浙江省杭州市西湖区紫金港中学2023--2024学年上学期九年级期中数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市西湖区紫金港中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．（3分）若，则下列比例式成立的是A． B． C． D．2．（3分）如图，，，为圆上的三点，，点可能是圆心的是A． B． C． D．3．（3分）掷一枚质地均匀的标有1、2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现3的倍数的概率为A． B． C． D．4．（3分）要从抛物线得到的图象，则抛物线必须A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位5．（3分）在直角坐标平面内，点的坐标为，点的坐标为，圆的半径为2．若点在圆上，则值为A．2或3 B．或3 C．或1 D．或26．（3分）如图，的半径为5，为弦，若，则的长为A．5 B． C． D．7．（3分）如图，△，，．将△绕点逆时针旋转得△，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是A． B． C． D．8．（3分）一条抛物线的顶点为，，且与轴有两个交点，其中一个交点是，则对，，描述正确的是A．，， B．，， C．，， D．，，9．（3分）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于A． B． C．4 D．310．（3分）二次函数，当时，设此函数最大值为10，最小值为，则的值A．与，的值都有关 B．与无关，但与有关 C．与，的值都无关 D．与有关，但与无关二、填空的6小题，每小题4分，共24分请把答案填在题中的横线上）.11．（4分）二次函数的最小值为．12．（4分）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则．13．（4分）已知线段，点是线段的黄金分割点，则线段的长为．14．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为0.4，则．15．（4分）已知，如图，是的弦，，点在弦上，连结并延长交于点，，则的度数是．16．（4分）如图，已知圆的半径为3，圆心角，是圆周上的一个动点，分别以，为边作，连．（1）若点在圆周上，则；（2）在点的运动过程中，的最大值为．三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演17．（6分）已知，求：（1）的值；（2）若，求，的值．18．（6分）如图，有4张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率：（1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为；（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“唐僧”的概率．19．（8分）设二次函数，是常数，，部分对应值如下表：01250（1）求该函数解析式；（2）求的解．20．（8分）如图，在矩形中，点分别在边，上，△△，，，．（1）求的长．（2）求证：．21．（8分）如图，在△中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求；（1）求弧的长；（2）求阴影部分的面积．22．（8分）一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？23．（10分）在平面直角坐标系中，设二次函数，，是实数）．（1）若函数经过点的图象经过点，求证：函数的图象经过点．（2）设函数和函数的最值分别为和，若且函数的图象和两点，求的值．24．（12分）如图，为直径，点为下方上一点，点为弧中点，连接，．（1）求证：；（2）过点作于，交于，求证：；（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长

2023-2024学年浙江省杭州市西湖区紫金港中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）1．（3分）若，则下列比例式成立的是A． B． C． D．【分析】根据比例的性质，可得答案．【解答】解：、由比例的性质，得，故正确；、由比例的性质，得，故错误；、由比例的性质，得，故错误；、由比例的性质，得，故错误；故选：．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．2．（3分）如图，，，为圆上的三点，，点可能是圆心的是A． B． C． D．【分析】利用圆周角定理对各选项进行判断．【解答】解：，若点圆心，．故选：．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．（3分）掷一枚质地均匀的标有1、2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现3的倍数的概率为A． B． C． D．【分析】由题意知，共有6种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有2种，利用概率公式可得答案．【解答】解：由题意知，共有6种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有：3，6，共2种，出现3的倍数的概率为．故选：．【点评】本题考查概率公式、倍数，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．4．（3分）要从抛物线得到的图象，则抛物线必须A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位【分析】按照“上加下减”的规律，可以求解．【解答】解：按照“上加下减”的规律，抛物线向上平移3个单位得的图象．故选：．【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．5．（3分）在直角坐标平面内，点的坐标为，点的坐标为，圆的半径为2．若点在圆上，则值为A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2【分析】根据的坐标和圆的半径以及两点之间的距离即可求出答案．【解答】解：，的半径是2，，，解得或3．故选：．【点评】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练掌握圆的定义和坐标系中两点之间的距离公式．6．（3分）如图，的半径为5，为弦，若，则的长为A．5 B． C． D．【分析】连接、，利用圆周角定理得出，再利用弧长公式求得即可．【解答】解：连接、，，，的长，故选：．【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出．7．（3分）如图，△，，．将△绕点逆时针旋转得△，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是A． B． C． D．【分析】根据旋转可得，，得出．【解答】解：将△绕点逆时针旋转得到△，使点的对应点恰好落在边上，，，．故选：．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质．8．（3分）一条抛物线的顶点为，，且与轴有两个交点，其中一个交点是，则对，，描述正确的是A．，， B．，， C．，， D．，，【分析】依据题意，由抛物线的顶点为，可得，即，故，又抛物线过，则，进而可得，结合，最后可以判断，，的符号．【解答】解：由题意，抛物线的顶点为，，即．．又抛物线过，，．．，．，．．故选：．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活二次函数的性质是关键．9．（3分）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于A． B． C．4 D．3【分析】作于，作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，易得为△的中位线，然后根据三角形中位线性质得到．【解答】解：方法一：作于，作直径，连接，如图，，而，，，，，，而，为△的中位线，．方法二：作和的弦心距、，则，，证明△△，则．故选：．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．10．（3分）二次函数，当时，设此函数最大值为10，最小值为，则的值A．与，的值都有关 B．与无关，但与有关 C．与，的值都无关 D．与有关，但与无关【分析】依据题意，先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数的最大值与最小值即可得到结论．【解答】解：二次函数，该抛物线的对称轴为直线，且，当时，即，当时，二次函数有最大值为：，即，．当时，二次函数有最小值为：，即，与有关但与无关．当，当时，二次函数有最大值为：．．当时，二次函数有最小值为：，即，与有关但与无关．当时，即，当时，二次函数取最小值为．此时①若，即，当时，二次函数的最大值为，．，与有关但与无关．②若，即，当时，二次函数的最大值为，即．．，与有关但与无关8，故选：．【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．二、填空的6小题，每小题4分，共24分请把答案填在题中的横线上）.11．（4分）二次函数的最小值为4．【分析】根据二次函数的顶点式直接写出即可．【解答】解：二次函数的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，利用顶点式求最值需熟练掌握．12．（4分）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．【解答】解：，，，，，，解得：，故答案为：．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．13．（4分）已知线段，点是线段的黄金分割点，则线段的长为．【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．【解答】解：线段，点是线段的黄金分割点，，故答案为：．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．14．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为0.4，则9．【分析】根据红球的概率公式，列出方程求解即可．【解答】解：根据题意，，解得，经检验是方程的解．．故答案为：9．【点评】本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．15．（4分）已知，如图，是的弦，，点在弦上，连结并延长交于点，，则的度数是．【分析】连接，根据圆的半径都相等即可求出答案．【解答】解：连接，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是构造出辅助线，本题属于基础题型．16．（4分）如图，已知圆的半径为3，圆心角，是圆周上的一个动点，分别以，为边作，连．（1）若点在圆周上，则；（2）在点的运动过程中，的最大值为．【分析】（1）连接，可证得四边形是菱形，进而得出△是等边三角形，推出、、三点共线，再运用勾股定理即可求得；（2）连接，延长交于，连接，可以看作是沿方向平移，则点到点的距离始终等于点到点的距离，由点是上的定点，点的轨迹是一个圆，点是由点平移而来，得出点的轨迹也是一个圆，可以看作是向方向平移的长度，即以为圆心，为半径的圆，推出当点在的延长线上时，的值取得最大值，再运用直角三角形性质即可得出答案．【解答】解：（1）如图，连接，点在圆周上，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形，，△是等边三角形，，，，、、三点共线，，且为的直径，，，故答案为：；（2）如图，连接，延长交于，连接，四边形是平行四边形，，，，，四边形是平行四边形，，以，为边作，可以看作是沿方向平移，则点到点的距离始终等于点到点的距离，点是上的定点，点的轨迹是一个圆，点是由点平移而来，点的轨迹也是一个圆，可以看作是向方向平移的长度，即以为圆心，为半径的圆，当点在的延长线上时，的值取得最大值，这个点记为点，对应的点记为点，连接，，，，，连接，，，，△是直角三角形，且，，即的最大值为6，故答案为：6．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质是解题关键．三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演17．（6分）已知，求：（1）的值；（2）若，求，的值．【分析】（1）利用已知表示出，的值，进而求出答案；（2）直接利用已知，进而得出答案．【解答】解：由，设，；（1）；（2），，解得：，，．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键．18．（6分）如图，有4张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率：（1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为；（2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“唐僧”的概率．【分析】（1）直接根据概率公式计算；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“唐僧”的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为；故答案为：；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果，其中两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“唐僧”的结果数为7，所以两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“唐僧”的概率．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．19．（8分）设二次函数，是常数，，部分对应值如下表：01250（1）求该函数解析式；（2）求的解．【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（3）根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：（1）函数图象经过，，，解得，该函数解析式为；（2），抛物线开口向上，经过点，，当时，，故的解为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，解题关键是熟练掌握待定系数法和二次函数的性质．20．（8分）如图，在矩形中，点分别在边，上，△△，，，．（1）求的长．（2）求证：．【分析】（1）根据两三角形相似，得到对应边成比例，，结合已知条件，从而得到的长，利用直角三角形勾股定理，从而得到结果；（2）利用两三角形相似，得到对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，从而证得结果．【解答】（1）解：△△，，，，，，，矩形，，在△中，；（2）证明：△△，，在△中，，，．【点评】本题考查了三角形相似的性质，以及矩形性质，勾股定理的应用，关键是合理应用三角形相似的性质．21．（8分）如图，在△中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求；（1）求弧的长；（2）求阴影部分的面积．【分析】（1）利用等腰三角形的性质和平行线的判定与性质求出，再由弧长公式计算弧的长；（2）利用扇形和三角形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积△的面积”计算即可．【解答】解：（1），，，，，，，，，，，弧的长是．（2），阴影部分的面积是．【点评】本题考查扇形的面积、等腰三角形的性质、弧长的计算，掌握扇形的面积和弧长的计算公式及等腰三角形的性质、平行线的判定与性质是解题的关键．22．（8分）一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，用待定系数法可得；当时，，知球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，把点代入得（舍去）或，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点正上方处．【解答】解：（1），抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，把点代入得：，解得，抛物线的函数表达式为；当时，，球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，把点代入得：，解得（舍去）