2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.2.1-3.2.2两角差的余弦函数两角和与差的正弦余弦函数课时素养评价含解析北师大版必修4

PAGE课时素养评价二十四两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数(20分钟35分)1.在△ABC中,若sinAsinB<cosAcosB,则△ABC肯定为 ()A.等边三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形【解析】选D.因为sinAsinB<cosAcosB,所以cosAcosB-sinAsinB>0,所以cos(A+B)>0,因为A,B,C为三角形的内角,所以A+B为锐角,所以C为钝角.2.已知cosQUOTE=-QUOTE(α为锐角),则sinα= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为cosQUOTE=-QUOTE(α为锐角),所以sinQUOTE=QUOTE,则sinα=sinQUOTE=QUOTEsinQUOTE-QUOTEcosQUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.已知函数f(x)=QUOTEsin(2x+θ)+cos(2x+θ)为偶函数,且在QUOTE上为增加的,则θ的一个值可以是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.依据题意f(x)=QUOTEsin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2QUOTE=2sinQUOTE.若f(x)为偶函数,则有θ+QUOTE=kπ+QUOTE,即θ=kπ+QUOTE,k∈Z,综合选项可知,当k=-1时,θ=-QUOTE,f(x)=2sinQUOTE=-2cos2x满意偶函数且在QUOTE上为增加的,满意题意.4.计算:sin119°sin181°-sin91°sin29°=.

【解析】原式=sin(29°+90°)sin(1°+180°)-sin(1°+90°)·sin29°=cos29°(-sin1°)-cos1°sin29°=-(sin29°cos1°+cos29°sin1°)=-sin(29°+1°)=-sin30°=-QUOTE.答案:-QUOTE5.在△ABC中,cosA=QUOTE,且cosB=QUOTE,则cosC等于.

【解析】由cosA>0,cosB>0知A,B都是锐角,所以sinA=QUOTE=QUOTE,sinB=QUOTE=QUOTE,所以cosC=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=-QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.设cosQUOTE=-QUOTE,sinQUOTE=QUOTE,其中α∈QUOTE,β∈QUOTE,求cosQUOTE.【解题指南】视察已知角和所求角,可知QUOTE=QUOTE-QUOTE,故可利用两角差的余弦公式求解.【解析】因为α∈QUOTE,β∈QUOTE,所以α-QUOTE∈QUOTE,QUOTE-β∈QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.cosQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以cosQUOTE=cosQUOTE=cosQUOTEcosQUOTE+sinQUOTE·sinQUOTE=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形态肯定是 ()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形【解题指南】依据sinC=sin(A+B),利用两角和的正弦公式绽开求解.【解析】选C.在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=0,亦即sin(A-B)=0,所以A-B=0,A=B,则△ABC是等腰三角形.2.已知sin(α+β)=QUOTE,sin(α-β)=-QUOTE,则QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选D.由已知sin(α+β)=QUOTE,sin(α-β)=-QUOTE,得sinαcosβ+cosαsinβ=QUOTE,sinαcosβ-cosαsinβ=-QUOTE,两式分别相加减得sinαcosβ=-QUOTE,cosαsinβ=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.3.已知角α,β∈QUOTE,sinα=QUOTE,cos(α+β)=QUOTE,则sinβ= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为角α,β∈QUOTE,所以0<α+β<π,又sinα=QUOTE,cos(α+β)=QUOTE,所以cosα=QUOTE=QUOTE,sin(α+β)=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sinβ=sinQUOTE=sinQUOTEcosα-cosQUOTEsinα=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.4.若f(x)=cosx-sinx在QUOTE上是削减的,则m的最大值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.f(x)=cosx-sinx=QUOTEcosQUOTE,由2kπ≤x+QUOTE≤π+2kπ,k∈Z,得-QUOTE+2kπ≤x≤QUOTE+2kπ,k∈Z.取k=0,得-QUOTE≤x≤QUOTE.又f(x)=cosx-sinx在QUOTE上是削减的,所以QUOTE解得0<m≤QUOTE,所以m的最大值是QUOTE.5.已知α,β均为锐角,则下列不等式肯定成立的是 ()A.sinQUOTE>sinα+sinβB.sinQUOTE<sinα+sinβC.cosQUOTE>cosα+cosβD.cosQUOTE<sinα+sinβ【解析】选B.对于A选项,当α=β=QUOTE时,sinQUOTE<sinα+sinβ,故A选项不肯定成立.对于B选项,由于α,β均为锐角,所以sinα,cosα,sinβ,cosβ的范围均为QUOTE,所以sinQUOTE=sinαcosβ+sinβcosα<sinα+sinβ,故B选项不等式肯定成立.对于C选项,当α=β=QUOTE时,cosQUOTE<cosα+cosβ,故C选项不肯定成立.对于D选项,当α=β=QUOTE时,cosQUOTE=cosQUOTE=QUOTE,sinQUOTE=sinQUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE,所以sinα+sinβ=QUOTE×2=QUOTE,cosQUOTE>sinα+sinβ,故D选项不肯定成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知向量a=QUOTE,b=(4,4cosα-QUOTE),若a⊥b,则sinQUOTE=.

【解题指南】由a⊥b,知a·b=0,利用两向量数量积坐标表示整理可得.【解析】由题意,得4sinQUOTE+4cosα-QUOTE=0,即4sinαcosQUOTE+4cosαsinQUOTE+4cosα-QUOTE=0,所以2QUOTEsinα+6cosα=QUOTE,整理,得4QUOTEsinQUOTE=QUOTE,故sinQUOTE=QUOTE,sinQUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE7.函数fQUOTE=sinQUOTE-2sinφcosQUOTE的最大值为,最小值为.

【解析】因为fQUOTE=sinQUOTE-2sinφcosQUOTE=sinQUOTE-2sinφcos(x+φ)=sinQUOTEcosφ-sinφ·cosQUOTE=sinx,所以函数fQUOTE的最大值为1,最小值为-1.答案:1-18.若8sinα+5cosβ=6,8cosα+5sinβ=10,则sin(α+β)=.

【解析】由8sinα+5cosβ=6,两边平方,得64sin2α+80sinαcosβ+25cos2β=36.①由8cosα+5sinβ=10,两边平方,得64cos2α+80cosαsinβ+25sin2β=100.②①+②,得64+25+80(sinαcosβ+cosαsinβ)=136.所以sin(α+β)=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.(1)已知sinα=QUOTE,cosβ=QUOTE,其中α∈QUOTE,β∈QUOTE,求cos(α+β);(2)已知cosα=QUOTE,cos(α-β)=QUOTE,且0<β<α<QUOTE,求β的值.【解析】(1)因为α∈QUOTE,β∈QUOTE,sinα=QUOTE,cosβ=QUOTE,所以cosα=-QUOTE,sinβ=QUOTE,所以cosQUOTE=cosαcosβ-sinαsinβ=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=-1.(2)因为0<α<QUOTE,cosα=QUOTE,所以sinα=QUOTE,因为0<β<α<QUOTE,cosQUOTE=QUOTE,所以0<α-β<QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE,所以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以β=QUOTE.10.已知函数f(x)=QUOTEsin(ωx+φ)QUOTE的图像关于直线x=QUOTE对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值.(2)若fQUOTE=QUOTE,求cosQUOTE的值.【解析】(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω=QUOTE=2.又因为f(x)的图像关于直线x=QUOTE对称,所以2·QUOTE+φ=kπ+QUOTE,k=0,±1,±2,….由-QUOTE≤φ<QUOTE,得k=0,所以φ=QUOTE-QUOTE=-QUOTE.(2)由(1)得fQUOTE=QUOTEsinQUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE.由QUOTE<α<QUOTE得0<α-QUOTE<QUOTE,所以cosQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因此cosQUOTE=sinα=sinQUOTE=sinQUOTEcosQUOTE+cosQUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.若cos(α-β)=QUOTE,cos2α=QUOTE,并且α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解题指南】依据α+β=2α-(α-β),先求cos(α+β),再依据α+β的范围求值.【解析】选C.因为0<α<β<QUOTE,所以-QUOTE<α-β<0,0<2α<π,所以由cos(α-β)=QUOTE,得sin(α-β)=