浙江省杭州市上城区丁荷中学2023--2024学年上学期九年级期中数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市上城区丁荷中学九年级（上）期中数学试卷一、单选题（共30分）1．（3分）已知的半径为5，，则点在A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．不能确定2．（3分）如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是A． B． C． D．3．（3分）若是二次函数，且开口向上，则的值为A． B． C． D．04．（3分）如图，在中，点，分别在边，上，，已知，，则的长是A．4.5 B．8 C．10.5 D．145．（3分）抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围是A． B． C． D．6．（3分）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是A． B． C． D．7．（3分）如图，是的直径，弦，垂足为，若，，则的半径为A．4 B．5 C．8 D．108．（3分）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C． D．9．（3分）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：0123303以下结论正确的是A．抛物线的开口向下 B．当时，随增大而增大 C．方程的根为0和2 D．当时，的取值范围是10．（3分）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．则；若平移抛物线，使其顶点仍在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值是．二.填空题（共24分）11．（4分）已知，，是，的比例中项，则．12．（4分）如图，是的直径，点为上一点，且，，则的长为．13．（4分）如图，为的弦，，则弦所对的圆周角的度数为．14．（4分）如果点是线段的黄金分割点，且，则下列说法正确的是（填序号）．①；②；③；④．15．（4分）如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为．16．（4分）如图，为的直径，为上半圆的一个动点，于点，的角平分线交于点．且的半径为5，连结，则；若弦的长为6，则．三、解答题（共66分）17．如图，已知与交于点，，（1）求证：；（2）若，，，求的长．18．如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．已知：，．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径．19．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．（1）求的值及抛物线的顶点坐标．（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．20．如图，射线平分，为射线上的一点，以为圆心，10为半径作，分别与两边相交于点，和点，，连结，此时有．（1）求证：；（2）若弦，求的长．21．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．22．某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为元，每星期销售量为个．（1）请直接写出（个与（元之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？23．如图，为直径，点为下方上一点，点为弧中点，连接，．（1）求证：；（2）过点作于，交于，求证：；（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长24．如图，抛物线与直线交于点，，点是抛物线、两点间部分上的一个动点（不与点、重合），直线与轴平行，交直线于点，连接，．（1）求抛物线的表达式；（2）设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数关系式，并求出当取最大值时的点的坐标．

2023-2024学年浙江省杭州市上城区丁荷中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（共30分）1．（3分）已知的半径为5，，则点在A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．不能确定【分析】根据的半径为和点到圆心的距离与圆与点的位置关系即可求解．【解答】解：的半径为5，，，点在圆外．故选：．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；①点在圆内是解题的关键．2．（3分）如果将抛物线向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是A． B． C． D．【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解题．【解答】解：抛物线向左平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是．故选：．【点评】此题主要考查二次函数图象与几何变换，函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．3．（3分）若是二次函数，且开口向上，则的值为A． B． C． D．0【分析】根据定义以及二次函数的性质可求的值．【解答】解：这个式子是二次函数，解得：，又开口向上，即，，．故选：．【点评】本题主要考查了二次函数的定义与性质．4．（3分）如图，在中，点，分别在边，上，，已知，，则的长是A．4.5 B．8 C．10.5 D．14【分析】根据平行线分线段成比例定理列式进行计算即可得解．【解答】解：，，即，解得．故选：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．5．（3分）抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】由抛物线与轴有两个交点，则△，从而求出的取值范围．【解答】解：抛物线与轴有两个交点，△，即，解得，故选：．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点问题，注：①抛物线与轴有两个交点，则△；②抛物线与轴无交点，则△；③抛物线与轴有一个交点，则△．6．（3分）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是A． B． C． D．【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，在对称轴的右侧，随的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，可判断．【解答】解：，对称轴为，开口向下，，在对称轴的右侧，随的增大而减小，，，根据二次函数图象的对称性可知，与关于对称轴对称，故，故选：．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．7．（3分）如图，是的直径，弦，垂足为，若，，则的半径为A．4 B．5 C．8 D．10【分析】连接．根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：连接，，，，由勾股定理可得，解得故选：．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解．作辅助线构成直角三角形是关键．8．（3分）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C． D．【分析】根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断、的正负情况，从而可以解答本题．【解答】解：在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项错误；在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项错误；在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项错误；在中，由一次函数图象可知，，二次函数图象可知，，，故选项正确；故选：．【点评】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．9．（3分）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：0123303以下结论正确的是A．抛物线的开口向下 B．当时，随增大而增大 C．方程的根为0和2 D．当时，的取值范围是【分析】将表格内点坐标代入中求出抛物线解析式，然后逐个判断求解．【解答】解：将，，代入得：，解得，．．，抛物线开口向上，故错误，不符合题意．．图象对称轴为直线，且开口向上，时，随增大而增大，故错误，不符合题意．．，当或时，故正确，符合题意．．抛物线开口向上，与轴交点坐标为，，或时，，故错误，不符合题意．故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，求出二次函数解析式求解10．（3分）在平面直角坐标系中，已知点，，，直线经过点，抛物线恰好经过，，三点中的两点．则1；若平移抛物线，使其顶点仍在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值是．【分析】根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点在直线上；因为直线经过、和点，所以经过点的抛物线不同时经过、点，即可判断抛物线只能经过、两点，根据待定系数法即可求得、；设平移后的抛物线为，其顶点坐标为，，根据题意得出，由抛物线与轴交点的纵坐标为，即可得出，从而得出的最大值．【解答】解：直线经过点，，解得，直线为，把代入得，点在直线上；直线经过点，直线与抛物线都经过点，点，，在直线上，点，在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点，，两点的横坐标相同，抛物线只能经过、两点，把，代入，得．解得，．．抛物线的解析式为，设平移后的抛物线的解析式为，其顶点坐标为，，顶点仍在直线上，，，抛物线与轴的交点的纵坐标为，，当时，平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最大值为．故答案为：1；．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，题目有一定难度．二.填空题（共24分）11．（4分）已知，，是，的比例中项，则．【分析】根据比例中项的概念，得，再利用比例的基本性质计算得到的值．【解答】解：是，的比例中项，，又，，，解得．【点评】理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质进行计算．12．（4分）如图，是的直径，点为上一点，且，，则的长为．【分析】先计算圆心角为，根据弧长公式，可得结果．【解答】解：连接，，，弧的长，故答案为：．【点评】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．13．（4分）如图，为的弦，，则弦所对的圆周角的度数为或．【分析】首先根据，可得，然后根据三角形的内角和定理，判断出，最后根据圆周角定理，判断出弦所对的圆周角是多少即可．【解答】解：，，，弦所对的圆周角的度数是：；弦所对的优弧的度数为：，弦所对的圆周角的度数是：；综上，可得弦所对的圆周角的度数是或．【点评】此题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．14．（4分）如果点是线段的黄金分割点，且，则下列说法正确的是①③④（填序号）．①；②；③；④．【分析】根据黄金分割点的定义得，，，即可得出结论．【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，，，，故答案为：①③④．【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．15．（4分）如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为．【分析】连接，设的半径为，由，根据垂径定理得，在中，，，根据勾股定理得到，解得，则，由于为的中位线，则，再根据圆周角定理得到，然后在中利用勾股定理可计算出．【解答】解：连接，设的半径为，如图，，，在中，，，，，解得，，，为直径，，在中，．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理．16．（4分）如图，为的直径，为上半圆的一个动点，于点，的角平分线交于点．且的半径为5，连结，则；若弦的长为6，则．【分析】连接、，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明，在△中利用勾股定理求出即可；过点作交于点，利用圆周角定理求出，从而证明△是等腰直角三角形，在△中利用勾股定理求出、，在△中利用勾股定理求出，从而由计算出．【解答】解：连接、．是的角平分线，，，，，，，，，，；过点作交于点，，△是等腰直角三角形，，，在△中，利用勾股定理，得，．故答案为：，．【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、垂径定理，掌握圆周角定理、勾股定理、垂径定理及平行线的判定与性质是解题的关键．三、解答题（共66分）17．如图，已知与交于点，，（1）求证：；（2）若，，，求的长．【分析】（1）由平行于三角形一边的直线截另两边所得三角形与原三角形相似，即可证得：；（2）由相似三角形的对应边成比例，即可求得的长．【解答】（1）证明：，（平行于三角形一边的直线截另两边所得三角形与原三角形相似）；（2）解：，．，，，．【点评】此题考查了相似三角形的判定（平行于三角形一边的直线截另两边所得三角形与原三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）．此题很简单，解题时要注意细心．18．如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．已知：，．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径．【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心；（2）在△中，由勾股定理可求得半径的长．【解答】解：（1）作弦的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心长为半径作圆就是此残片所在的圆，如图．（2）连接，设，，，则根据勾股定理列方程：，解得：．答：圆的半径为．【点评】本题利用了垂径定理，中垂线的性质，勾股定理求解．19．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．（1）求的值及抛物线的顶点坐标．（2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标．【分析】（1）首先把点的坐标为代入抛物线，利用待定系数法即可求得的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案．【解答】解：（1）把点的坐标为代入抛物线得：，解得：，，顶点坐标为：．（2）连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，设直线的解析式为：，点，点，，解得：，直线的解析式为：，当时，，当的值最小时，点的坐标为：．【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题．注意找到点的位置是解此题的关键．20．如图，射线平分，为射线上的一点，以为圆心，10为半径作，分别与两边相交于点，和点，，连结，此时有．（1）求证：；（2）若弦，求的长．【分析】（1）由平分可得，由可得，从而有，则有．（2）过点作于，如图．根据垂径定理可得，从而可求出，在△中，运用勾股定理可求出的长，从而进一步可得的长．【解答】（1）证明：如图，平分，．，，，．（2）解：过点作于，如图．根据垂径定理可得，．在△中，，由勾股定理得：．则的长为．【点评】本题考查了垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，综合性比较强．21．如图，在中，，以为直径的交于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．【分析】（1）连接，如图，根据圆周角定理，由为的直径得到，然后利用等腰三角形的性质即可得到；（2）连接，如图，证明，然后利用相似比可计算出的长，从而得到的长．【解答】（1）证明：连接，如图，为的直径，，，而，；（2）连接，如图，，，，而，，，即，，．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．22．某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为元，每星期销售量为个．（1）请直接写出（个与（元之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）依据每涨价1元，每星期少卖出2个列出星期销售量为个与销售单价为元的函数关系式；（2）根据销售利润等于单个利润与销售量的乘积列出函数关系式，再令元，解关于的一元二次方程，从而可求得售价；（3）利用配方法可求得抛物线的最大值以及此时自变量的取值．【解答】解：（1）由题意，得：，；（2）设利润为，则，令，则，解得：或，答：当销售价为70元或80元时，每星期的销售利润恰为2400元；（3），，当时，有最大值，最大值为2450元，答：每件定价为75元时，每星期的销售利润最大，最大利润为2450元．【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出与的函数关系式是解题的关键．23．如图，为直径，点为下方上一点，点为弧中点，连接，．（1）求证：；（