2025中考数学二轮专题-一元二次方程-专项训练【含答案】

2025中考数学二轮专题-一元二次方程-专项训练一．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）1．按要求解下列方程（1）（x+2）2﹣6＝0（直接开平方法）（2）2x2+1＝3x（用配方法解方程）x2﹣4x+1＝0（用公式法解方程）（4）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）（用因式分解法）二．根的判别式（共7小题）2．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）为m选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．3．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于﹣3，求k的取值范围．4．已知关于x的方程2x2﹣4kx+x＝1﹣2k2，问当k取什么值时，（1）方程有两个实数根；（2）方程没有实数根．5．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．6．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．7．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0，求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．8．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+3k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣2）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣4x+3k＝0有一个相同的根，求此时m的值．三．根与系数的关系（共4小题）9．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2＝4，求m的值．10．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．（1）证明：无论m为何值，原方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一根为1时，求m的值及方程的另一根．11．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．（1）求实数k的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．12．关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，方程有两个实数根x1，x2，使+＝1？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．四．一元二次方程的应用（共11小题）13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？14．当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件15元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如表：销售单价x（元）202540销售量y（件）300250100（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得2340元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？15．某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？16．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？17．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．18．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯应降价多少元？19．“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？20．网购已经成为一种时尚，某网络购物平台“双十一”全天交易额逐年增长，2020年交易额为500亿元，2022年交易额为720亿元．（1）2020年至2022年“双十一”交易额的年平均增长率是多少？（2）若保持原来的增长率，试计算2023年该平台“双十一”的交易额将达到多少亿元？21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝14cm．动点P、Q都从点C同时出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P以1cm/s速度运动，点Q以的速度运动，连接BQ、PQ，那当时间t为几秒时，△BQP的面积为24cm2．2．淄博烧烤风靡全国．某烧烤店今年5月份的盈利额为20万元，7月份的盈利额达到33.8万元，如果每月增长的百分率相同，求该烧烤店这两个月的月均增长率．23．一块长为20m、宽为15m的矩形草地，四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积是246m2，求小路的宽度．五．配方法的应用（共1小题）24．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题（1）知识再现：当x＝时，代数式x2﹣6x+12的最小值是；（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝时，y有最值（填“大”或“小”），这个值是；（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．

参考答案与试题解析一．解一元二次方程-因式分解法（共1小题）1．按要求解下列方程（1）（x+2）2﹣6＝0（直接开平方法）（2）2x2+1＝3x（用配方法解方程）（3）x2﹣4x+1＝0（用公式法解方程）（4）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）（用因式分解法）【解答】解：（1）（x+2）2＝6，x+2＝±，所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）x2﹣x＝﹣，x2﹣x+＝﹣+，（x﹣）2＝，x﹣＝±，所以x1＝1，x2＝；（3）Δ＝（﹣4）2﹣4×1＝12＞0，x＝＝2±，所以x1＝2+，x2＝2﹣；（4）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（2﹣3x）＝0，x﹣3＝0或2﹣3x＝0，所以x1＝3，x2＝..二．根的判别式（共7小题）2．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0（1）当m取何值时，方程有两个实数根；（2）为m选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即4（m+1）2﹣4m2≥0，∴m≥﹣；（2）∵方程有两个不相等实数根，∴Δ＞0，即4（m+1）2﹣4m2＞0，∴m＞﹣；令m＝0，代入方程得x2﹣2x＝0∴x1＝0，x2＝2．3．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于﹣3，求k的取值范围．【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝0，∴（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，∴x1＝2，x2＝k+1．∵方程有一根小于﹣3，∴k+1＜﹣3，解得：k＜﹣4，∴k的取值范围为k＜﹣4．4．已知关于x的方程2x2﹣4kx+x＝1﹣2k2，问当k取什么值时，（1）方程有两个实数根；（2）方程没有实数根．【解答】解：原方程整理得：2x2﹣（4k﹣1）x+2k2﹣1＝0，∵a＝2，b＝﹣（4k﹣1），c＝2k2﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（4k﹣1）]2﹣4×2×（2k2﹣1）＝﹣8k+9．（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即﹣8k+9≥0，解得：k≤，∴当k≤时，原方程有两个实数根；（2）∵方程没有实数根，∴Δ＜0，即﹣8k+9＜0，解得：k＞，∴当k＞时，原方程没有实数根．5．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．【解答】解：（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，∴无论m取何值，这个方程总有实数根；（2）若腰长为4，将x＝4代入原方程，得：16﹣4（m+1）+2（m﹣1）＝0，解得：m＝5，∴原方程为x2﹣6x+8＝0，解得：x1＝2，x2＝4．组成三角形的三边长度为2、4、4；若底边长为4，则此方程有两个相等实数根，∴Δ＝0，即m＝3，此时方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，由于2+2＝4，不能构成三角形，舍去；所以三角形另外两边长度为4和2．6．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×2k＝（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：∵等腰三角形一腰长为5，∴另外一边长度为5，∴方程x2﹣（k+2）x+2k＝0一个根为5，∴25﹣5（k+2）+2k＝0，解得k＝5，∴方程为x2﹣（5+2）x+2×5＝0，∴（x﹣5）（x﹣2）＝0，解得x1＝5，x2＝2，故△ABC的周长＝5+5+2＝12．7．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0，求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【解答】证明：∵a＝1，b＝m，c＝m﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4．∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．8．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+3k＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣2）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣4x+3k＝0有一个相同的根，求此时m的值．【解答】解：（1）根据题意得：Δ＝（﹣4）2﹣4×3k≥0，解得，∴k的取值范围．（2）由（1）可知，，∴k的最大整数是1，∴方程x2﹣4x+3k＝0可化为x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∵一元二次方程（m﹣2）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣4x+3k＝0有一个相同的根，∴当x＝1时，m﹣2+1+m﹣3＝0，解得m＝2；当x＝3时，（m﹣2）×9+3+m﹣3＝0，解得，又∵m﹣2≠0，∴m≠2．∴．三．根与系数的关系（共4小题）9．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2＝4，求m的值．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4m2﹣4（m2+m）≥0，解得m≤0；（2）根据题意得x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，∵x1+x2+x1•x2＝4，∴2m+m2+m＝4，整理得m2+3m﹣4＝0，解得m1＝﹣4，m2＝1，∵m≤0，∴m的值为﹣4．10．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0．（1）证明：无论m为何值，原方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一根为1时，求m的值及方程的另一根．【解答】（1）证明：Δ＝（m﹣3）2﹣4（﹣m）＝m2﹣6m+9+4m＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8，∵（m﹣1）2＞0，∴（m﹣1）2+8＞0，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根；（2）解：∵x＝1是方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0的一个根，∴1﹣（m﹣3）﹣m＝0，解得：m＝2，则方程为：x2+x﹣2＝0解得：x1＝1，x2＝﹣2，∴方程的另一根为﹣2．11．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．（1）求实数k的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝﹣1，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，解得k≤，即k的取值范围是k≤；（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝k﹣2，∵（x1+1）（x2+1）＝﹣1，∴x1x2+（x1+x2）+1＝﹣1，∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，解得k＝3，即k的值是3．12．关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，方程有两个实数根x1，x2，使+＝1？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）根据题意得k≠0且Δ＝（k+2）2﹣4k•＞0，解得k＞﹣1且k≠0；（2）不存在．根据题意得x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵+＝1，∴x1+x2＝x1x2，∴﹣＝，解得k＝﹣，∵k＞﹣1且k≠0，∴不存在实数k，方程有两个实数根x1，x2，使+＝1．四．一元二次方程的应用（共11小题）13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？【解答】解：设每件衬衫应降价x元，由题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，即2x2﹣60x+400＝0，∴x2﹣30x+200＝0，∴（x﹣10）（x﹣20）＝0，解得：x＝10或x＝20为了减少库存，所以x＝20．故每件衬衫应降价20元．14．当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件15元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如表：销售单价x（元）202540销售量y（件）300250100（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该商家每天想获得2340元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？【解答】解：（1）设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系y＝kx+b，根据题意可得：，解得：，故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+500；（2）根据题意可得：（﹣10x+500）（x﹣15）＝2340，整理得：x2﹣65x+984＝0，（x﹣24）（x﹣41）＝0，解得：x1＝41（不合题意，舍去），x2＝24，答：应将销售单价定为24元．15．某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．（1）求销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；（2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？【解答】解（1）根据题意得：y＝20+2（110﹣x）＝﹣2x+240，∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣2x+240（70≤x≤99）；（2）根据题意得：（x﹣70）（﹣2x+240）＝1200，解得：x1＝90，x2＝100（不符合题意，舍去）．答：该产品的售价每件应定为90元．16．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．17．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．【解答】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4cm2．则（5﹣t）×2t＝4，整理，得t2﹣5t+4＝0，解得t1＝1，t2＝4（舍去）．答：如果P、Q两点同时出发，那么1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；（2）△PBQ的面积能不能等于7cm2．理由如下：设x秒后，△PBQ的面积等于7cm2．则（5﹣x）×2x＝7，整理，得x2﹣5x+7＝0，则Δ＝25﹣28＝﹣3＜0，所以该方程无解．即：△PBQ的面积不能等于7cm2．18．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯应降价多少元？【解答】解：（1）设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，依题意，得：400（1+x）2＝576，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．答：2，3两个月的销售量月平均增长率为20%．（2）解法一：设这种台灯每个降价y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，依题意，得：（40﹣y﹣30）（576+12y）＝4800，整理，得：y2+38y﹣80＝0，解得y1＝2，y2＝﹣40（不符合题意，舍去），答：该这种台灯应降价2元；解法二：设这种台灯售价定为y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元，依题意，得：（y﹣30）[576+12（40﹣y）]＝4800，整理，得y2﹣118y+3040＝0，解得y1＝38，y2＝80（不符合题意，舍去）．40﹣38＝2（元），答：这种台灯应降价2元．19．“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？【解答】解：设每台学习机售价为x元，则每台学习机的销售利润为（x﹣1000）元，每天可售出4+＝（40﹣）台，依题意得：（x﹣1000）（40﹣）＝4200，整理得：x2﹣3000x+2210000＝0，解得：x1＝1300，x2＝1700．答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元或1700元．20．网购已经成为一种时尚，某网络购物平台“双十一”全天交易额逐年增长，2020年交易额为500亿元，2022年交易额为720亿元．（1）2020年至2022年“双十一”交易额的年平均增长率是多少？（2）若保持原来的增长率，试计算2023年该平台“双十一”的交易额将达到多少亿元？【解答】解：（1）设2020年到2022年“双十一”交易额的年平均增长率为x，由题意得，500（1+x）2＝720，解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去），∴2020年到2022年“双十一”交易额的年平均增长率为20%；（2）∵720×（1+20%）＝864，∴按照这个增长率，预计2023年该平台“双十一”的交易额将达到864亿元．21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6cm，AB＝8cm，BC＝14cm．动点P、Q都从点C同时出发，点P沿C→B方向做匀速运动，点Q沿C→D→A方向做匀速运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．若点P以1cm/s速度运动，点Q以的速度运动，连接BQ、PQ，那当时间t为几秒时，△BQP的面积为24cm2．【解答】解：如图1，过D点作DH⊥BC，垂足为点H，则有DH＝AB＝8cm，BH＝AD＝6cm．∴CH＝BC﹣BH＝14﹣6＝8cm，在Rt△DCH中，∠DHC＝90°，∴，当点P、Q运动的时间为t（s），则PC＝t．①如图1，当点Q在CD上时，过Q点作QG⊥BC，垂足为点G，则，又∵DH＝HC，DH⊥BC，∴∠C＝45°，∴在Rt△OCG中，，又∴BP＝BC﹣PC＝14