专题23二次函数综合题存在性等腰直角三角形类

2023年八升九数学暑假培优计划专题23二次函数综合题——存在性等腰直角三角形类1．如图，抛物线的顶点坐标为P2,6，且与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C0,10

(1)求该抛物线的函数表达式和点A的坐标；(2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点E，使得△ADE是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=-23(2)存在，E的坐标为72,【分析】（1）设抛物线的函数表达式为y=ax-22+6，将点C0,10（2）记抛物线的对称轴与x轴的交点为F，则F2,0，分两种情况：①当点E在x轴上方时，如图点D、E分别在点D1E1的位置，过点E1作E1N⊥PF于点N，证明△AFD1≌△D1NE1AAS，得D1N＝AF，D1F＝E1N，设D12,m，则E【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为y=ax-2将点C0,103解得a=-2∴抛物线的函数表达式为y=-2令y=0得：-2解得x1=-1，∴A5,0（2）解：存在点E，使得△ADE是以D为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：记抛物线的对称轴与x轴的交点为F，则F2,0①当点E在x轴上方时，如图点D、E分别在点D1E1的位置，过点E1作

∵∠AD∴∠AD∵∠E∴∠AD∵AD1=∴△AFD∴D1N=AF∵A5,0，F∴AF=D设D12,m，则将E1m+2,m+3代入y=-2解得m=-3（舍去）或m=3∴E②当点E在x轴下方时，如图点D、E分别在点D2E2的位置，过点E2作

∵∠AD∴∠AD∵∠HD∴∠AD∵AD2=∴△AFD∴D2H=AF∵A5,0，F∴D设D22,n，则把E22-n,n-3代入y=-2解得：n=3（舍去）或n=-9∴E综上所述，E的坐标为72,9【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．2．综合与探究如图，已知直线y=-12x+2与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，B，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于

(1)求抛物线解析式；(2)当MN=2MP，t的值为(3)若点N到直线AB的距离为d，求d的最大值；(4)在y轴上是否存在点Q，使△QBN是以BN为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q【答案】(1)y=-(2)1(3)85(4)存在，Q1(0,17-【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点，然后代入二次函数求解即可；（2）根据点P(t,0)，确定点M(t,-12t+2)，N(t,-t2（3）点N到直线AB的距离为d，求d的最大值即为求△ANB面积的最大值，连接NA、NB，根据（2）中（4）分两种情况分析：当∠QNB=90°时，当∠QBN=90°时，分别利用全等三角形的判定和性质及二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：当x=0时，y=-1∴点A的坐标为(0,2)；当y=0时，0=-12x+2∴点B的坐标为(4,0)．将A(0,2)，B(4,0)代入y=-x得：c=2-解得：b=7∴这个抛物线的解析式为y=-x（2）点P(t,0)，则点M(t,-12t+2)∴MN=-t2+∵MN=2MP，∴-t解得：t=1或t=4（与点B重合，舍去），故答案为：1；（3）点N到直线AB的距离为d，求d的最大值即为求△ANB面积的最大值，连接NA、

∵点B的坐标为(4,0)．A(0,2)∴OB=4，OA=2，由（2）得MN=-t∴SΔANB∴面积最大为：8，∵AB=OA∴12×AB×d=8，解得：（4）存在，Q1(0,17-9当∠QNB=90°时，如图所示：NQ=BN，

过点N作ND⊥y轴，过点B作BC⊥x轴交DN延长线于点C，∴∠CDQ=∠BCN=90°，∠QND+∠BNC=90°，∠QND+∠DQN=90°，ND=PO=t，∴∠BNC=∠DQN，∴△DQN≌△NCB(AAS)，∴ND=BC=t，DQ=NC=BP=4-t，∴PN=BC=OD=t，∴N(t,t)，∴-t解得：t=5+∴OQ=OD-DQ=t-4-t当∠QBN=90°时，如图所示：QB=BN，

∵∠QOB=∠BPN=∠QBN=90°，∴∠QBO+∠OQB=90°，∠QBO+∠OBN=90°，∴∠OQB=∠OBN，∴△OQB≌△PBN(AAS)，∵BP=4-t，OB=4，∴OQ=BP=4-t，NP=OB=4，∴N(t,4)，∴-t解得：t=7±∴OQ=4-7+174∵点Q在x轴下方，∴Q(0,17-9综上可得：Q1(0,17-9【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，线段及面积问题，特殊三角形的问题及全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．3．如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A(1)求抛物线的函数表达式及抛物线的对称轴；(2)过点C作x轴的平行线l，点E在直线l上运动，在点E运动的过程中，试判断在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△EOP是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点P【答案】(1)y=-x2(2)在对称轴右侧的抛物线上存在点P，使得△EOP是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点P坐标为3，8或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）分类讨论，①当点P在l上方时，证明△OPK≌△PEJ(AAS)，设点P的横坐标为t(0<t<4)，列出一元二次方程即可求解；②当点P在l下方时，证明△OPK≌△PEJ，设点P的横坐标为t(t>4)，列出一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：将A-1，0，得a-b+5=025a+5b+5=0，解得a=-1∴抛物线的函数表达式为y=-x2∴抛物线的对称轴为x=-4（2）解：存在．令x=0，则y=5，∴点C的坐标为0，∵B5，0∴OB=OC=5．当点P位于l与抛物线的交点处时，显然不符合题意，可按如下情况分类讨论：①当点P在l上方时，如图1，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作EJ⊥KP交KP的延长线于点J，则∠PKO=∠EJP=90°，∵△EOP是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴OP=EP，∠OPE=90°，∴∠KPO+∠EPJ=90°，∵∠KPO+∠POK=90°，∴∠POK=∠EPJ，∴△OPK≌△PEJ(AAS)，∴PK=JE，OK=PJ，设点P的横坐标为t(0<t<4)，则JE=PK=t，OK=-t∴-t2解得t1=3，∴点P的坐标为3，8②当点P在l下方时，如图2，过点P作y轴的垂线，交y轴于点K，过点E作EJ⊥KP交KP的延长线于点J，同理可得△OPK≌△PEJ，∴PK=EJ，OK=PJ，设点P的横坐标为t(t>4)，则t+-解得t1=5，∴点P坐标为5，综上，在对称轴右侧的抛物线上存在点P，使得△EOP是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点P坐标为3，8或【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．4．已知抛物线L1过点A（-1，0(1)求该抛物线的表达式．(2)抛物线L1的对称轴与x轴交于点P，将该抛物线沿直线y=m翻折得抛物线L2，在抛物线L2第四象限的图象上是否存在一点D，使的△【答案】(1)该抛物线的解析式为y=(2)存在，抛物线L2的解析式为【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将点A（-1，0（2）将抛物线L1的解析式化为顶点式，根据轴对称的性质用含m的代数式表示翻折后抛物线L2的顶点坐标及解析式，作出等腰直角△CPD且使顶点D在第四象限，求出点D的坐标，并代入L2的解析式求出m【详解】（1）解：设抛物线L1的解析式为y=ax2+bx+c，将A（-1，得a-b+c=09a+3b+c=0c=-3，解得∴该抛物线的解析式为y=x（2）解：存在，如图，作CD⊥PC，使CD=PC，且点D在第四象限；作DE⊥y轴于点E，由y=x2-2x-3=x-12-∴抛物线L1沿直线y=m翻折后得到的抛物线L2的顶点坐标为∴抛物线L2的解析式为y=-∵∠CED=∠POC=∠PCD=90°，∴∠ECD=90°-∠PCO=∠OPC，又∵CD=PC，∴△CED≌△POC（∴CE=PO=1，∴D（∵点D在抛物线L2∴-9+6+2m+3=-4，解得：m=-2，∴抛物线L2的解析式为y=-【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、图形的轴对称以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键有两点，一是用含m的代数式表示翻折后的顶点坐标，二是正确地作出辅助线并且求出点D的坐标，难度适中，综合性比较强．5．综合与探究：如图1，已知抛物线y=12x2-x-4与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，直线BD与y(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求直线BE的函数表达式；(3)如图2，已知点M在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为-1，点P是该抛物线上位于第四象限的动点，且在直线l右侧，点Q是直线BE上的动点，试探究是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形△PMQ，若存在请直接写出点【答案】(1)A(-2,0)，B(4,0)，C(0,-4)(2)y=(3)存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形△PMQ，点P的坐标为P(2,-4)或P【分析】（1）将y=0代入y=12x2-x-4得到12x2-x-4=0（2）首先利用待定系数法求出直线AC的函数表达式为y=-2x-4，过点E作EF⊥x轴于F，证明出△BFE∽△BOD，利用相似三角形的性质求出BF=245，然后得到（3）首先求出点M的坐标，根据题意分两种情况：点Q在直线l右侧和点Q在直线l左侧，然后分别设出点P的坐标，根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求解即可．【详解】（1）由y=0，得12解，得x1=-2，∴点A，B的坐标分别为A(-2,0)，B(4,0)，由x=0，得y=-4，∴点C的坐标为C(0,-4)；（2）如图，设直线AC的函数表达式为y=kx+b，将点A(-2,0)，C(0,-4)代入，得-2k+b=0∴k=-2b=-4∴直线AC的函数表达式为y=-2x-4，过点E作EF⊥x轴于F，

∴OD∥EF，∴△BFE∽△BOD，∴BFBO∵B(4,0)，∴OB=4，∵BE=6DE，∴BEBD∴BF4∴BF=24∴OF=BF-OB=24将x=-45代入直线得y=-2×-∴E-设直线BE的函数表达式为y=mx+n，∴-4∴m=1∴直线BE的函数表达式为y=1（3）∵y=1∴抛物线对称轴为x=1，∵点M在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为-1∴M1,-1分两种情况：①当点Q在直线l右侧时，如图所示，过点P作PG⊥l于G，过点Q作QH⊥l于H，∴设Pm,∴PG=m-1，MG=-1-1∵PG⊥l，∴∠GPM+∠PMG=90°，∵△PMQ是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴PM=MQ，∠PMQ=90°，∴∠PMG+∠HMQ=90°，∴∠GPM=∠HMQ，在△PMG和△MQH中，∠PGM=∠MHQ∠GPM=∠HMQ∴△PMG≌△MQHAAS，∴HQ=MG=-12m∴Q-∵直线BE额函数表达式为y=1∴12解得m=2或m=-4（舍去），当m=2时，12∴P2,-4②当点Q在直线l左侧时，如图所示，过点P作PG⊥l于G，过点Q作QH⊥l于H，设点Pn,

∴PG=n-1，MG=-1-1同理可得△PMG≌△MQH，∴QH=GM=-12n∴Q1∵直线BE额函数表达式为y=1∴12解得n=-1+13或n=-1-当n=-1+13时，1∴P-∴综上所述，存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形△PMQ．点P的坐标为P(2,-4)，P-【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数，难度较大，解题时要理解题意，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形．6．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=4，OC=8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x

(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P(3)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点【答案】(1)y=-(2)存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似；点P的坐标是1,8或1,(3)存在，Q的坐标是1+332【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求直线BC的解析式，然后分两种情况讨论：①当∠CPM=∠MNB=90°时，则有CP∥x轴，求出P1,8；②当∠PCM=∠MNB=90°时，由PMCM（3）分两种情况讨论：点Q在y轴右侧和点Q在y轴左侧，设Qx,-x2+2x+8，过点Q作y轴的平行线交x轴于点N，过点C作CM∥x轴交QN于点M，证明△NQR≌△MCQ(AAS)，则【详解】（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A-设抛物线的解析式为y=ax4a-2b+c=016a+4b+c=0解得：a=-1b=2∴抛物线的解析式为y=-x（2）存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，理由如下：∵y=-x∴对称轴是直线x=1．设直线BC的解析式为y=kx+b，把B4,04k+b=0b=8解得：k=-2b=8∴y=-2x+8．∴M1,6∴由两点间距离公式可得：BN=3,MN=6,BM=35若以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似，则有∠BMN=∠CMP，①如图1，当∠CPM=∠MNB=90°时，则有CP∥x轴，∴P1,8

②如图2，当∠PCM=∠MNB=90°时，

∴PMCM∴PM=5∴PN=PM+MN=5∴P1,综上所述，点P的坐标是1,8或1,（3）存在，理由如下：①如图3，当点Q在y轴右侧时，设Qx,-x2+2x+8，过点Q作y轴的平行线交x轴于点N，过点C作CM∥x轴交

∵∠MQC+∠NQR=90°，∠NQR+∠NRQ=90°∴∠MQC=∠NRQ．∵∠RNQ=∠QMC=90°，C∴△NQR≌△MCQ(AAS)．∴NQ=MC，即-x解得：x1=1+∴Q的坐标是1+33②如图4，当点Q在y轴左侧时，设Qx,-x2+2x+8，过点Q作y轴的平行线交x轴于点N，过点C作CM∥x轴交

∵∠MQC+∠NQR=90°，∠NQR+∠NRQ=90°∴∠MQC=∠NRQ．∵∠RNQ=∠QMC=90°，CQ=RQ∴△NQR≌△MCQ(AAS)．∴NQ=MC，即-x解得：x1=3-∴Q的坐标是3-41综上所述，Q的坐标是1+332,【点睛】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题，属于压轴题，难度较大．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为3,0，B点坐标为-1,0，连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒

(1)求抛物线的表达式；(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)y=-(2)t=2，最小值为4(3)存在，3+【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式；（2）先求出点C0,3，则OC=3，进一步得到△OAC是等腰直角三角形，则AC=2OA=32，如图①，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，则△PAE是等腰直角三角形,由题意可知AP=2t，则AE=PE=2t2=t，即（3）连接MP、MQ，过点P作PE⊥x轴于点E，过M作MF∥y，交点EP于点F，则∠F=90°.先证明△PFM≌△QEPAAS，则MF=PE=t，PF=QE=4-2t，则EF=4-t，又OE=3-t，得到点M的坐标为3-2t，4-t【详解】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c经过点则0=-9+3b+c0=-1-b+c，解得b=2∴抛物线表达式为y=-x（2）在y=-x2+2x+3中令x=0∴C0,3∴OC=3

∵A3,0，∴OA=3，∴OA=OC，∵∠AOC=90°∴△OAC是等腰直角三角形,AC=2如图①，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，则△PAE是等腰直角三角形,由题意可知AP=2t∴AE=PE=2t2又Q-1+t,0∴AQ=3--∴S=1=1=1∵当P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，∴0≤t≤3，∵12∴当t=2时，四边形BCPQ的面积取得最小值4；（3）存在，理由如下：如图②，连接MP、MQ，过点P作PE⊥x轴于点E，过M作MF∥y，交点EP于点F，则

∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∴∠MPF+∠QPE=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，∠F=∠QEP∠PMF=∠QPEPM=PQ∴△PFM≌△QEPAAS∴MF=PE=t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴点M的坐标为3-2t，∵点M在抛物线y=-x∴4-t=-3-2t解得t1=9-∴3-2t=3-2×9-∴M点的坐标为3+【点睛】此题考查了二次函数和三角形综合题，用到了待定系数法、全等三角形的判定和性质、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，添加适当的辅助线是解决问题的关键．8．已知抛物线y=ax2+bx-6a≠0与

(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E是y轴左侧抛物线上一点，若BC恰好平分∠DBE(3)如图2，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使△PMB是以PM为斜边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有点M【答案】(1)y=(2)y=(3)存在，M12-22,-4，M【分析】（1）把已知点的坐标代入解析式，确定a，b的值即可．（2）设直线BE交y轴于点M，证明△BCD≌△BCM，确定点M的坐标，用待定系数法计算即可．（3）分点M在x轴的上方和下方两种情况，构造一线三直角全等模型，求解即可．【详解】（1）将点A-2,0，点B6,0∴4a-2b-6=036a+6b-6=0解得a=1∴y=1（2）设直线BE交y轴于点M．∵CD∥x轴，∴y=-6时，12解得x=4，∴D4,-6∴CD=4．由点B6,0、C0,-6可知，∴∠MCB=∠OBC=45°，

∵CD∥x轴，∴∠OBC=∠DCB=45°∴∠MCB=∠DCB=45°，∵BC恰好平分∠DBE，∴∠MBC=∠DBC，∵∠MBC=∠DBCBC=BC∴△BCD≌△BCM（ASA），∴CM=CD=4，∴OM=OD-CM=2，∴M0,-2设直线BE的解析式为：y=kx-2，将B6,0解得k=1∴直线BE的解析式为：y=1（3）存在点M12-22,-4，M22+22,-4，∵y=12∴抛物线的对称轴为直线x=--22×设P2,t，对称轴交x轴于点H，作MN⊥x轴于点①当点M在x轴的下方时，∵∠PBM=90°，PH⊥AB，∴∠BPH=90°-∠HBP=∠MBN，∵∠BHP=∠MNB∠BPH=∠MBN∴△PBH≌△BMNAAS∴MN=BH=OB-OH=6-2=4，BN=PH=t．∴ON=OB-BN=6-t，∴M6-t,-4∵M6-t,-4在抛物线y=∴12解得t=4+22或t=4-2∴6-t=2-22或6-t=2+2

∴M12-22②当点M在x轴的上方时，∵∠PBM=90°，PH⊥AB，∴∠BPH=90°-∠HBP=∠MBN，∵∠BHP=∠MNB∠BPH=∠MBN∴△PBH≌△BMNAAS∴MN=BH=OB-OH=6-2=4，BN=PH=t．∴ON=OB+BN=6+t，∴M6+t,4∵M6+t,4在抛物线y=∴12解得6+t=2+26或6+t=2-2

综上所述，点M的坐标为M12-22,-4，M2【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，三角形全等的判定和性质，一线三直角全等模型的应用，分类思想，解方程，熟练掌握待定系数法，一线三直角全等模型的应用是解题的关键．9．已知抛物线y=x2+bx+c

(1)求抛物线的解析式；(2)如图，过点C0,-1的直线与y轴右侧的抛物线交于M，N两点，若CN(3)设点P是抛物线上任一点，点Q在y轴上，△PBQ能否构成以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请直接写出符合条件的点P【答案】(1)y=(2)y=-(3)能，点P的坐标为P17+292,7+【分析】（1）运用待定系数法计算即可．（2）运用三角形相似的判定和性质，结合根与系数关系定理计算即可．（3）设Pm,m2-6m+5，Q0,n，又B5,0，过点P作PE⊥x【详解】（1）．∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A∴1+b+c=0解得：b=-6c=5∴抛物线的解析式为y=（2）设直线CM的解析式为y=kx-1，点M，N的横坐标分别为x1，x由y=kx-1y=得x2∴x1+过点M作MD⊥y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E，如图，

则MD∥NE，DM=x1，∴△CDM∽△CEN，∴CM∵CN=8∴CM∴x∴3∴x2=4(∴x∴k=x∴直线CM的解析式为y=-1（3）设Pm,m2-6m+5如图，过点P作PE⊥x轴于点E，作PF⊥y轴于点F，则∠PEB=∠PFQ=90°，Em,0，F∴PE=m2-6m+5，PF=m∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠BPQ=90°，PB=PQ，

∴∠QPF+∠BPF=90°，∵∠PEB=∠PFO=∠EOF=90°，∴四边形PEOF是矩形，∴∠EPF=90°，即∠BPE+∠BPF=90°，∴∠QPF=∠BPE，∴△PBE≌△PQFAAS∴PE=PF，BE=QF，∴m解得：m=7±292当m=7+292∴P当m=7-292∴P当m=5+52∴P当m=5-52∴P综上所述，符合条件的点P的坐标为P17+292,7+【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，理解坐标与图形性质，学会运用方程思想解决数学问题是解题的关键．10．如图，抛物线与x轴交于A(-4,0)、B(1,0)两点，与

(1)求该抛物线的解析式；(2)点P是直线AC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t(-4<①连接PO交AC于点D，求PDDO②连接PC、BC，若∠PCA③点Q在x轴上，是否存在点P，使得△PCQ是等腰直角三角形．若存在，求出点P【答案】(1)y=-(2)①1；②点P的坐标为(-2,3)；③存在，-2或-1-【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式；（2）①过点P作PE∥y轴，证明△PDE∽△ODC，利用相似比求解；②过点C作CF∥x轴，证明点F是PE的中点，利用坐标求解；③当∠PCQ、∠CPQ、【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A(-4,0)、∴设所求抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-1)，把点C(0,2)代入，解得a=-1∴所求抛物线的解析式为y=-1即y=-1故答案为：y=-1（2）①经过A(-4,0)、C(0,2)两点的直线AC的解析式为如图1，过点P作PE∥y轴，交AC于点E，∵∠PDE=∠ODC,∠EPD=∠COD∴△PDE∽△ODC∴PD

设点P的坐标为(t,-1则点E的坐标为（t，12∴PE=y∴PD∵-14<0∴当t=-2时，PDDO取得最大值，最大值为1②在Rt△AOC中，tan∠CAO=CO在Rt△COB中，tan∠BCO=OB∴∠CAO=∠BCO；如图2，过点C作CF∥x轴，交PE于点F．∴∠FCA=∠CAO，∵∴△COB∽△AOC∴∠OCB=∠OAC∴∠FCA=∠CAO=∠OCB∵∠PCA=2∠OCB，∴∠PCF=∠ECF=∠CAO，∴点F是PE的中点，∴y∴2=解得t1∴当∠PCA=2∠OCB时，点P的坐标为(-2,3)；

③分三种情况讨论：（Ⅰ）如图3，当∠PCQ=90°,CP=CQ时，过点P作PM⊥y轴于点M，∵∠PCM+∠QCO=90°,∠PCM+∠CPM=90°∴∠QCO=∠CPM在△PMC和△COQ中，∵∴△PMC≌△COQ，∴PM=CO=2，∴点P的横坐标为-2（Ⅱ）如图4，当∠CPQ=90°,PQ=PC时，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，同理可证：△PMC≌△PNQ，∴PM=PN，

∴-1解得t1=-1-∴点P的横坐标为-1-（Ⅲ）如图5，当∠PQC=90°,QP=QC时，过点P作PN⊥x轴于点N，同理可证：△PNQ≌△QOC，∴PN=QO,NQ=CO=2，∴PN+CO=NQ+QO=NO，∴(-1解得t1=-1-∴点P的横坐标为-1-

综上所述，△PCQ是等腰直角三角形时，点P的横坐标为：-2或-1-17【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式、构造相似三角形利用相似比求线段比的最大值、利用中点坐标求解、分情况讨论等腰直角三角形存在性问题．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、B，交y轴于点

(1)顶点D的坐标为；(2)过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，点P在抛物线上，∠PCF(3)点G是一次函数y=-x图像上一点，点Q是抛物线y=x2-2x-【答案】(1)(1,-4)；(2)P(53,-(3)(1-102,-32【分析】（1）由顶点公式求出即可；（2）先按照直线CF上下方分类，按照角度要求找出点P所在的直线，得到直线与抛物线交点为点P，利用∠ACO特点求其正切值，可设点P的坐标，结合点C坐标，表示出tan∠PCF值，再求出点P坐标；（3）先按照图中点Q的大致位置确定等腰直角三角形BGQ只有3种位置，再由等腰直角三角形构造三垂直全等，最后设长度表示出点Q、P坐标，代入函数求出点Q坐标．【详解】（1）--22×1故D(1,-4)；（2）∵∠PCF=∠ACO，∴点P存在如下图CF直线上下两种位置，∠P

∴tan∠PCF=tan∠ACO=AO由点P在抛物线上，设点P(m,m作PH⊥CF于点H，∴tan∠PCF=PH解得m=73或∴P(53,-（3）当点Q在x轴上方左侧抛物线上时，GQ<BQ，点Q不存在；当点Q在x轴上方右侧抛物线上时，GQ>BQ，点Q不存在；当点Q在x轴下方时，存在以下三种情况：当点Q在y轴左侧时，分别过点G、B作竖直线交过Q的水平线于N、M，

由等腰直角三角形BGQ得△QMB≌△GNQ，∴BM=NQ，QM=GN，设BM=NQ=m，QM=GN=n，则Q(3-n,-m)，G(3-n-m,-m+n)将点G代入y=-x得m=3得Q(3-n,-32)，代入y=x2∴Q(1-10当点Q在y轴右侧，点C下方时，分别过点G、B作水平线交过Q的竖直线于N、M，同理可得Q(3-m,-n)，G(3-m+n,-n-m)，将点G代入y=-x得m=3得Q(32,-n)，代入y=∴Q(3当点Q在y轴右侧，点C上方时，分别过点G、B作竖直线交过Q的水平线于N、M，

同理可得Q(3-n,-m)，G(3-n-m,-m+n)，将点G代入y=-x得m=3得Q(3-n,-32)，代入y=x2-2x-3综上所述点Q的坐标为(1-102,-32【点睛】本题考查二次函数于几何结合的综合问题，包含特殊角和特殊三角形．通常求解抛物线上的点使角为特殊角，先找到满足角度关系的射线，目标点为抛物线与射线交点采用联立方程求出，当角度具有特殊情况时可结合相似、三角函数、全等构造出适合求出射线的方式，有时也可利用动点所在函数直接设动点坐标，表述出长度，来计算几何特性．构造等腰直角三角形时通常采用三垂直得到点的边长关系，再通过设元表示坐标代入函数求出点坐标．12．如图，抛物线y=x2+bx+c经过A

(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点D为y轴上一点，点D关于直线BC的对称点为D'①当点D'刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点D②点P在抛物线上，连接PD，PD'，DD'，是否存在点P，使【答案】(1)y=(2)①D0,-1；②存在，点P的坐标为3,0或0,-3或4,5或52【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）①可知△OBC为等腰直角三角形，求出点D'的纵坐标为-3，代入抛物线解析式可得CD=2，求出D点坐标；②可分别以P、D、D'【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx-3经过B∴将A-1,0、B3,0分别代入y=x解得b=-2c=-3所以抛物线的解析式y=x（2）解：①当x=0时，y=x∴C0,-3∵B3,0∴OB=OC=3，∴△OBC为等腰直角三角形，∠OCB=45°，如图1，设D0,t

∵点D关于直线BC的对称点为D'，连接DD'∴由对称性可知：∠DCD'=2∠OCB=90°∴CD∴点C的纵坐标为-3当点D'在第四象限抛物线上时，将y=-3代入y=-3=x2-2x-3，解得x1 =2∴CD=CD∴t=-3+2=-1，∴D0,-1②分别以P、D、D'如图2，若以P为直角顶点，此时P与点B重合，则P3,0

如图3，以P为直角顶点，此时点P与C重合，则P0,-3

如图4以D为直角顶点，此时PC∥x轴，则P2,-3

如图5，以D为直角顶点，此时PD'∥y

如图6，以D'为直角顶点，此时PD∥x轴，则P

综上可得点P的坐标为3,0或0,-3或4,5或52,-7【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积求法，等腰直角三角形的性质等知识，综合性较强，有一定难度．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果13．如图①，抛物线y＝ax2+bx过A4,0，B1,3两点，过点B作直线BH⊥(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BH上是否存在点E，使△PBA≌△(3)在（2）的条件下，如图②，若点M在直线BH上，点N在x轴上，当以点P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点M的坐标．【答案】(1)y=-x(2)存在点E使△PBA≌△EBA，n＝(3)M点坐标为1,2或1，-2或1【分析】（1）将A4,0，B（2）根据题意，可得BH=AH=3，故∠HBA=∠HAB=45°，再根据△PBA≌△EBA，可得∠PBA=∠EBA=45°，故PB∥HA，即可解出n的值；（3）分别讨论以点P，M，N为直角顶点的情况，按照题意画出图形，构造全等三角形，即可解答．【详解】（1）解：将将A4,0，B1,3分别代入函数解析式，可得解得a=-1b=4∴抛物线的解析式为y=-x（2）解：∵BH⊥x轴，B∴H1,0，BH=3，∵A4,0∴BH=AH=3，∴∠HBA=∠HAB=45°，根据△PBA≌△EBA，可得：∠EBA=∠PBA=45°，∴PB∥AH，∴P点的纵坐标为3，当y=3时，可得3=-x解得x1=1，∴P3,3即n＝（3）①当以N为直角顶点时，可分两种情况，即N在直线BH的左侧或右侧，当N在直线BH的左侧时，如图所示：根据题意PN=MN，∠PNM=90°，如图过N点作直线ND垂直于x轴，过点P作PD垂直ND于点D，过点M作ME垂直ND于点E，∵PD⊥DE，ME⊥DE，∴∠PDN=∠NEM=90°，∵∠PNM=90°，∴∠PND+∠MNE=90°，∵∠PND+∠NPD=90°，∴∠NPD=∠MNE，在△PDN与△NEM中，∠NPD=∠MNE∠PDN=∠NEM∴△PDN≌△NEMAAS∴PD=NE，DN=EM，设Na,0，M即PD=3-a，NE=-b，DN=3，EM=1-a，可列方程3-a=-b3=1-a解得a=-2∴M1,-5当N在直线BH的右侧时，如图所示：根据上述方法，同理可得△PDN≌△NEM，再同理列方程，可得M②当以P为顶点时，如图所示，根据①中方法，本应该得到△PBM≌△NQP，但PB=2，NQ=3，与前提矛盾，故不成立．③当以M为顶点时，可分两种情况，即N在直线BH的左侧或右侧，当N在直线BH的左侧时，如图所示：同①中方法，可得M1,-2当N在直线BH的右侧时，如图所示：同①中方法，可得M1,2综上所述，M点坐标为1,2或1，-2或1【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，根据题目要求画出图形、正确分类是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为3,0，B点坐标为-1,0，连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒(1)求b、c的值．(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)b=2(2)t=2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4(3)存在，3+【分析】（1）待定系数法进行求解即可；（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为H，利用S四边形（3）过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP，证明△PFM≌△QEPAAS，进而求出点M【详解】（1）解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A3,0，则0=-9+3b+c0=-1-b+c解得：b=2c=3（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x∴△OAC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，由点P的运动可知：AP=2过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图，∴AH=PH=2t2又Q-∴S=1==1∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC=3∴0≤t≤3，∴当t=2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；（3）存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP．∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ,∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，∠F=∠QEP∠PMF=∠QPE∴△PFM≌△QEPAAS∴MF=PE=t,PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴点M的坐标为3-2t,4-t，∵点M在抛物线y=-x∴4-t=-3-2t2解得：t=9-178∴M点的坐标为3+17【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想进行求解，是解题的关键．15．如图①，已知抛物线L:y=x2+bx+c的图象经过点A0,3，B1,0．过点A作AC(1)求抛物线的关系式并写出点E的坐标；(2)若动点P在x轴下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出此时P(3)若将抛物线向上平移h个单位，且其顶点始终落在△OAE的内部或边上，写出h(4)如图②，F是抛物线的对称轴上l的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P【答案】(1)y=x2(2)P的横坐标为52(3)3≤h≤(4)存在，点P的坐标是：5-52,1-52【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；（2）过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P(m，m2-4m+3)，根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|=|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线L：y=x2+bx+c的图象经过点A(0,3)∴1+b+c=0c=3解得b=-4c=3∴抛物线的解析式为：y=x∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E(3,3)，（2）如图1，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P(m，设直线OE的解析式为y=kx，把点E(3，3)代入得，3=3k，解得k=1，∴直线OE的解析式为：y=x，∴G(m，m)，∴PG=m-(m∴S===-32=-3∵-32＜∴当m=52时，∴P的横坐标为5（3）由y=x2-4x+3=(x-2)2-1，得抛物线抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F(2，-1+设直线x=2交OE于点M，交AE于点N，则N(2，3)，如图2，∵直线OE的解析式为：y=x，∴M(2，2)，∵点F在△OAE内(包括△OAE的边界)，∴2≤-1+h≤解得3≤h≤（4）设P(m，①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∴∠OMP=∠PNF=90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP=PF，∠OPF=90°，∴∠OPM+∠NPF=∠PFN+∠NPF=90°，∴∠OPM=∠PFN，∴△OMP≌△PNF(AAS)，∴OM=PN，∵P(m，则-m解得：m=5+52∵m=5+52∴m=5-此时m2-4m+3=∴P的坐标为5-5②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2-m=m解得：m1=3+52或∵3+52∴m=3-5此时m2-4m+3=∴P的坐标