2024-2025学年高中数学第2章随机变量及其分布2.2.2事件的相互独立性作业含解析新人教A版选修2-3

PAGE其次章2.22.2.2【基础练习】1.有以下三个问题：①掷一枚骰子一次，事务M：“出现的点数为奇数”，事务N：“出现的点数为偶数”；②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事务M：“第1次摸到白球”，事务N：“第2次摸到白球”；③分别抛掷2枚相同的硬币，事务M：“第1枚为正面”，事务N：“两枚结果相同”.这三个问题中，M，N是相互独立事务的有()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B2．甲、乙两名同学参与一项射击竞赛嬉戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为eq\f(3,5)和p且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为eq\f(9,20).假设甲、乙两人射击互不影响，则p值为()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)【答案】C3．两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为eq\f(1,5)，eq\f(1,4)，则密码被译出的概率为()A．0.45 B．0.05C．0.4 D．0.6【答案】C4．甲、乙、丙三台机床是否须要修理相互之间没有影响．在一小时内甲、乙、丙三台机床须要修理的概率分别是0.1,0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床须要修理的概率是()A．0.444 B．0.008C．0.7 D．0.233【答案】A5.(2024年淮安期末)如图，用K,A1,A2三个不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8且各元件是否正常工作相互独立，则系统正常工作的概率为()A.0.960

B.0.864

C.0.720

D.0.576【答案】B6.(多空题)甲、乙、丙三人将参与某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6,0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是.【答案】0.240.967.计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成果只记“合格”与“不合格”，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”.甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为eq\f(4,5)，eq\f(2,3)，在操作考试中“合格”的概率依次为eq\f(1,2)，eq\f(5,6)，全部考试是否合格，相互之间没有影响.则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书”的概率是.【答案】eq\f(23,45)8.(2024年福州期末)某田径队有三名短跑运动员，依据平常训练状况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成果在13s内(称为合格)的概率分别为eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，若对这三名短跑运动员的100米跑的成果进行一次检测，求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大.【解析】记甲、乙、丙三人100米跑成果合格分别为事务A，B，C，明显事务A，B，C相互独立，则P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3).设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3).(1)三人都合格的概率P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).(2)三人都不合格的概率P0＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(3,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,10).(3)恰有两人合格的概率P2＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,60).恰有一人合格的概率P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq\f(1,10)－eq\f(23,60)－eq\f(1,10)＝eq\f(5,12).综合(1)(2)可知P1最大.所以出现恰有一人合格的概率最大.【实力提升】9.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳动时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,9)C.eq\f(4,9) D.eq\f(8,27)【答案】A【解析】设顺时针跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，则p＋2p＝3p＝1，解得p＝eq\f(1,3)，即顺时针跳的概率为eq\f(1,3)，则逆时针方向跳的概率eq\f(2,3)，若青蛙在A叶上，跳3次之后停在A叶上，则满意3次逆时针或者3次顺时针，①若按逆时针跳，则对应的概率为eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，②若按顺时针跳，则对应的概率为eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27)，则所求概率为eq\f(1,27)＋eq\f(8,27)＝eq\f(1,3).10.(2024年沧州模拟)体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则始终投3次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p=_____．【答案】0.4【解析】当该同学连续3次投篮都不中时，测试不合格，故测试合格的概率为1-(1-p)3=0.784，解得p=0.4.11．若在4次独立重复试验中，事务A至少发生一次的概率为eq\f(80,81)，那么事务A在一次试验中发生的概率为______．【答案】eq\f(2,3)【解析】设事务A在一次试验中发生的概率为p，依据相互独立事务的概率可知1－(1－p)4＝eq\f(80,81)，解得p＝eq\f(2,3).12．为迎接2024年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为eq\f(1,4)，eq\f(1,6)；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(2,3)；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．【解析】(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元．两人都付0元的概率为p1＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，两人都付40元的概率为p2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，两人都付80元的概率为p3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,6)－\f(2,3)))＝eq\f(1,24).∴两人所付费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝eq\f(1,24)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,24)＝eq\f(5,12).(2)由题意，ξ全部可能的取值为0,40,80,120,160.P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,24)，P(ξ＝40)＝eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝80)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,6)＝eq