第1章《丰富的图形世界》

20222023学年北师大版数学七年级上册章节考点精讲精练第1章《丰富的图形世界》知识互联网知识互联网知识导航知识导航知识点01:立体图形定义：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．细节剖析常见的立体图形有两种分类方法：棱柱的相关概念：在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱．通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图）细节剖析（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形．（2）长方体、正方体都是四棱柱．（3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形．3．点、线、面、体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系．此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体．知识点02:展开与折叠有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．细节剖析(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．知识点03:截一个几何体用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等．知识点04:从三个方向看物体的形状一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．（如下图）考点提优练考点提优练考点01：点、线、面、体1．（2022春•绥棱县期末）长方形长5厘米，宽3厘米，以宽为轴旋转一周得到圆柱的体积是（）立方厘米．A．225.5 B．235.5 C．245.5 D．255.5解：由题意可知，圆柱体的底面半径为5厘米，高为3厘米，所以体积为π×52×3＝75π≈235.5（立方厘米），故选：B．2．（2021秋•宣汉县期末）在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（）A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线，故选：A．3．（2021秋•苏州期末）将一个长方形绕着它的一边旋转一周，得到的几何体是圆柱体．解：以矩形的一边所在直线为旋转轴，形成的旋转体叫做圆柱体．故答案为：圆柱体．4．（2020秋•碑林区校级期末）如图，三边长分别为3cm，4cm，5cm的直角三角形，绕其斜边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为9.6πcm3．（结果保留π）解：如图．∵OB⊥AC，∠ABC＝90°，∴OB＝＝，几何体的体积为×π×（）2×5＝9.6π（cm3）．故答案为：9.6π．5．（2019秋•兰州期末）如图所示，已知直角三角形纸板ABC，直角边AB＝4cm，BC＝8cm．（1）将直角三角形纸板绕三角形的边所在的直线旋转一周，能得到3种大小不同的几何体？（2）分别计算绕三角形直角边所在的直线旋转一周，得到的几何体的体积？（圆锥的体积＝πr2h，其中π取3）解：（1）将直角三角形纸板ABC绕三角形的三条边所在的直线旋转一周，能得到3种大小不同的几何体．故答案为：3．（2）以AB为轴：×3×82×4＝×3×64×4＝256（立方厘米）；以BC为轴：×3×42×8＝×3×16×8＝128（立方厘米）．答：以AB为轴得到的圆锥的体积是256立方厘米，以BC为轴得到的圆锥的体积是128立方厘米．6．（2012秋•罗平县期末）如图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，请把相对应的图形和几何体用线连起来．解：连接后的图形如下：．考点02：几何体的表面积7．（2021•苏州二模）某几何体的主视图和俯视图及相关数据（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积是（）A．60πcm2 B．65πcm2 C．90πcm2 D．120πcm2解：由图象可得圆锥底面半径r＝5cm，则母线l长为：＝13cm，∴侧面积S＝πrl＝5×13π＝65π（cm2），故选：B．8．（2018秋•宁阳县期末）如图，把一个高6分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，它的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米．原来这个圆柱的体积是（）立方分米．A．105π B．54π C．36π D．18π解：∵近似长方体的表面积比圆柱体的表面积增加了36平方分米，∴圆柱体的半径为：36÷2÷6＝3（分米），∴圆柱的体积为：π×32×6＝54π（立方分米），故选：B．9．（2022•婺城区一模）已知圆柱形瓶子的底面半径为cm．其侧面贴合了一条宽为3cm的环形装饰带．（1）如图1，若装饰带水平环绕，则瓶子侧面被装饰带覆盖的面积为72cm2；（2）如图2，若装饰带斜贴侧面环绕，装饰带的最高点与最低点高度差为4cm，则瓶子侧面被装饰带覆盖的面积为cm2．解：（1）图1的圆柱形瓶子的侧面展开图如图所示．∵圆柱形瓶子的底面半径为cm，∴底面周长为2π×＝24cm，即长方形的长为24cm，∴AC＝24cm，∵环形装饰带的宽为3cm，即CD＝3cm，∴瓶子侧面被装饰带覆盖的面积为24×3＝72（cm2）．故答案为：72．（2）图2的圆柱形瓶子的侧面展开图如图所示．过点C作CE⊥DF于E．由题意，可得DB＝4cm，CE＝3cm，AB＝12cm，四边形ACDF是平行四边形，∴∠FAC＝∠EDC，∵∠FAC+∠CAB＝90°，∠EDC+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠CAB，易得△ABC∽△CED，∴．设CD＝x，则BC＝4﹣x，在Rt△CDE中，ED＝＝，∴，解得，（舍去），∴FA＝CD＝，∴瓶子侧面被装饰带覆盖的面积为24×＝cm2．故答案为：．10．（2020•市南区二模）如图所示，一个长方体的长、宽、高分别是3cm，3cm，5cm，在这个长方体每个面的中心位置，从前到后，从左到右，从上到下分别打一个边长为1cm的正方形通孔，那么打孔后的长方体的表面积为104cm2．解：打孔后的长方体的表面积＝2×（3×3+3×5+3×5）﹣6+8×（1×1）+8×（1×1）+8×（2×1）＝104（cm2）11．（2018秋•双流区校级月考）将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，现在有一个长为4cm，宽为3cm的长方形，分别绕它的长、宽所在直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的表面积分别是多大？（结果保留π）解：情况①：π×3×2×4+π×32×2＝24π+18π＝42π（cm2）；情况②：π×4×2×3+π×42×2＝24π+32π＝56π（cm2）．答：它们的表面积分别是42πcm2或56πcm2．12．（2016秋•普宁市期中）已知正方体的棱长为a．（1）一个正方体的表面积是多少？体积是多少？（2）2个正方体（如图②）叠放在一起，它的表面积是多少？体积是多少？（3）n个正方体按照图②的方式叠放在一起，它的表面积是多少？体积是多少？解：（1）依题意得：正方体的表面积＝6×正方形的面积＝×26a2，体积＝a3；（2）2个正方体叠放在一起，它的表面积＝6a2×2﹣2a2＝10a2，体积＝2a3；（3）n个正方体的方式叠放在一起，它的表面积＝n•6a2﹣（n﹣1）•2a2＝（4n+2）a2，体积＝na3．考点03：展开图折叠成几何体13．（2022•六盘水）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（）A．① B．② C．③ D．④解：如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是①，故选：A．14．（2022•馆陶县二模）已知图1所示的平面图形可以折叠成图2所示的正方体，则小正方形P的图案是（）A． B． C． D．解：观察图形可知，小正方形P的图案是．故选：D．15．（2022•邯山区模拟）如图是一个不完整的正方体平面展开图，需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体．下列添加方式（图中阴影部分）正确的是（）A． B． C． D．解：选项A，B，C折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺少一个面，不能折成正方体．选项D可折成正方体．故选：D．16．（2020秋•未央区校级期末）如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数11重合的数是1和7．解：由正方体展开图的特征得出，折叠成正方体后，点11所在的正方形分别和点7、点1所在的两个正方形相交，故点1与点7、点1重合．故答案为1和7；17．（2020秋•济南期中）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①、②、③、④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是①．解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．故答案为：①．18．（2018秋•江宁区期末）如图，将一张长为17，宽为11的长方形纸片，去掉阴影部分，恰可以围成一个宽是高2倍的长方体纸盒，这个长方体纸盒的容积是56．解：设长为y，高为x，则宽为2x，依题意得，解得，∴这个长方体纸盒的容积是4×2×7＝56，故答案为：56．19．（2021秋•思明区校级期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了8条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（画出一种情况即可）（3）小明说：他剪的所有棱中，最短的一条棱长为a，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．已知纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是88cm，求a的值及长方体纸盒的体积．解（1）小明共剪了8条棱，故答案为：8．（2）如图，四种情况．（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是88cm，∴4（a+5a+5a）＝88，解得a＝2，∴这个长方体纸盒的体积为2×10×10＝200（cm3）．20．（2021秋•临淄区期中）（1）如图1四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，观察图形，并解答：四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点；六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点；由此猜想n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点．（2）如图2，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；若图中的正方形边长为2.1cm，长方形的长为3cm，宽为2.1cm，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的体积：13.23cm³．解：（1）四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点；六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点；由此猜想n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点．故答案为：6，12，8；8，18，12；（n+2），3n，2n；（2）拼图存在问题，如图：多了一个正方形．折叠而成的长方体的体积为：3×2.1×2.1＝13.23（cm3）．故答案为：13.23．考点04：截一个几何体21．（2021秋•七里河区校级期末）用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（）A．正方形 B．圆形 C．三角形 D．长方形解：用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是圆形，故选：B．22．（2021秋•金水区校级期末）用一个平面去截一个三棱柱，所得截面的边数最少是a条，最多是b条，下列的选项中正确的是（）A．a＝3，b＝6 B．a＝2，b＝5 C．a＝3，b＝5 D．a＝4，b＝6解：用一个平面去截一个三棱柱，所得截面的边数最少是3条，最多是5条，所以，a＝3，b＝5，故选：C．23．（2021秋•陈仓区期中）用一个平面截一个几何体，截面中有圆，这个几何体可以是球或圆柱或圆锥．．（写一个即可）解：圆柱体，圆锥体用平行于底面的平面去截，可得到圆形的截面，用一个平面去截球体，所得任意截面都是圆．故答案为：球或圆柱或圆锥．24．（2021•胶州市一模）如图，一个正方体形状的木块，棱长为2米，若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，得到若干个大大小小的长方体木块，则所有这些长方体木块的表面积和是96平方米．解：沿水平方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小块，是切了4刀，所以一共切了2+3+4＝9（刀），所以这60个小长方体的表面积之和是：6×4+18×4＝96（平方米）．故答案为：96．25．（2020秋•雁塔区校级月考）如图，将一个正方体截去一个角变成一个多面体，则这个多面体有10个顶点．解：正方体有8个顶点，将这个正方体按照如图所示的方式截去一个角后，所得到的多面体的顶点数为8﹣1+3＝10，故答案为：10．26．（2019•黄岩区二模）如图，一个5×5×5的正方体，先在它的前后方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），再在它的上下方向正中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），最后在它的左右方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），这样得到一个被凿空了的几何体，则所得几何体的体积为76．解：如图所示：该正方体可按如图方式分割，则体积为（1×1×1）×（8×8+12）＝1×76＝76故所得几何体的体积为76．故答案为：76．27．（2021秋•龙口市期中）如图，在棱长分别为2cm，3cm，4cm的长方体中截掉一个棱长为1cm的正方体，求剩余几何体的表面积．解：（2×3+2×4+3×4）×2＝（6+8+12）×2＝26×2＝52（cm2），答：剩余几何体的表面积为52cm2．28．（2017秋•铁西区期中）我们知道，三棱柱的上、下底面都是三角形，那么正三棱柱的上、下底面都是等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为10，截取一个底面周长为3的小正三棱柱．（1）请写出截面的形状；（2）请直接写出四边形DECB的周长．解：（1）由题可得，截面的形状为长方形；（2）∵△ADE是周长为3的等边三角形，∴DE＝AD＝1，又∵△ABC是周长为10的等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝，∴DB＝EC＝﹣1＝，∴四边形DECB的周长＝1+×2+＝9．考点05：由三视图判断几何体29．（2022•五华区校级三模）如图是一个几何体的立体图及其三视图，则这个几何体的俯视图是（）A． B． C． D．解：观察图形可知，这个几何体的俯视图是．故选：B．30．（2022•新华区校级四模）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的左视图中a的值为（）A．1.8 B．1.7 C． D．2解：如图，由图形中所标识的数据可知，在俯视图中，AB＝2，△ABC是正三角形，过点C作CM⊥AB于M，∴AM＝BM＝AB＝1，∴CM＝AM＝，即左视图中a的值为．故选：C．31．（2021秋•溧阳市期末）如图所示是一个几何体的三视图，若这个几何体的体积是6，则它的表面积是22．解：∵由主视图得出长方体的长是3，宽是1，这个几何体的体积是6，∴设高为h，则1×3×h＝6，解得：h＝2，∴它的表面积是：1×3×2+3×2×2+1×2×2＝22．故答案为：22．32．（2