c→d→e的依次涂色．a有4种涂色的方法，b有3种涂色方法，c有2种涂色方法．对于e：若c与d颜色相同，则有2种涂色方法；若c与d颜色不相同，则只有1种涂色方法．故共有4×3×2×(2＋1)＝72(种)不同的涂色方法．考点2排列问题——基础性(1)(2024·合肥市其次次质量检测)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求：任务A必需排在前三项执行，且执行任务A之后需马上执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有()A．36种B．44种C．48种D．54种B解析：由题意知任务A，E必需相邻，且只能支配为AE，由此分三类完成：(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则依次为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)种方法．(2)当AE排其次、三位置时，依次为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)种方法；②D，F两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)种方法．(3)当AE排第三、四位置时，依次为○○AE○○，第一、二位置必需分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)种方法．依据分类加法计数原理知不同的执行方案共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝44(种)．故选B．(2)(2024·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参与垃圾分类宣扬活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少支配1名同学，则不同的支配方法共有________种．36解析：因为4名同学到3个小区参与垃圾分类宣扬活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少支配1名同学，所以先取2名同学看作一组，选法有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)．现在可看成是3组同学安排到3个小区，分法有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)．依据分步乘法计数原理，可得不同的支配方法共有6×6＝36(种)．1．(2024·洛阳市第一次联考)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车须要停放．假如要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()A．16B．18C．24D．32C解析：第一步，将3辆不同型号的车进行排列，有Aeq\o\al(3,3)种方法；其次步，把剩余的4个车位看成一个元素，插入3辆车所形成的4个空位中，有Ceq\o\al(1,4)种方法．由分步乘法计数原理可知，不同的停放方法共有Aeq\o\al(3,3)·Ceq\o\al(1,4)＝24(种)．故选C．2．(2024·雅礼中学高三模拟)现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生．若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有()A．Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,7)种B．Aeq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,7)种C．Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,7)种D．Aeq\o\al(3,4)Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(2,7)种D解析：采纳捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是Aeq\o\al(3,4)，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生随意排的方法数是Aeq\o\al(6,6)；最终在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是Aeq\o\al(2,7).综上所述，不同的排法共有Aeq\o\al(3,4)Aeq\o\al(6,6)Aeq\o\al(2,7)种．故选D．3．(2024·和平区高三一模)国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为()A．378B．306C．268D．198D解析：分两种状况探讨：①若选两个国内媒体、一个国外媒体，则有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝90(种)不同提问方式；②若选两个国外媒体、一个国内媒体，则有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝108(种)不同提问方式．所以共有90＋108＝198(种)提问方式．故选D．考点3组合问题——基础性(1)某单位拟支配6位员工在今年6月9日至11日值班，每天支配2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的支配方法共有()A．30种B．36种C．42种D．48种C解析：若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有Ceq\o\al(1,4)种选法，9日、10日有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)种支配方法，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝24(种)支配方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)＝12(种)支配方法；若甲、乙都在10日值班，则共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6(种)支配方法．所以不同的支配方法共有24＋12＋6＝42(种)．(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232B．252C．472D．484C解析：分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264(种)；其次类，不含有红色卡片，不同的取法共有Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若干脆法分类困难时，逆向思维，间接求解．1．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为()A．30B．42C．54D．56B解析：间接法：先从这8个点中任取3个点，有Ceq\o\al(3,8)种取法，再减去三点共线的情形即可，即三角形的个数为Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,5)－Ceq\o\al(3,4)＝42.2．(多选题)(2024·盐城市大丰中学期中)有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区．若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式的是()A．Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(4,6)B．Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(5,7)C．Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(5,6)D．Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(3,11)BC解析：13名医生，其中女医生6人，男医生7人．利用干脆法，2男3女：Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(3,6)；3男2女：Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,6)；4男1女：Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(1,6)；5男：Ceq\o\al(5,7)，所以N＝Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(5,7).利用间接法：13名医生，任取5人，减去抽调4名女医生和5名女医生的状况，即N＝Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(5,6).所以能成为N的算式的是BC．故选BC．考点4排列与组合的综合应用——综合性(1)(2024·滨海新区大港一中高三模拟)从5名学生中选出4名分别参与数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参与生物竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．48B．72C．90D．96D解析：甲不参与生物竞赛，则支配甲参与另外3场竞赛或甲学生不参与任何竞赛．①当甲参与另外3场竞赛时，共有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,4)＝72(种)选择方案；②当甲不参与任何竞赛时，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)选择方案．故不同的参赛方案有72＋24＝96(种)．(2)有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必需站在正中间，并且乙、丙两名同学要站在一起，则不同的站法有()A．240种B．192种C．96种D．48种B