3.1.2椭圆的几何性质（十大题型）

3．1．2椭圆的几何性质课程标准学习目标能说出椭圆的简单几何性质，并能证明性质，进一步体会数形结合思想．1、根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．2、根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线．知识点一：椭圆的简单几何性质我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，．椭圆的对称性对于椭圆标准方程，把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心．椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，．③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作．②因为，所以的取值范围是．越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆．当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为．知识点诠释：椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：（1），，；（2），，；（3），，；【即学即练1】（多选题）（2024·高二课时练习）已知椭圆的左，右焦点为F1，F2，点P为椭圆C上的动点（P不在x轴上），则（

）A．椭圆C的焦点在x轴上 B．△的周长为C．的取值范围为 D．椭圆的离心率为【答案】ABD【解析】A：由椭圆方程知：，故椭圆C的焦点在x轴上，正确；B：由，且△的周长为，正确；C：由P为椭圆C上的动点且不在x轴上，则，错误；D：椭圆的离心率为，正确.故选：ABD知识点二：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．可借助下图帮助记忆：a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边．和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系．【即学即练2】（多选题）（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知，为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，下列说法正确的是（

）A． B．离心率范围C．当点为短轴端点时，为等腰直角三角形 D．若，则【答案】ABD【解析】∵，∴，又，∴，∴，故A正确；∵，，∴，即，∴，故B正确；当点为短轴端点时，∵，，∴为等边三角形，故C错误；若，又∴，∴，不妨设为锐角，则为钝角，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴，故D正确.故选：ABD知识点三：椭圆两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点，，轴长轴长=，短轴长=离心率知识点诠释：椭圆，的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有和，；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．【即学即练3】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是.①曲线关于坐标原点对称；②的取值范围是；③曲线是一个椭圆；④曲线围成区域的面积小于椭圆围成区域的面积.【答案】①【解析】对于①，若点满足曲线的方程，则点也一定满足曲线的方程，所以曲线关于坐标原点对称，故①正确；对于②，，所以，故②错误；对于③，当时，，此时，当时，，此时，所以曲线由两个抛物线的部分组成的，不是椭圆，故③错误；对于④，因为椭圆的面积与椭圆的面积相等，作出曲线与椭圆，由图可知，曲线围成区域的面积大于椭圆围成区域的面积，所以曲线围成区域的面积大于椭圆围成区域的面积，故④错误.故答案为：①.知识点四：直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点，若点在椭圆上，则有；若点在椭圆内，则有；若点在椭圆外，则有．直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为．①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．直线与椭圆的相交弦设直线交椭圆于点，两点，则同理可得这里，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【即学即练4】（2024·全国·高二课堂例题）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为．【答案】或【解析】椭圆，即，则，，，左焦点为，设直线为，，由，得，整理得，因为，所以，所以，，解得，所以直线为，即或．故答案为：或知识点五：解决椭圆中点弦问题的两种方法：1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线（不平行于轴）过椭圆（）上两点、，其中中点为，则有．【即学即练5】（2024·江西宜春·高二高二中校考阶段练习）已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为【答案】【解析】设点、，由中点坐标公式可得，所以，因为，两式作差得，即，即，所以，，因此，直线的方程为，即.故答案为：.题型一：椭圆的几何性质【典例11】（多选题）（2024·安徽·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（

）A．C的离心率为 B．C．的最大值为 D．使为直角的点P有4个【答案】BCD【解析】由原方程可得椭圆标准方程为，，，故A错误；由椭圆定义可知，故B正确；由椭圆的性质知，故C正确；易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确.故选：BCD【典例12】（多选题）（2024·高二·广东汕头·阶段练习）已知椭圆，则下列说法中正确的是（

）A．椭圆的焦点在轴上 B．椭圆的长轴长是C．椭圆的焦距为 D．椭圆的离心率为【答案】ABD【解析】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，因为椭圆的方程为，所以椭圆的焦点在上，且，A正确，所以椭圆的长轴长为，B正确，椭圆的焦距为，C错误；椭圆的离心率，D正确.故选：ABD.【变式11】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则由题意可知，又，解得，，，所以椭圆的标准方程为或．故选：AD【变式12】（多选题）（2024·高二·云南保山·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（

）A．椭圆的短轴长为B．的最大值为8C．离心率为D．椭圆上不存在点，使得【答案】BD【解析】易知当轴时，即线段为通径时，AB最短，，解得，椭圆方程为，对于，椭圆的短轴长为，故A错误；对于，因为的周长为，且，故B正确；对于C，离心率，故C错误；对于，易知当点位于短轴顶点时，最大，此时，又为三角形内角，椭圆上不存在点，使得，故D正确，故选:BD.【变式13】（多选题）（2024·高二·江苏南京·阶段练习）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（

）A．椭圆的长轴长为B．线段长度的取值范围是C．面积的最小值是4D．的周长为【答案】ABD【解析】对于A，由题知，椭圆中的几何量，得，则，故A错误；对于B，，由椭圆性质可知，，B正确；对于C，记，则，取，则C错误；对于D，由椭圆定义知，，所以的周长D正确．故选：ABD．【变式14】（多选题）（2024·高二·广东江门·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上任意一点（非长轴的顶点），则下列说法正确的是（

）A．椭圆C的焦点坐标为B．当时，椭圆C的离心率为C．当时，的周长为6D．若椭圆C的离心率为，则的面积的最大值是【答案】AC【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，对于A，椭圆C的焦点坐标为，A正确；对于B，当时，，离心率，B错误；对于C，当时，，则的周长为，C正确；对于D，椭圆C的离心率为，即，解得，，设，则的面积，D错误.故选：AC.题型二：根据椭圆的有界性求范围或最值【典例21】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知定点为椭圆上一动点，满足：当取得最小值时点恰为椭圆的右顶点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】记，，，对称轴为，由于时取到最小值，则.故选：B【典例22】（2024·高二·河南南阳·阶段练习）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】由题意可知：，设，由可得，，则，因为，可知当时，最大为.故选：B【变式21】（2024·高二·江苏扬州·期中）已知是椭圆上的点，则的值可能是（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】A【解析】由椭圆，可设，其中，则，其中，因为，所以，即的取值范围为，结合选项，可得A符合题意.故选：A.【变式22】（2024·高二·全国·课后作业）已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，因为P点在椭圆上，则，记，所以，又因为开口向上，对称轴，且，所以当时，取到最小值.故选：B.【变式23】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知，，若圆上存在点P，使得，则实数r的取值范围是（

）A．[3,5] B．（0,5] C．[4,5] D．[16,25]【答案】C【解析】动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且又点P在上，椭圆与圆有公共点，实数r的取值范围是[4,5].故选：C.【变式24】（2024·高二·福建福州·期末）已知点A(m,n)在椭圆上，则的最大值是.（）A．6 B．8 C．3 D．2【答案】B【解析】由题意可得，则，故．因为，所以，所以，即．因此，的最大值.故选：B.题型三：求离心率的值【典例31】（2024·高二·广西柳州·阶段练习）若椭圆：的蒙日圆为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，分别与椭圆相切，显然.所以点在蒙日圆上，所以，所以，即，所以椭圆的离心率.故选：D.【典例32】（2024·高三·广西贵港·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，为的中点，且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如下图所示：根据题意可知，由椭圆定义可得，又为的中点，可得，因为，由勾股定理可得，即；结合整理可得，即，解得或（舍）.故选：C【变式31】（2024·高二·浙江衢州·期末）已知是椭圆上的一动点，且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】椭圆长轴的两顶点为，设，则由题设可得即，故，故即，故，故选：B【变式32】（2024·高二·全国·课后作业）椭圆的两顶点，，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为直角三角形，且，，，由勾股定理可得，即，整理得，两边同除以得，解得．且，所以．故选：B.【变式33】（2024·高二·全国·课后作业）设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，设椭圆的长轴长为2a，半焦距为c，则，则，，于是，∴．故选：C【变式34】（2024·高二·安徽亳州·期中）已知椭圆的左焦点为，点在上，的中点为为坐标原点，且，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设C的右焦点为，因为，所以，所以，所以，设，因为，所以，所以，解得.故选：C.【变式35】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知椭圆C：（）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，由题意：，∴，∴，∴∴故选：C题型四：求离心率的范围【典例41】（2024·高二·全国·课后作业）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】当轴时，有两个点满足为直角三角形；当轴时，有两个点满足为直角三角形.使为直角三角形的点有且只有4个，以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，，，又，解得.故选：A.【典例42】（2024·高二·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，，，，由题意可知，，即，得，则.故选：B【变式41】（2024·高二·湖南长沙·期中）焦点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，则椭圆离心率的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设椭圆的标准方程为，不妨设矩形的对角线所在的直线方程为：（假设），联立，则，解得：，，所以矩形的面积为：，当且仅当时取等，因为点在x轴椭圆中截得的最大矩形的面积范围是，所以，则，即，，即，解得：，即.故选：C.【变式42】（2024·高二·湖南郴州·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】为直角三角形，可分为以下三类讨论：以点为直角顶点；以点为直角顶点；以点为直角顶点.由椭圆的对称性可知：以点为直角顶点的点有两个；以点为直角顶点的点有两个，则要使为直角三角形的点有8个，须使以点为直角顶点的直角三角形有4个.由椭圆的对称性可得在轴上方有两个点满足以点为直角顶点.则，即，所以，解得即，所以，又因为椭圆离心率，所以.故选：C.【变式43】（2024·高二·广东江门·阶段练习）已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以，即，，，所以，即，又因为，所以椭圆离心率的取值范围为．故选：A．【变式44】（2024·高二·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当点位于短轴的端点时，最大，要使椭圆上存在一点P满足，只要最大时大于等于即可，即当点位于短轴的端点时，，所以，又椭圆的离心率，所以椭圆的离心率的范围是.故选：D.【变式45】（2024·高二·四川内江·阶段练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题得：，所以故选：A．【变式46】（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，即，所以点P落在以为直径的圆上，所以有解，即有解，所以.即，所以，所以，又椭圆的离心率，所以.故选：D题型五：点与椭圆的位置关系【典例51】（2024·全国·高二专题练习）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（

）A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系【答案】C【解析】点与点关于原点对称，点与关于轴对称，点与关于轴对称，若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上，故选：C【典例52】（2024·全国·高二专题练习）已知点和焦点在轴上的椭圆：，且过作椭圆的切线有两条，则该椭圆半焦距的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，点在椭圆的外部.所以，，所以.又椭圆焦点在轴上，所以，所以.又，所以，所以.故选：C.【变式51】（2024·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考学业考试）若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【解析】圆的圆心，半径为，因为直线与圆没有公共点，所以圆心到直线的距离大于半径，得，即，所以，则点在椭圆内部，所以过点的直线与椭圆必有2个公共点.故选：C.【变式52】（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由椭圆方程为，因为，所以点在椭圆内部，A错误；因为，所以点在椭圆内部，B错误；因为，所以点在椭圆外部，C正确；因为，所以点在椭圆内部，D错误.故选：C.【变式53】（2024·全国·高二专题练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为点在椭圆的外部，所以,解得,故选：B.题型六：直线与椭圆的位置关系【典例61】（2024·高二·江苏常州·期中）已知椭圆，直线，则直线与椭圆的公共点有个.【答案】2【解析】直线过定点,，即定点在椭圆内，则直线与椭圆C的公共点有两个.故答案为：2.【典例62】（2024·高三·上海·开学考试）直线与椭圆的公共点个数为．【答案】2【解析】直线恒过，由于，所以是椭圆内部的一点，所以直线与椭圆恒有2个交点．故答案为：2．【变式61】（2024·高二·全国·专题练习）直线和曲线的位置关系为.【答案】相交【解析】曲线为：可得直线恒过，由知定点在椭圆内部，所以直线与椭圆的位置关系为相交.故答案为：相交.【变式62】（2024·高二·全国·课后作业）试判断直线与椭圆的公共点的个数，并说明理由.【解析】直线与椭圆的公共点的个数为个，理由如下：根据题意，直线，恒过定点，把点代入椭圆，则点在椭圆的内部，则直线与椭圆必相交，有个交点，即直线与椭圆的公共点的个数为个.【变式63】（2024·高二·福建莆田·期中）已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数.【解析】（1）由题意椭圆的短轴长为，离心率为，可知，，解得，所求椭圆的方程为；（2）由可得，，当即时，直线与椭圆相切，只有一个公共点；当即时，直线与椭圆相交，有两个公共点；当即或时，直线与椭圆相离，无公共点；综上所述，当时，直线与椭圆只有一个公共点；当时，直线与椭圆有两个公共点；当或时，直线与椭圆无公共点.【变式64】（2024·高二·江苏·课后作业）判断直线与椭圆的公共点的个数．【解析】联立，消去可得，则，故直线与椭圆只有个公共点.题型七：弦长问题【典例71】（2024·高二·全国·课堂例题）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于两点，求弦的长．【解析】由题意可知：，因为直线过椭圆的右焦点，且斜率为，则直线的方程为，且直线与椭圆必相交，方法一：解方程组，解得或，不妨令，，所以；方法二：设Ax1,联立方程，消去得，则，．所以；方法三

设Ax1,联立方程，消去得，则，，所以．【典例72】（2024·高二·湖南·期末）已知椭圆过点，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程.【解析】（1）由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）当直线的斜率不存在时，方程为，此时，当直线的斜率存在时，设方程为，联立，消得，恒成立，故，则，所以，令，则，所以，当，即时，AB取得最大值，此时，综上所述，当AB最大时，求直线的方程为.【变式71】（2024·高二·青海西宁·期中）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长．【解析】（1）由题意可设C:x则，即，且，可得，所以椭圆方程为.（2）设，将直线与椭圆联立，得，解得或所以弦长.【变式72】（2024·高二·全国·专题练习）已知椭圆：，则过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长度为．【答案】/【解析】根据题意知过点且斜率为的直线的方程是．设此直线与椭圆的交点为Ax1,y联立直线方程和椭圆方程，得消去，化简得，故，．所以．故答案为：．【变式73】（2024·高二·全国·课后作业）若直线和椭圆交于两点，则线段的长为．【答案】【解析】由消y得．设，，则，，所以．故答案为：【变式74】（2024·高二·上海宝山·阶段练习）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若弦的长为，则直线的斜率为.【答案】【解析】椭圆，即，则，，，左焦点为，设直线为，，由，得，整理得，因为，所以，所以，，解得，所以直线为斜率为，故答案为：.【变式75】（2024·高二·全国·课后作业）已知椭圆两顶点，，过焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，当时，直线l的方程为.【答案】或【解析】由题意得，.∴.∴椭圆方程为.当直线l的斜率不存在时，，不符合题意.当直线l的斜率存在时，设l的方程为，联立，得，恒成立.设，.∴，.∴，即，解得，∴.∴直线l的方程为或.故答案为：或.题型八：中点弦问题【典例81】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为．【答案】【解析】因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点，因为，即点为线段的中点，设，，显然，则，，，可得，则，即，所以，即直线的斜率，故答案为：【典例82】（2024·高二·上海·期中）直线过点，且与曲线交于两点，若，则直线的方程为.【答案】【解析】由题意知为直线的中点，设，则，则，所以，即，则直线的方程为，故答案为：.【变式81】（2024·高二·福建福州·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点为，则直线的斜率为．【答案】【解析】设，，则的中点坐标为，由题意可得，，将，的坐标的代入椭圆的方程：，作差可得，所以，又因为离心率，，所以，所以，即直线的斜率为，故答案为：.【变式82】（2024·高二·山东临沂·期末）已知椭圆的离心率为，直线与交于两点，直线与的交点恰好为线段的中点，则的斜率为.【答案】/0.25【解析】由题意知椭圆的离心率为，故，，设，由题意知l的斜率存在，则，设线段AB的中点为，则直线l的斜率为，直线的斜率，由，两式相减得，即得，即，故，故答案为：【变式83】（2024·高二·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值．【解析】（1）设半焦距为c，长半轴为a，短半轴为b，依题意可知，

解得.故椭圆的标准方程为；（2）证明：设Ax1,y1，Bx2把Ax1,y1，B两式相减可得，即．又，则，故为定值．【变式84】（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求弦中点坐标.【解析】（1）依题意得：，即，解得，解得椭圆的方程为（2）如图所示：设，中点为，所以则又两点在椭圆上，可得，两式相减可得，整理得，①.过点斜率为的直线为.因为在直线上，故，②联立①②，解得所以中点坐标为.【变式85】（2024·高二·北京·开学考试）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若线段中点的纵坐标，求直线的方程.【解析】（1）由题意可知,解得，因为，所以，所以，解得.所以椭圆的方程为.（2）由题意可知直线斜率存在，如图所示设，设Ax1消得，，所以，解得.,设线段中点的坐标为，所以,又因为线段中点的纵坐标，所以，解得，所以直线方程为，即.题型九：椭圆的实际应用【典例91】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（

）A．卫星向径的取值范围是B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小【答案】C【解析】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确；根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；卫星向径的最小值与最大值的比值为越大，则越小，椭圆越圆，故C错误．因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确；故选：C．【典例92】（2024·高二·重庆·期中）彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则轨道椭圆的长轴长为______天文单位.（

）A．7.0490 B．4.0770 C．3.5245 D．2.0385【答案】A【解析】依题意，轨道的近日点和远日点为椭圆长轴的端点，而太阳为该轨道椭圆的一个焦点，所以轨道椭圆的长轴长为（天文单位）.故选：A【变式91】（2024·高二·山东潍坊·阶段练习）开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为，最小距离，太阳半径为，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设椭圆的焦距为，长轴长为，则由已知可得，两式相加可得，两式相减可得，则，，所以离心率.故选：A.【变式92】（2024·高二·河北保定·期中）开普勒第一定律也称椭圆定律，轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的个焦点上．将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲，行星H在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离．若行星H的近日点距离和远日点距离之和是（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（

）A． B． C．34 D．88【答案】C【解析】由曲线的方程为椭圆，可得长半轴，则半焦距，近日点距离为，远日点距离为，近日点距离和远日点距离之和是，近日点距离和远日点距离之积是，解得，，则．故选：C【变式93】（2024·高二·河北邯郸·期末）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（

）A．39 B．52 C．86 D．97【答案】D【解析】根据椭圆方程，得长半轴，半焦距，近日点距离为，远日点距离为，近日点距离和远日点距离之和是，近日点距离和远日点距离之积是，解得，则.故选：D.【变式94】（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，设椭圆方程为，令，即，解得，依题意可得，所以，所以，所以．故选：D．【变式95】（2024·高二·广东深圳·期末）运用微积分的方法，可以推导得椭圆（）的面积为．现学校附近停车场有一辆车，车上有一个长为的储油罐，它的横截面外轮廓是一个椭圆，椭圆的长轴长为，短轴长为，则该储油罐的容积约为（）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，椭圆的长轴长为，短轴长为，所以所以椭圆面积为.因为储油罐为一个柱体，所以体积为.故选：B题型十：定点定值问题【典例101】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为．(1)求椭圆C的方程；(2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵的周长为8，的最大面积为，∴，解得，或，．∴椭圆C的方程为或等．（2）

由（1）及易知F21,0不妨设直线MN的方程为：，，Mx1,y1联立，得．则，，若的内心在x轴上，则，∴，即，即，可得．则，得，即．当直线MN垂直于x轴，即时，显然点也是符合题意的点．故在x轴上存在定点，使得的内心在x轴上.【典例102】（2024·高三·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.【解析】（1）∵抛物线的焦点为，∴椭圆的半焦距为，又，得，.∴椭圆的方程为（2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，联立，得.，即，设，，则，，∴，∴.∴为定值【变式101】（2024·高二·河南平顶山·期末）已知椭圆经过点，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.【解析】（1）由题意可知：，又，解得，所以椭圆方程为（2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且，直线的方程为：，联立直线与椭圆方程：，设，则，，将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证.【变式102】（2024·高三·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.【解析】（1）由题知，，，，由的面积为，得，又，代入可得，，∴椭圆的方程为.（2）联立得，设，，可得，，由题知，即，即，解得，∴直线的方程为，故直线恒过定点.【变式103】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标.【解析】（1）由已知得，解得，椭圆的标准方程，（2）设，则，可设的直线方程为，联立方程，整理得，，，，整理得，，，解得，的直线方程为：，直线恒过定点.【变式104】（2024·高二·河南南阳·期末）已知椭圆的左顶点为，右顶点为，椭圆上不同于点的一点满足.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，直线交于点，证明：点在定直线上.【解析】（1）如图所示：根据题意，，设点的坐标为，由于点在椭圆上，所以，得，则，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）解法一（非对称韦达）：由题意如图所示：设点，可设直线的方程为：，联立，得，由根与系数的关系，，直线的方程：，①直线的方程：，②①②得，因为，所以，解得，因此，点在定直线上.解法二（齐次化）：由题意如图所示：设不过点的直线的方程为：，由于直线过2,0，所以.设，点.椭圆的方程转化为，，代入直线的方程得，，即，即，由根与系数的关系，，又由题意可得：，所以两式相除得：，即，解得，所以点在定直线上.【变式105】（2024·高二·新疆克孜勒苏·期末）已知椭圆的离心率，且椭圆经过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线与轴交于定点.【解析】（1）设椭圆半焦距为，由题意得解得，椭圆的标准方程为：.（2）设点，则，直线的方程为，直线与椭圆联立，消去，得，则，，得，由题意，直线的方程为，令，所以点的横坐标，所以直线与轴交于定点.【变式106】（2024·高二·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P．(1)若，，求椭圆C的方程(2)若直线AB与直线AP的斜率之比是2，证明：为定值，并求出定值．【解析】（1）由，，得：，解得，又点在椭圆上，则，解得，所以椭圆的方程为．（2）证明:依题意，令，直线，由，得，直线AB的斜率，直线AP的斜率，则，即，有，得，，于是得点，，，所以为定值.1．（2024·高二·山东滨州·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当直线的斜率不存在时，由对称性可知被椭圆截得线段的中点在轴上，不合题意；故可设直线的方程为，代入椭圆方程化简得，，有，，解得，所以直线的方程为，即.故选：B.2．（2024·高二·江苏·专题练习）已知椭圆：经过点，右焦点为，，分别为椭圆的上顶点和下顶点，若过且斜率存在的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率分别为和，则的值为（

）A．1 B．3 C．2 D．【答案】B【解析】由题意可知，，，椭圆的标准方程为．设直线：，联立直线和椭圆方程，，得，记，，则，由题意知和．则，，则，所以．故选：B3．（2024·高二·江苏·专题练习）设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】显然不满足题意，设直线的方程为，设，，，解得，①，则，又为锐角，则，即，，所以，解得，②由①②，解得或，所以实数k的取值范围为.故选：C.4．（2024·高二·天津·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当直线斜率不存在时，由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上，而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意.故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为，即，代入椭圆的方程化简得，所以，解得，故直线方程为，即.故选：B.5．（2024·高二·全国·课后作业）已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】设，不妨设点是椭圆长轴的左端点，则.因为椭圆的离心率，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确.故选：A.6．（2024·广东广州·模拟预测）已知点，是椭圆上不关于长轴对称的两点，且，两点到点的距离相等，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设（），线段的中点为，则，两式相减得，所以，所以，所以，因为，，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，即实数的取值范围为.故选：B7．（2024·高二·上海·随堂练习）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设椭圆的标准方程为，则椭圆的面积为，又，联立解得．所以椭圆的标准方程为．故选：D.8．（2024·高二·云南保山·期末）已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，，与轴的交点为，．由且，得①，又，所以，故②，联立①②消去得：，又，所以，因，所以有，所以，故，所以，解得离心率，故选：C．9．（多选题）（2024·高二·重庆·开学考试）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为，则（

）A．椭圆的长轴长等于4B．椭圆的离心率为C．椭圆的标准方程可以是D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为【答案】BCD【解析】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，解得，A错误；显然，则，离心率，B正确；当以椭圆短轴所在直线为x轴，长轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D正确.故选：BCD10．（多选题）（2024·高二·广西南宁·期中）已知椭圆，、分别为它的左右焦点，、分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1B．的最小值为C．若为直角三角形，则的面积为D．的范围为【答案】ACD【解析】对A，易知，则，故A正确；对B，位于椭圆上顶点时最大，此时最小，且故此时为等边三角形，，故B错误；对C，若为直角三角形，由B知，，所以或，不妨设，则此时点横坐标，代入，得，故的面积为：，故C正确；对D，,设则，由得：，故，故，故D正确.故选：ACD11．（多选题）（2024·高二·云南昆明·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过作直线与C交于A，B两点，的周长为8．若在C外，点Q在C上，记C的离心率为e，则（

）A．的最小值为5B．C．存在点Q，使得D．当时，点R在C上且满足，则有【答案】BD【解析】因为的周长为8，所以，即.因为在C外，代入椭圆方程所以，所以.对于A：，当且仅当时，等号成立，所以，故A不正确；对于B：椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是12,1，故B正确；设椭圆的上顶点为，F1-c,0，，由于，因为，当时，此时不存在使得，故C错误；对于D:当时,可得：此时椭圆方程为，设直线为：，联立，得，设，，则，，，，，，原点到直线的距离，