1.11.2锐角三角函数（B卷能力拓展）-2021-2022学年九年级数学下册分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）

1.1—1.2锐角三角函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________B卷（能力拓展）一、选择题1．如图：等腰中，是上一点，若，则（）．A． B．2 C．1 D．【答案】B【分析】过D作DH⊥AB于H，由tan∠DBA=，设DH=m，则BH=5m，AB=6m，根据三角形ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=6，可得AB=6，从而可得6m=6，解得m，即可得到答案．【详解】解：过D作DH⊥AB于H，如图：Rt△BDH中，tan∠DBA=，∴=，设DH=m，则BH=5m，∵三角形ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=6，∴∠A=45°，AB=AC=6，∴△AHD是等腰直角三角形，∴AH=m，AD=m，∴AB=AH+BH=6m，∴6m=6，解得m=，∴AD=m=2．故选B．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是设DH=m，用含m的代数式表示AB，从而列方程求解．2．（2021·安徽省安庆市九年级月考）如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为（）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件可知：AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ECD＝α．在Rt△DEC中，cos∠ECD＝cosα＝，由此可以求出CE．然后根据勾股定理求出DE，最后在Rt△AED中利用余弦函数的定义即可求出AD．【详解】解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝4，，∴，∵DE⊥AC，∴，∴，∴∠ADE＝∠ECD＝α．在Rt△DEC中，cos∠ECD＝cosα＝，即,∴CE＝．根据勾股定理得DE＝．在Rt△AED中，cosα＝，即，∴AD＝．故选：C．【点睛】此题考查了解直角三角形、矩形的性质，直角三角形性质，正确掌握各知识点及逻辑推理能力、运算能力是解题的关键．3．（2021·陕西西安市九年级模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为6，AC为对角线，取AB中点E，DE与AC交于点F．则sin∠DFC＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接BD与AC交于点O，利用勾股定理求得DE，OD，根据正方形的性质证明△AFE∽△CFD，然后根据相似三角形的性质求得DF，进而可求．【详解】解：连接BD与AC交于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAD＝90°，AC⊥BD，OD＝，AB∥CD，AD＝AB＝CD＝6，∴∠DOF＝90°，∠EAF＝∠DCF，OD＝3，∵E为AB中点，∴AE＝AB＝＝3，由勾股定理得，DE＝，∵∠EAF＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△CFD，∴，∴DF＝DE＝2，∴sin∠DFC＝，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解题关键是构造直角三角形和找出相似三角形进行求解．二、填空题4．（2021·河南省淮滨县九年级开学考试）如图，在中，，是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值为________．【答案】【分析】先求解再证明利用勾股定理求解再利用余弦的含义可得答案.【详解】解：，是斜边的中点，，，故答案为：【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，求解锐角的余弦，熟练的运用勾股定理求值是解题的关键.5．（2021·湖南邵阳市中考真题）如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______．【答案】3【分析】在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题．【详解】解：在中，在矩形中，故答案为：3．【点睛】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．（2021·黑龙江南岗九年级模拟预测）在中，，，，则的长为______．【答案】5或7【分析】分情况讨论，当为锐角三角形或钝角三角形（为锐角或钝角）时，过点作垂线，根据三角函数求解即可．【详解】解：过点作垂线当为锐角三角形时，如下图设∵，∴，又∵，∴，解得∴又∵∴∴当为钝角三角形时，如下图∵，∴，又∵，∴，解得∴又∵，∴∴故答案为：5或7【点睛】此题考查了勾股定理和三角函数的有关知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键，易错点是三角形不唯一，需要进行分类讨论．三、解答题7．如图所示，已知在中，D是AB的中点，，，求．【答案】【分析】（方法1）作交BC于点E，得，根据和勾股定理得出的长度，根据中位线定理得出AC的长度，再根据勾股定理得出AD的长度，即可得；（方法2）作交AC于点F，得，根据和勾股定理得出CF的长度，根据D是AB的中点得出AC的长度，再根据勾股定理得出AD的长度，即可得；（方法3）延长CD至G点使CD=GD，得出四边形AGBC为平行四边形，根据和勾股定理得出的长度，的长度，再根据平行四边形的性质可得AD，CD的长度,即可得．【详解】解：方法1：如图所示，作交BC于点E，得，∴，设，则，∴，由中位线定理得AC＝6x，在中，，∴；方法2：如图所示，作交AC于点F，得，∴，设，则，中，根据勾股定理，，∵D是AB的中点，∴，在中，根据勾股定理，，∴；方法3：如图所示，延长CD至G点使CD=GD，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∴四边形ABCD是平行四边形，，设，，由得，在中，根据勾股定理，，∵CD=GD，∴DG=DC=2z，在中，根据勾股定理，，∴，，∴．8．（2021·福建泉州市九年级期末）如图在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、BC的中点，过点B作BF⊥AC于点F，BF与DE交于点G．（1）求证：DE⊥BF；（2）连结EF，若S△CEF＝S△BDG，求cos∠CEF的值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】由条件，可得知DE是△ABC的中位线，根据中位线的性质，得到，进一步得到∠DGB＝∠AFB，结合BF⊥AC，即可得证；（2）先证明△BDG∽△BAF，得到，进一步推理得到S△ABC＝S△ABF+S△BCF＝S△ABF+2S△CEF＝S△CEF；＝＝，在中求解即可．【详解】（1）∵点D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，∴∠DGB＝∠AFB．∵BF⊥AC，∴∠AFB＝∠BFC＝90°．∴∠DGB＝90°，∴DE⊥BF．（2）∵∠BFC＝90°，点E是BC的中点，∴EF＝BE＝EC，∴∠EFC＝∠C．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∴∠CEF＝180°﹣2∠C＝∠BAC．∵，点D是AB的中点，∴△BDG∽△BAF，∴∵点E是BC的中点，∴S△BFC＝2S△CEF，∵S△CEF＝，∴．∴S△ABC＝S△ABF+S△BCF＝S△ABF+2S△CEF＝S△CEF．∴＝＝．在中，．【点睛】本题考查中位线性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的相关知识点，根据知识点解题是关键．9．（2021·河北九年级月考）如图，在中，，点D，E分别是边上的点，且．（1）求证：；（2）若，当时，求和．【答案】（1）证明见详解；（2）cosC=，．【分析】（1）由题意可得∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠BAD，可证△ABD∽△DCE；（2））由等腰三角形性质可得BD=CD=BC=16，在Rt△ADC中，由余弦定义可求cosC=，由，∠DAC+∠C=90°，可得∠DAC+∠ADE=90°，可求∠AED=90°，在Rt△CDE中，利用余弦三角函数cosC=可求．【详解】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∴∠ADE+∠EDC＝∠ABC+∠BAD，且∠ADE＝∠B，∴∠EDC＝∠BAD且∠ABD＝∠DCE，∴．解：（2）∵AB=AC=20,，AD⊥BC，∴BD=CD=BC=16，在Rt△ADC中，cosC=，∵，∠DAC+∠C=90°，∴∠DAC+∠ADE=90°，∴∠AED=180°（∠DAC+∠ADE）=90°，在Rt△CDE中，cosC=∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相似三角形的性质，与锐角三角函数定义是本题的关键．10．（2021·合肥市九年级模拟预测）如图1，和都是等腰直角三角形，，，且点是上的点（点不与点，重合），过点作交的延长线于点，的延长线交于点．过点作交于点，连接．（1）求证：；（2）若，求的长；（3）如图2，若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【分析】（1）先判断出，再判断出，进而判断出，即可得出结论；

（2）先利用等式的旋转判断出，再判断出，进而判断出，进而求出，即可得出结论；

（3）先判断