2025届高考数学统考第二轮专题复习第1讲函数的图像与性质的简单应用学案理含解析

第1讲函数的图像与性质的简洁应用高考年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2024函数单调性的应用·T12对数大小的推断·T11函数的奇偶性与单调性·T9函数的性质·T162024函数图像的推断·T5函数的建模与应用·T4函数图像的推断·T72024函数图像的推断·T3函数图像的推断·T71.[2024·全国卷Ⅰ]函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[-πABCD图M1-1-12.[2024·全国卷Ⅲ]函数y=-x4+x2+2的图像大致为 ()图M1-1-23.[2024·全国卷Ⅱ]若a>b,则 ()A.ln(a-b)>0 B.3a<3bC.a3-b3>0 D.|a|>|b|4.[2024·全国卷Ⅱ]若2x-2y<3-x-3-y,则 ()A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<05.[2024·北京卷]已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是 ()A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞)6.[2024·全国新高考Ⅰ卷]若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满意xf(x-1)≥0的x的取值范围是 ()A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]7.[2024·全国卷Ⅲ]已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则 ()A.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b8.[2024·全国卷Ⅲ]Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标记着已初步遏制疫情,则tA.60 B.63C.66 D.699.[2024·全国卷Ⅲ]关于函数f(x)=sinx+1sinx①f(x)的图像关于y轴对称.②f(x)的图像关于原点对称.③f(x)的图像关于直线x=π2对称④f(x)的最小值为2.其中全部真命题的序号是.

分段函数求值或范围1(1)已知f(x)=-lgx,x>0,axf(-1)=4,则f[f(-3)]= ()A.-1 B.-lg3 C.0 D.1(2)已知函数f(x)=x+1,x>0,2x,x≤0,若fA.(-∞,3) B.(-∞,2)C.(1,2) D.(0,3)【规律提炼】解决分段函数求值问题的策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时,肯定要首先推断x0属于定义域的哪个子集,然后再代入相应的关系式.(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内,其对应法则也不同的函数,分段函数是一个函数,而不是多个函数;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集,故解分段函数时要分段解决.(3)求f{f[f(a)]}的值时,一般要遵循由里向外逐层计算的原则.测题1.已知函数f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,A.g[f(x)]=0 B.f[f(x)]=f(x)C.f(x)g(x)=|sinπx| D.f[g(x)+2]=12.(多选题)已知函数f(x)=x2-2ax+9,x≤1,x+4x+a,A.1 B.2 C.3 D.4函数的图像与推断2(1)函数f(x)=cosxln|x|x+sinx在[-π,0)∪(0,图M1-1-3(2)函数f(x)=1x-lnx-图M1-1-4【规律提炼】已知解析式推断函数图像问题,首先要确定函数的定义域,进而确定函数图像是否有渐近线,过何定点,然后推断函数的奇偶性、周期性等,最终确定函数的图像.测题1.已知函数f(x)=x2-ln|x|,则函数f(x)的大致图像是 ()图M1-1-52.图M1-1-6可能是下列哪个函数的图像 ()图M1-1-6A.y=x2(x-2)xC.y=x2ln|x-1| D.y=tanx·ln(x+1)3.已知函数f(x)=12x2-2x+1,x∈[1,4],当x=a时,f(x)取得最大值b,则函数g(x)=a|x+b|的大致图像为 (图M1-1-7基本初等函数的性质与图像3(1)[2024·全国卷Ⅱ]设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) ()A.是偶函数,且在12B.是奇函数,且在-1C.是偶函数,且在-∞D.是奇函数,且在-∞(2)已知函数f(x)=cosx-2|x|,则 A.flog413>f(-2)>f(33)B.f(-33)>flog312>f(2)C.f(33)>f(-2)>flog615D.f(2)>f(33)>flog514(3)设偶函数f(x)满意f(x)=12x+2(x≥0),则使不等式f(x-1)<94成立的x的取值范围是 ()A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-1,3)C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)(4)[2024·全国卷Ⅰ]若2a+log2a=4b+2log4b,则 ()A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2【规律提炼】与函数性质有关的问题,留意考虑简洁函数的性质以及复合函数的性质.有关函数不等式的求解,关键是函数单调性和奇偶性的确定,可利用单调性“穿脱f”,利用周期性将大值转化为小值计算,利用对称性解决多变量求和问题等.测题1.若a=log23,b=lg5,c=log189,则 ()A.a>b>c B.b>c>aC.a>c>b D.c>b>a2.已知定义在R上的函数f(x)满意f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1x与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则∑i=1m(xi+yi)A.0 B.m C.2m D.4m3.已知函数f(x)=x3+ln1+x1-x,若f(m)+f(m+1)>0,则实数m的取值范围是A.-1,-12 B.-12,0C.-12,1 D.-12,+∞4.若a=0.220.33,b=0.330.22,c=log0.330.22,则 ()A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.c>b>a函数性质的综合应用4(1)已知函数f(x)是偶函数,y=f(x+1)为奇函数,且当x∈[1,2]时,f(x)=1-|x-2|,则下列选项正确的是 ()A.f(x)在(-3,-2)上为减函数,且f(x)>0B.f(x)在(-3,-2)上为减函数,且f(x)<0C.f(x)在(-3,-2)上为增函数,且f(x)>0D.f(x)在(-3,-2)上为增函数,且f(x)<0(2)已知函数f(x)的定义域为R,且满意下列三个条件:①对随意的x1,x2∈[4,8],x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0;②f(x+8)=f(x);③y=f(x+4)是偶函数.若a=f(-7),b=f(11),c=fA.a<b<c B.b<a<cC.b<c<a D.c<b<a【规律提炼】(1)设x1,x2∈[a,b],x1≠x2那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0等价于f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0等价于f(x)在[a,b]上是减函数.(2)①若函数y=f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x);若函数y=f(x+a)是偶函数,则f(x+a)=f(-x+a),且函数f(x)的图像关于直线x=a对称.②若函数y=f(x)是奇函数,则-f(x)=f(-x);若函数y=f(x+a)是奇函数,则-f(x+a)=f(-x+a),且函数f(x)的图像关于点(a,0)对称.③若函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且y=f(x)的图像关于直线x=a对称,则该函数是周期函数,且周期T=2|a|;若函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图像关于直线x=a对称,则该函数是周期函数,且周期T=4|a|.测题1.若定义在R上的函数y=f(x)满意以下三个条件:①对于随意的x∈R,都有f(x+1)=f(x-1);②函数y=f(x+1)的图像关于y轴对称;③对于随意的x1,x2∈[0,1],都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0.则f32,f(2),f(3)的大小关系是 ()A.f32>f(2)>f(3) B.f(3)>f(2)>f32C.f32>f(3)>f(2) D.f(3)>f32>f(2)2.若定义在R上的函数f(x)满意f(x+2)=f(x),当x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,则下列不等式肯定不成立的是 ()A.fcosπ6>fsinπ6 B.f(sin1)<f(cos1)C.fcos2π3>fsin2π3 D.f(sin2)<f(cos2)3.已知f(x)是定义在R上的函数,对随意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+2024f(2),若函数y=f(x-1)的图像关于直线x=1对称,且f(-1.67)=2,则f(2024.67)= ()A.2 B.3 C.-2 D.-3函数建模与信息题5(1)为了抗击新型冠状病毒,保障师生平安,某校确定每天对教室进行消毒,已知药物释放过程中,室内空气中的含药量y(mg/m3)与时间t(h)成正比(0<t<0.5);药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=0.25t-a(a为常数,t≥0.5),如图M1-1-8所示.据测定,当空气中的含药量降低到0.5mg/m3以下时,学生方可进教室,则学校应支配工作人员至少提前多长时间进行消毒工作 ()图M1-1-8A.0.5h B.0.6h C.1h D.1.5h(2)[2024·北京卷]为满意人民对美妙生活的憧憬,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-f(b)-f(a)b-a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理实力的强弱.图M1-1-9给出下列四个结论:①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理实力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理实力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理实力最强.其中全部正确结论的序号是.

【规律提炼】高考中常见的应用题有:与经济有关即以利润最大化和成本最小化为背景的应用题,以平面几何图形、空间几何体为背景的图形应用题,与数学文化结合的应用题等,要引起足够重视.主要涉及的函数模型有分段函数、三次函数、三角函数等,难度以中档题为主.测题1.某校高一年级探讨性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度,其工作原理是:激光器发出的光平均分成两束射出,在被测物体表面汇聚,探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时,反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时,反射光相对探测光会发生频移fp=2vsinφλ,其中v为测速仪测得被测物体的横向速度,λ为激光波长,φ为两束探测光线夹角的一半.如图M1-1-10,若激光测速仪安装在距离高铁1m处,发出的激光波长为1550nm(1nm=10-9m),测得某时刻的频移为9.03×109(1/h),则该时刻高铁的速度约为图M1-1-10A.320km/h B.330km/hC.340km/h D.350km/h2.5G技术的数学原理之一便是闻名的香农公式:C=Wlog21+SN.它表示在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中SN叫作信噪比.依据香农公式,若不变更信道带宽W,而将信噪比SN从1000提升至2000,则C大约增加了 (A.10% B.30% C.50% D.100%模块一函数与导数第1讲函数的图像与性质的简洁应用真知真题扫描1.D[解析]因为x∈[-π,π],所以由f(-x)=sin(-x)+(-x)cos(-x)+(-x)2=-sinx+xcosx+x2=-f(x),可知函数f(x)为奇函数,所以选项A错误.又由当x=π2.D[解析]y'=-4x3+2x=-2x(2x-1)(2x+1),当x>0时,函数y=-x4+x2+2在0,22上单调递增,在22,+∞上单调递减.又函数y=-x4+x23.C[解析]因为a>b,不妨设a=-1,b=-2,则ln(a-b)=ln1=0,3-1>3-2,|-1|<|-2|,选项A,B,D均错,故选C.4.A[解析]方法一:设f(x)=2x-3-x,则f(x)在R上单调递增.由题知2x-3-x<2y-3-y,即f(x)<f(y),得x<y,则y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0.方法二:取x=0,y=1,可解除选项B,C,D.故选A.5.D[解析]方法一:因为f(-2)=2-2-(-2)-1=54>0,所以解除A,C;因为f(-1)=2-1-(-1)-1=12>0,所以解除B.故选方法二:因为f(x)=2x-x-1,所以f'(x)=2xln2-1.令f'(x)=0,得2x=1ln2,所以x=-log2(ln2)>0.当x>-log2(ln2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x<-log2(ln2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.因为f(0)=0,f(1)=0,所以f(x)的大致图像如图所示,由图可知,不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D6.D[解析]方法一:由题意可得y=f(x)的图像可如图①所示,∵y=f(x-1)的图像可由y=f(x)的图像向右平移一个单位得到(如图②),∴满意xf(x-1)≥0即满意f(x-1)与x同号或二者至少有一个为零,由图可得不等式xf(x-1)≥0的解集为[-1,0]∪[1,3].方法二:由于f(x)在R上为奇函数,所以f(0)=0,由f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0可得f(-2)=0,所以当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时,f(x)>0;当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时,f(x)<0.则对于函数f(x-1)而言,当x∈(-∞,-1)∪(1,3)时,f(x-1)>0;当x∈(-1,1)∪(3,+∞)时,f(x-1)<0.又f(-1-1)=f(3-1)=f(1-1)=0,所以满意xf(x-1)≥0的x的取值范围为[-1,0]∪[1,3].故选D.7.A[解析]由a=log53,b=log85,得ab=log53log85=log53·log58<log53+log5822=log52422<log52522=1,所以a<b;由55<84,得5ln5<4ln8,即ln5ln8=log85<45,由1348.C[解析]由题意可知,K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,即1+e-0.23(t*-53)=10.95,得e-0.23(t9.②③[解析]f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称.由f(x)=sinx+1sinx,易知f(-x)=-sinx+1-sinx=-sinx+1sinx=-f(x),所以①是假命题,②是真命题;因为f(π-x)=sin(π-x)+1sin(π-x)=sinx+1sinx=f(x),所以③是真命题;因为f-π6=sin-π6+考点考法探究小题1例1(1)A(2)A[解析](1)依据题意,f(x)=-lgx,x>0,ax+b,x≤0,且f(0)=3,f(-1)=4,则a0+b=1+b=3,a-1+b=4,解得a=12,b=2,(2)当a≤0时,2a≤1<2成立;当a>0时,由a+1<2,得0<a<3综上可知,实数a的取值范围是(-∞,3),故选A.【自测题】1.C[解析]由f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,g(x)=sinπx,可得当x>0时,g[f(x)]=g(1)=sinπ=0;当x=0时,g[f(x)]=g(0)=sin0=0;当x<0时,g[f(x)]=g当x>0时,f(x)=1,f[f(x)]=f(1)=1,f[f(x)]=f(x)成立;当x=0时,f(0)=0,f[f(0)]=f(0)=0,f[f(x)]=f(x)成立;当x<0时,f(x)=-1,f[f(x)]=f(-1)=-1,f[f(x)]=f(x)成立.所以B中结论正确.由f32g32=-1≠sin32π,可知C中结论错误.由g(x)≥-1,得g(x)+2≥1,可知f[g(x)+2]=1,故D中结论正确.故选C.2.BCD[解析]当x>1时,f(x)=x+4x+a≥4+a,当且仅当x=2时,等号成立当x≤1时,f(x)=x2-2ax+9=(x-a)2+9-a2.要使f(x)在x=1处取到最小值,则a≥1且f(1)≤4+a,即a≥1且1-2a+9≤a+4,解得a≥2,故选BCD.小题2例2(1)D(2)B[解析](1)因为f(-x)=-cosxln|x|x+sinx=-f(x),所以f(x)为奇函数,其图像关于原点对称,故解除A.又因为f(±1)=0,f±π2=0,fπ3>0,f(π)<0,所以解除B(2)设g(x)=x-lnx-1,则g(1)=0,易知f(x)=1x-lnx-1的定义域为(0,1)∪(1,+∞).g'(x)=1-1x,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,则g(x)≥g(1)=0,故f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且f(x【自测题】1.A[解析]由题意知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=x2-ln|x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图像关于y轴对称,解除D;又f(1)=12-ln1=1>0,所以解除B,C.故选A.2.C[解析]对于A,当x=12时,y>0,与图像不符,解除A;对于B,当x=2时,该函数无意义,与图像不符,解除B;对于D,当x=π4时,y>0,与图像不符,解除D.故选3.C[解析]f(x)=12x2-2x+1=12(x-2)2-1,x∈[1,4],当x=4时,f(x)取得最大值1,故a=4,b=1,可得g(x)=a|x+b|=4|x+1|=4x+1,x≥-小题3例3(1)D(2)A(3)A(4)B[解析](1)f(x)的定义域为x|x≠±12,关于原点对称,f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),则f(x)为奇函数.当x∈-12,12时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x)单调递增;当x∈-∞,-12时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(-2(2)∵f(x)=cosx-2|x|是R上的偶函数,∴flog413=f(log43),f(-2)=f(2),又∵f(x)在0,π2上单调递减,2,33,log43∈0,π2,且log43<2<33,∴flog413>f(-2)>f(33).故选A.(3)易知f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(2)=94.由f(x-1)<94得f(x-1)<f(2),又因为f(x)为偶函数,所以x-1>2或x-1<-2,所以x>3或x<-1.故选(4)由题知2a+log2a=4b+log2b=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b),又函数y=2x+log2x在(0,+∞)上为增函数,所以a<2b,故选B.【自测题】1.C[解析]a=log23>1.因为1b=log510=1+log52,1c=log918=1+log9所以1b>1c>1,所以0<b<c<1<a.故选2.B[解析]由题意得,函数y=x+1x和y=f(x)的图像都关于点(0,1)对称,所以两函数图像的交点也关于点(0,1)对称,对于每一组对称点(xi,yi)和(xi',yi'),都有xi+xi'=0,yi+yi'=2,从而∑i=1m(xi+yi)=m23.B[解析]由1+x1-x>0,得-1<x<1,故函数f(x)的定义域为(-1f(-x)=(-x)3+ln1-x1+x=-x3-ln1+x1-x=-f(x),故f(x)为令t=1+x1-x=-1+21-x,x∈(-1,1),则t=1+x1故y=ln1+x1-x为(-1,又y=x3也为(-1,1)上的增函数,故f(x)为(-1,1)上的增函数.因为f(m)+f(m+1)>0,所以f(m)>-f(m+1)=f(-m-1),所以m>-m-1,-1<4.D[解析]因为1>a=0.220.33>0,1>b=0.330.22>0,c=log0.330.22>log0.330.33=1,所以c>a且c>b.ln0.220.33=0.33ln0.22,ln0.330.22=0.22ln0.33.构造函数f(x)=lnxx,x>所以f'(x)=1-令f'(x)=0,解得x=e.当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(0.22)<f(0.33),即ln0.220.22<ln0.330.33,即0.所以b>a.综上,c>b>a.故选D.小题4例4(1)C(2)D[解析](1)因为函数y=f(x+1)为奇函数,所以函数f(x)的图像关于点(1,0)对称,即f(-x)+f(2+x)=0.因为函数f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x),于是f(x)+f(2+x)=0,用x+2替换x,可得f(x+2)+f(4+x)=0,所以f(x+4)=f(x).当x∈[1,2]时,f(x)=1-|x-2|=x-1.当x∈(-3,-2)时,x+4∈(1,2),f(x)=f(x+4)=(x+4)-1=x+3,所以f(x)在(-3,-2)上为增函数,且f(x)>0.故选C.(2)由①知f(x)在[4,8]上单调递增;由②知f(x)的周期为8;由③知直线x=4是f(x)的图像的对称轴.则a=f(-7)=f(8-7)=f(1)=f(8-1)=f(7),b=f(11)=f(11-8)=f(3)=f(8-3)=f(5),c=f(2024)=f(2024-252×8)=f(4),因为4<5<7<8,所以f(4)<f(5)<f(7),故c<b<a.故选D.【自测题】1.D[解析]因为对于随意的x∈R,都有f(x+1)=f(x-1),所以函数y=f(x)的周期T=2.因为函数y=f(x+1)的图像关于y轴对称,所以函数f(x)的图像关于直线x=1对称.因为对于随意的x1,x2∈[0,1],都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0,所以函数y=f(x)在[0,1]上单调递增.因为f(3)=f(1),f32=f12,f(2)=f(0),1>12>0,所以f(3)>f32>f(2),故选D.2.A[解析]∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的周期为2.∵当x∈[3,5]时,f(x)=2-|x-4|,∴当x∈[1,3]时,f(x)=2-|x+2-4|=2-|x-2|.当x∈[1,2]时,f(x)=x,故函数f(x)在[1,2]上是增函数,当