2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）第三章 因式分解（单元重点综合测试）（解析版）

第三章因式分解（单元重点综合测试）（考试时间：120分钟；满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（本题3分）（2023上·陕西渭南·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据因式分解的基本方法，提取公因式、平方差公式、完全平方公式进行求解，即可得到答案．本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法，公式法因式分解，注意不要漏项．【详解】A．，所以错误，不符合题意；B．有理数范围内不能因式分解，所以错误，不符合题意；C．，所以正确，符合题意；D．有理数范围内不能因式分解，所以错误，不符合题意．故选：C．2．（本题3分）（2024上·重庆渝北·八年级统考期末）已知，，则的值为（

）A．1 B．0 C． D．【答案】A【分析】先利用平方差公式分解因式，再运用整体的思想求代数式的值，熟练掌握和运用平方差公式是解本题的关键．【详解】解：，，故选：A3．（本题3分）（2024上·北京大兴·八年级统考期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，根据平方差公式的结构特点逐项分析即可，熟练掌握是解此题的关键．【详解】解：A、是平方和的性质，不能因式分解，故该选项不符合题意；B、，故该选项符合题意；C、，不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；D、，不能用平方差公式分解，故该选项不符合题意；故选：B．4．（本题3分）（2023上·山东淄博·八年级校考阶段练习）下列因式分解中：①；②；③；④，正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键．【详解】解：①，原式因式分解错误；②，原式因式分解正确；③，原式因式分解正确；④，原式因式分解错误；∴正确的有2个，故选：B．5．（本题3分）（2024上·安徽芜湖·八年级统考期末）因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，根据多项式乘法把等式右边展开得到，据此可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．6．（本题3分）（2024上·上海普陀·七年级统考期末）如果，那么的值是（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，根据已知可得，根据完全平方公式因式分解代数式，进而代入即可求解．【详解】解：∵∴，则，∴，故选：A．7．（本题3分）（2023下·广东茂名·八年级校联考阶段练习）小林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，，分别对应六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱数学 B．爱祖国 C．祖国数学 D．我爱祖国【答案】D【分析】将所给的多项式先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止，从而结合密码手册即可得出答案．【详解】解：，而3对应的是我，对应的是国，对应的是祖，对应的是爱，结果呈现的密码信息可能是我爱祖国，故选：D．8．（本题3分）（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）在多项式上添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，根据完全平方和（差）公式的性质即可求解．【详解】解：A选项，，可以构成完全平方和公式，不符合题意；B选项，，可以构成完全平方差公式，不符合题意；C选项，，可以构成完全平方和公式，不符合题意；D选项，，不可以构成完全平方公式，符合题意．故选：D．9．（本题3分）（2023上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）若为任意整数，则的值总能（

）A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除【答案】A【分析】本题考查因式分解的应用，用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．【详解】解：，的值总能被4整除，因此的值总能被4整除，故选A．10．（本题3分）（2024上·四川内江·八年级校考期中）若，则代数式的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】此题考查了因式分解的应用，由，，的代数式，求出，，的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：，，，，，，则，当，，时，原式．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（本题3分）（2024上·广东肇庆·八年级统考期末）分解因式：．【答案】【分析】本题考查的是因式分解，利用平方差公式分解因式即可，熟记平方差公式是解本题的关键．【详解】解：，故答案为：12．（本题3分）（2023上·山东烟台·八年级统考期中）用提公因式法分解因式时，从多项式中提出的公因式为．【答案】【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“－”，则公因式的符号一般为负．正确找出公因式是解题的关键．【详解】解：，从多项式中提出的公因式为，故答案为：．13．（本题3分）（2024上·宁夏吴忠·八年级统考期末）已知，，则．【答案】【分析】本题考查了利用提公因式法因式分解，代数式求值，先对代数式进行添括号变形，再提取公因式因式分解，把，代入因式分解后的式子计算即可求解，正确提取出公因式是解题的关键．【详解】解：，∵，，∴原式，故答案为：．14．（本题3分）（2024上·重庆綦江·八年级统考期末）一个长为a，宽为b的长方形的周长为12，面积为7，则的值为．【答案】42【分析】此题考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．利用长方形的性质得出和的值，进而将原式变形得出答案．【详解】解：∵长为a，宽为b的长方形的周长为12，面积为7，∴，故，，则．故答案为：42．15．（本题3分）（2023下·江苏扬州·七年级校联考期中）若，则M与N的大小关系为．【答案】/【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式因式分解，计算，进而即可求解．【详解】解：∵∴∴，故答案为：．16．（本题3分）（2024上·重庆长寿·八年级统考期末）对于任意的正整数，所有形如的数的最大公约数是．【答案】【分析】主要考查了利用因式分解的方法解决实际问题．要先分解因式并根据其实际意义来求解．把所给的等式因式分解，因为、、是连续的三个正整数，所以其中必有一个是的倍数、一个是的倍数，所以原式一定是的倍数，即最大公约数为．【详解】解：，、、是连续的三个正整数，其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数，一定是的倍数，又的最小值是，最大公约数为，故答案为：．17．（本题3分）（2019下·河北唐山·七年级统考期末）计算：.【答案】【分析】原式利用平方差公式分解，约分即可得到结果．【详解】解：原式==，故答案为18．（本题3分）（2021下·浙江·七年级期中）如图，边长为4的正方形ABCD中放置两个长宽分别为a，b的长方形AEFG与长方形CHIJ，如图阴影部分的面积之和记为，长方形AEFG的面积记为，若，，则长方形AEFG的周长为．【答案】【分析】根据可设a＝3x，b＝2x，由此可表示出相关线段长，进而可表示出S1＝38x2－80x＋48，S2＝6x2，再根据即可列出等式化简整理可得（6x－5）2＝0，由此可求得x＝，最后根据长方形的周长公式即可求得答案．【详解】解：∵，∴设a＝3x，b＝2x，则AG＝EF＝CJ＝HI＝3x，AE＝FG＝CH＝IJ＝2x，∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴BH＝BE＝4－2x，DG＝DJ＝4－3x，IP＝IQ＝3x－(4－2x)＝5x－4，∴S1＝S正方形BEPH＋S正方形IPFQ＋S正方形DGQJ＝（4－2x）2＋（5x－4）2＋（4－3x）2＝16－16x＋4x2＋25x2－40x＋16＋16－24x＋9x2＝38x2－80x＋48，S2＝ab＝3x·2x＝6x2，又∵，∴3（38x2－80x＋48）＋5×6x2＝44，∴114x2－240x＋144＋30x2＝44，∴144x2－240x＋100＝0，∴36x2－60x＋25＝0，∴（6x－5）2＝0，解得：x＝，∴C长方形AEFG＝2（a＋b）＝2（3x＋2x）＝10x＝10×＝，故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题6分）（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．（1）用平方差公式分解即可；（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解．【详解】（1）（2）20．（本题6分）（2023上·八年级课时练习）计算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，即可求解；（2）根据平方差公式因式分解，即可求解．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．21．（本题8分）（2023下·全国·八年级假期作业）已知，求的值．【答案】【详解】解：，，，．22．（本题8分）（2021下·四川成都·七年级校考期中）如果，求代数式的值．【答案】【分析】由已知可得，然后对所求式子变形，再整体代入求解即可．【详解】解：∵，∴，∴．23．（本题9分）（2018下·七年级单元测试）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，求出原多项式．【答案】【分析】由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将2（x-1）（x-9）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将2（x-2）（x-4）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案．【详解】解：设原多项式为（其中，，均为常数，且）．因为，所以，，又因为，所以，所以原多项式为．24．（本题9分）（2024下·全国·七年级假期作业）我们知道几个非负数的和等于0，只有这几个数同时等于0才成立，如．因为都是非负数，则，可求得，可求得．应用上述知识解答下列各题：(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，解得．（2）因为，所以，所以，所以，解得，所以．25．（本题10分）（2023上·山东日照·八年级校考阶段练习）阅读材料：若，求m、n的值．解：∵，∴∴，∴，，∴，．根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则______，______(2)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足．求的周长．(3)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．【答案】(1)2，0(2)7(3)，23【分析】本题考查完全平方公式的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，关键是熟记完全平方公式并灵活运用．（1）把原式变形为，然后利用非负数的性质求解即可；（2）根据完全平方公式平方式的非负性求得a、b，再根据三角形的三边关系求得c，进而求解即可；（3）把原式变形为，然后利用非负数的性质求解即可．【详解】（1）∵，∴，∴．∵，∴，∴．故答案为：2，0；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∵的三边长a、b、c都是正整数，∴，即，∴，∴的周长为．（3）∵，∵，∴当时，多项式有最小值23．26．（本题10分）（2022下·贵州铜仁·七年级统考期中）(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①

__________；②

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