2.2.2直线的方程（6知识点10题型巩固训练）（原卷版）

直线的方程课程标准学习目标理解直线的倾斜角和斜率的概念，2.掌握两点的直线斜率的计算公式，以及直线方程的五种形式。1.重点:直线的倾斜角与斜率，直线方程的五种形式2.难点:根据直线的斜率计算倾斜角，恰当地选择直线方程的某一种形式采用待定系数法确定直线方程。知识点01直线的方程一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F（x，y）=0的解，而且以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x,y)=0为直线l的方程，而直线l称为方程F（x，y）=0的直线.此时，"直线l"也可说成"直线F（x，y）=0"，并且记作l：F（x，y）=0.【即学即练1】（2122高二·全国·课后作业）直线的方程是指（

）A．直线上点的坐标都是方程的解B．以方程的解为坐标的点都在直线上C．直线上点的坐标都是方程的解且以方程的解为坐标的点都在直线上D．以上都不对【即学即练2】（2122高二·全国·课后作业）方程①lgx-lgy=1；②lgx-y=1；知识点02直线的点斜式1.经过点P（xo，yo）且斜率为k的直线方程为yyo=k（xx0）称为直线的点斜式方程.2.经过点P（xo，yo）且斜率为0的直线方程为y=y0,经过点P（xo，yo）且斜率不存在的直线方程为x=xo.【即学即练3】（2425高二上·全国·课后作业）经过点P0,2且斜率为2的直线的方程为（

A．y=-2x-2 B．y=2x【即学即练4】（2324高二上·江苏苏州·阶段练习）过点P5,2且斜率为-1的直线的点斜式方程为（A．y-5=-xC．y+2=-x+5知识点03直线的斜截式1.一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为（a，0），则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为（0，b），则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．斜率为k，截距为b的直线方程为y=kx+b，称为直线的斜截式方程.2.直线y=kx＋b中k的几何意义是直线的斜率,b的几何意义是直线的截距（即直线在y轴上的截距）.【即学即练5】（2223高二上·湖南·期中）倾斜角为135°，在y轴上的截距为1的直线方程是（

）A．x-y-C．x+y+1=0【即学即练6】（2223高二上·江苏连云港·开学考试）若直线l的倾斜角α满足4sinα=3cosα，且它在x轴上的截距为3，则直线l的方程是.知识点04直线的两点式经过两点P1（x1，y1）,P2【即学即练7】（2425高二上·全国·随堂练习）过点1,2，5,3的直线方程是（

）A．y-25-1C．y-15-1【即学即练8】（2024高二上·全国·专题练习）经过两点5,0,2,-5知识点05之间的截距式直线在x,y轴上的截距分别为a,b，且a≠0，b≠0，则直线方程可写为xa+yb=1,这种形式的方程称为直线的截距式方程，注意这里要求直线在【即学即练9】（2223高二上·海南·期中）在x轴、y轴上的截距分别是-2、3的直线方程为（

A．x2+yC．y3-x【即学即练10】（2324高二上·陕西·阶段练习）直线x-2y-2=0在x轴上的截距为a，在yA．a=2，b=1 B．a=2，b=-1 C．a=-2，b知识点06直线的一般式1.所有的直线方程都是关于x，y的二元一次方程,关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.2.把方程Ax+By+C=0,(A2+B2≠0)称为直线的一般式方程.3.在方程Ax+By+C=0，如果B≠0，则方程可以化为y=ABxCB,它表示的是斜率为AB且截距为CB的直线；如果B=0，则由A,B不同时为0可知A≠0,从而方程可以化为x=CA,它表示的是斜率不存在且过点（【即学即练11】（2324高二上·江苏·课后作业）直线的一般方程中的几何要素若直线的一般方程为Ax+（1）当AB≠0时，直线的斜率为，横截距为，纵截距为（2）当A=0时，直线的斜率为，横截距，纵截距为（3）当B=0时，直线的斜率，横截距，纵截距【即学即练12】（2324高二上·陕西西安·阶段练习）△ABC的顶点A-3,4,B1,4难点：最值问题示例1：（2324高二上·广东佛山·阶段练习）已知直线l:(1)求证：无论k为何值，直线l:(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线【题型1：直线的点斜式方程】例1．（2425高二上·江苏徐州·开学考试）过点A(3,2)且斜率为1的直线方程是（

A．x+y+1=0C．x-y+1=0变式1．（2324高二上·贵州遵义·期末）已知直线l过点A1,0，且倾斜角为直线y=3x倾斜角的一半，则直线A．x-3yC．x-3y变式2．（2324高二上·广东广州·期末）已知直线l经过点P0,1，且它的一个方向向量为1,2，则直线l的方程为（

A．2x-y-1=0 B．x+2变式3．（2324高二上·四川达州·期末）经过点P2，2且倾斜角为πA．y=x B．y=x-2变式4．（2324高二上·重庆黔江·阶段练习）已知直线l的斜率为3,在x轴上的截距为233,则直线l的方程为（A．y=3xC．y=3x变式5．（2324高二上·全国·课后作业）过点P(-2,1)且倾斜角为0A．y=1 B．x=-2 C．y=-2变式6．（2324高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线的斜率是2，且在y轴上的截距是-3，则此直线的方程是（

A．y=2x-3 B．y=2x变式7.（2425高二上·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A-4,3，斜率(2)经过点B-1,4，倾斜角为【方法技巧与总结】关于点斜式方程的几点说明（1）直线的点斜式方程的前提条件：①己知一点P（xo，yo）和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．（2）方程yyo=k（xxo）与方程k=y-y0x-x0不是等价的，前者表示整条直线，后者表示去掉点P（（3）当k取任意实数时，方程yyo=k（xxo）表示恒过定点（xo，yo）且不垂直于x轴的无数条直线.【题型2：直线的斜截式方程】例2．（2324高二上·全国·课后作业）直线l的斜率为方程x2-2x+1=0的根，且在y轴上的截距为5变式1.（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角为150°，在y轴上的截距是-2变式2.（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是-3(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-2变式3．（2324高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在y轴上的截距为b，则b等于（）A．－2 B．2C．－5 D．5变式4．（2324高二上·广东汕头·期中）已知直线l1：y+3=2x+2，则l1A．0,1 B．0,-1 C．1 D．-变式5．（2324高二上·山东聊城·期末）直线4x-y+2=0在A．-2 B．-12 C．1变式6．（2324高二上·河南信阳·期末）直线x+2y+2024=0在yA．-2024 B．-1012 C．1012 D变式7．（2324高二上·辽宁沈阳·阶段练习）直线4a2-2xA．0,π4 B．π4,π2

变式8．（2324高二上·江西赣州·期中）已知直线l：x+my=0的倾斜角的取值范围为π4,π3A．3π4,π BC．3π4,5π【方法技巧与总结】对直线斜截式方程的理解直线的斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y=kx+b的形式，但有区别，当k=0时，y=kx＋b即为一次函数；当k≠0时，y=kx＋b，不是一次函数，一次函数y=kx+b（k≠0）必是一条直线的斜截式方程.截距不是距离，可正、可负也可为零.【题型3：直线的两点式方程】例3．（2425高二上·全国·课后作业）经过两点x1,yA．x-x1C．y-y1变式1．（2324高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l过点A2,1点B-1,-1A．2x-3C．2x+3y变式2．（2324高二上·江苏盐城·期中）已知点A(-2,4)，B(4,-1)，则直线AB在y轴上的截距为（A．83 B．73 C．145变式3.（2324高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点-3,-2，1,2，则下列不在直线l上的点是（

A．-2,-1 B．-1,0 C．0,1 D变式4．（2324高二上·全国·课后作业）经过点A-3,2,A．y-22C．y+22=变式5．（2223高二上·全国·课后作业）已知△ABC的三个顶点分别为A1,1,B3,1,C4,5A．2x+yC．2x+y变式6．（2223高二上·福建泉州·阶段练习）在△ABC中,A2,1,B-变式7．（2324高二上·江苏·期中）已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x【方法技巧与总结】直线的两点式方程应注意的问题要注意方程y-y1y2-y1=x-x1不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任意两点的直线.【题型4：直线的截距式方程】例4．（2324高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系xOy中，直线x4-y8=1A．-8 B．8 C．-18变式1．（2324高二上·山东青岛·期末）直线l在x轴､y轴上的截距分别是32和-3，则直线l的一般式直线方程为变式2．（2324高二上·江西萍乡·期末）已知过点P3,1的直线l在x轴上的截距是其在y轴上截距的3倍，则满足条件的一条直线l的方程为变式3．（2024高二上·全国·专题练习）如图，已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为变式4．（2024高二上·全国·专题练习）若直线l:xa+yb=1a>0,b>0经过点1,2变式5．（2024高二上·全国·专题练习）已知两点A(3,0),B(0,4)，动点P(x,y)变式6.（多选）（2324高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知直线l：2x-3A．l不过原点 B．l的横截距为1C．l的斜率为23 D．l与坐标轴围成的三角形的面积为变式7．（多选）（2324高二上·全国·课后作业）已知直线l：y=A．直线l过点3B．直线l的斜率为3C．直线l的倾斜角为60D．直线l在y轴上的截距为1【方法技巧与总结】直线的截距式方程我们把直线与x轴的交点（a，0）的横坐标a称为直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.方程xa+yb=1由直线l在两个坐标轴上的截距截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线有两个非零截距，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线.（2）直线的截距式方程的特征是x项分母对应的是横截距，y项分母对应的是纵截距，中间以“＋”号连接，等式右边为1，如x2-（3）由直线的截距式方程可直接读出直线在x轴和y轴上的截距，同时，截距式在解决与面积有关的问题和作图时使用起来非常方便.（4）直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，直线在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标，而不是交点到原点的距离，因此截距a，b可能为正或零，也可能为负.【题型5：直线的一般式方程】例5．(多选)（2324高二上·贵州贵阳·期中）已知直线l:Ax+By+C=0A．当C=0时，lB．当AB>0时，lC．当B=0,C≠0时，lD．若直线l过点P(x0,变式1．（多选）（2324高二上·贵州·开学考试）已知直线l:Ax+By+C=0A．当A=0,B≠0时，lB．当A≠0,B=0,C=0C．当C=0时，lD．当A>0,B>0变式2．（2223高二·全国·随堂练习）已知直线l:Ax+By+C=0(1)写出直线l的一个法向量的坐标．(2)若直线l经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？(3)若直线l与x轴平行或重合，则A，B，C满足的条件是什么？(4)若直线l与x轴和y轴都相交且不经过原点，则A，B，C满足的条件是什么？变式3．（2122高二上·辽宁大连·阶段练习）已知方程m2(1)求该方程表示一条直线的条件；(2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；(3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为-3，求实数m(4)若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值．变式4．（2324高二上·甘肃武威·期中）直线xcosα-变式5．（2324高二上·山西·阶段练习）已知直线l：3x+y-1=0的倾斜角为变式6．（2324高二上·广东肇庆·期末）直线l：2x-y+1=0与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转45∘得到直线lA．2x+yC．3x+y【方法技巧与总结】二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响当A=0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行.当A≠0，B=0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直.当A=0，B≠0，C=0时，方程表示的直线与x轴重合.当A≠0，B=0，C=0时，方程表示的直线与y轴重合.（5）当C=0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点.【题型6：直线与坐标轴围成三角形问题】例6．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线3x+4y=b与两坐标轴围成的三角形的面积为3A．6 B．6或-C．-6 D．2或变式1．（多选）（2122高二上·浙江嘉兴·期中）直线l的方程为：x=my+1A．直线l恒过定点1,0B．直线l斜率必定存在C．m=3时直线lD．m=2时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为变式2．（2425高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程为3x+4y-12=0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则变式3．（2324高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为．变式4．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l变式5．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的斜率为-2，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l变式6．（2223高二下·湖南长沙·期中）已知△ABC的三个顶点分别为A0,4，B-(1)求边AC和AB所在直线的方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线与坐标轴围成的三角形的面积.变式7．（2324高二上·广东佛山·期中）过点P-1,-2的直线l可表示为mx+1+nyA．1条 B．2条 C．3条 D．4条变式8．（2324高二上·上海·课后作业）在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，设函数f(x)=k(x-2)+3的图象为直线l，且l与①存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l②存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l③存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l④存在正实数m，使△AOB的面积为m的直线l其中，所有真命题的序号是（）．A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④【题型7：直线过定点问题】例7．（2425高二上·全国·随堂练习）已知直线的方程是y+2=-x-A．直线经过定点2,-1，斜率为-1 B．直线经过定点1,-2，斜率为C．直线经过定点-2,-1，斜率为1 D．直线经过定点-1,-2变式1．（2223高二下·吉林长春·开学考试）不论k为任何实数，直线(2k-1)A．(-2,3) B．(2,3) C．(2,-3) D．(-2,-3)变式2．（2324高二下·上海宝山·期末）若无论实数m取何值，直线l:x+m变式3．（2324高二上·上海虹口·阶段练习）无论实数λ取何值，直线2λ-1变式4．（2324高二上·北京·期中）无论a取何值，直线ax+y-a-2=0恒经过一个定点P，P的坐标为变式5．（2324高二上·广东惠州·期中）直线l:(m+2)变式6．（2324高二上·全国·课后作业）不论a为何实数，直线(a+3)x+(2变式7．（2324高二下·全国·课后作业）已知直线l:(1)求证：直线l过定点；(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围.变式8．（2324高二上·广东中山·阶段练习）已知直线l的方程为：2m(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；(2)过点M引直线l1交坐标轴正半轴于A、B两点，当△AOB变式9．（2223高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线l1:kx(1)求过点P且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l2(2)若直线l1交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△ABC的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线【题型8：一般式方程与象限问题】例8．（2324高二下·上海·阶段练习）已知直线l方程为y=x+1，l绕点0,1顺时针旋转518π，得到直线l2A．一 B．二 C．三 D．四变式1．（多选）（2425高二上·全国·课后作业）关于一次函数y=kx+A．当b>0时，函数图象B．当b<0时，函数图象C．∀b∈RD．∀b∈R，函数在变式2．（多选）（2324高二上·河北石家庄·阶段练习）下列命题中错误的是（

）A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B．任何直线都存在斜率和倾斜角C．直线的一般式方程为Ax+By变式3．（多选）（2324高二上·湖南岳阳·阶段练习）已知直线l的方程是Ax+By+C=0（A，BA．AB．若C=-A，则直线lC．若A⋅B<0且BD．若AC>0，则直线l变式4．（多选）（2324高二上·新疆·期中）已知abc≠0，直线l:axA．ab>0 B．bc<0 C．ac<0变式5．（多选）（2324高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如果AB<0，BC>0，那么直线Ax+By+变式6．（多选）（2324高二上·安徽·期中）已知直线l:y=-x，其中l1，l2，l的图象如图所示，直线l1，l2的斜率分别为k1A．-1<k2C．b1>b【题型9：图象选择问题】例9．（2324高二下·全国·课后作业）已知直线ax+by+c=0A．若c>0，则a>0，b<0 B．若c>0C．若c<0，则a>0，b>0 D．若c<变式1．（2324高二上·浙江金华·期中）已知直线l1:y=axA． B．C． D．变式2．（2021高二上·天津武清·阶段练习）直线l1：ax-y+b=0与l2：bx-y+aA． B． C．

D．

变式3．（2223高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知直线l：xA+yB=C，则以下四个情况中，可以使A．A>0，B<0，C>0 B．A<0C．A<0，B<0，C<0 D．A>0变式4．（2021高二·全国·专题练习）方程y=ax+A． B． C． D．变式5．（2425高二上·全国·课后作业）直线xm-yn=1与x B． C． D．变式6．（2324高一上·四川绵阳·开学考试）一次函数l2:y=kx+b与lA．

B．

C．

D．

变式7．（多选）（2122高二上·江苏南通·阶段练习）直线l1:ax-yA．

B．

C．

D．

【题型10：最值问题】例题10．（2122高一下·四川德阳·阶段练习）已知过定点直线kx-y+4-A．x-2y-7=0 B．x-变式1．（2021高二上·重庆黔江·阶段练习）在平面直角坐标系中有两个定点A(1,5)、B(4,1)，若在y轴有一动点P，使得PA+PB值最小，此时A．215,0 B．72,0 C．变式2．（2324高二上·江苏南通·阶段练习）过定点A的直线ax+y-2=0与过定点B的直线x-ay+4a-2=0交于点P(A．2 B．22 C．2 D．变式3．（2324高二上·河北石家庄·阶段练习）直线2-mx+2m+1y+3m+4=0，若直线分别与x轴，变式4．（2324高二上·江苏宿迁·期中）设m为实数，直线2m(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M，并求出定点M的坐标；(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求l变式5．（2022高二上·全国·专题练习）已知直线l的方程为：2+m(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l变式6．（2122高二·全国·课后作业）求经过点P1,4(1)在两坐标轴上的截距相等；(2)在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小．变式7．（2122高二·全国·课后作业）过点P1,2作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，(1)若△AOB是等腰直角三角形，求直线l(2)对于①OA+OB最小，②△AOB面积最小，若选择___________作为条件，求直线一、单选题1．（2324高二上·湖南长沙·期末）已知直线的方程为x-y+A．π6 B．π4 C．3π42．（2324高二上·浙江绍兴·期末）下列方程所表示的直线中，倾斜角为π4的是（

A．2x-yC．x-y-3．（2324高二上·湖北荆州·期末）直线x-2y+2024=0在A．-2024 B．-1012 C．1012 D4．（2425高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知直线a-2y=3A．-∞,2 B．C．(2,+∞) D．2,+∞5．（2223高二上·湖北武汉·阶段练习）当点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)xA．3x+2y-5=0 B．26．（2425高二上·全国·课后作业）下列直线中过第一、二、四象限的是（

）A．y=2x+1 B．y=127．（2324高二下·上海·阶段练习）“a=1”是“直线x+ay-1=0与直线axA．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要8．（2122高二上