福建省泉州市晋江市2025届高二数学第一学期期末监测试题含解析

福建省泉州市晋江市2025届高二数学第一学期期末监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线与曲线相切于点,则()A. B.C. D.2．将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（）A. B.C. D.3．抛物线的准线方程是A. B.C. D.4．设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（）A. B.C. D.5．在数列中，，则的值为（）A. B.C. D.以上都不对6．抛物线的焦点坐标是（）A. B.C. D.7．已知定义在上的函数的导函数为，且恒有，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.8．已知数列的前项和满足，记数列的前项和为，.则使得的值为（）A. B.C. D.9．在中，已知角A，B，C所对边为a，b，c，，，，则（）A. B.C. D.110．数列满足，，，则数列的前8项和为（）A.25 B.26C.27 D.2811．命题“”的否定是（）A. B.C. D.12．已知椭圆与直线交于A，B两点，点为线段的中点，则a的值为（）A. B.3C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．展开式中的系数是___________.14．各项均为正数的等比数列的前n项和为，满足，，则___________.15．若是直线外一点，为线段的中点，，，则______16．曲线围成的图形的面积为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在①，②，③，，成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列中，公差不等于的等差数列满足_________，求数列的前项和.18．（12分）已知抛物线C：经过点（1，-1）.（1）求抛物线C的方程及其焦点坐标；（2）过抛物线C上一动点P作圆M：的一条切线，切点为A，求切线长|PA|的最小值.19．（12分）已知复数，是实数.（1）求复数z；（2）若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.20．（12分）已知数列的前n项和为，满足，（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，为数列的前n项和，①求；②若不等式对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围21．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中.问题：等差数列的公差为，满足，________?（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和得到最小值时的值.22．（10分）已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）经过点的直线与椭圆交于不同的两点，，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】直线与曲线相切于点,可得求得的导数,可得,即可求得答案.【详解】直线与曲线相切于点将代入可得:解得:由,解得:.可得,根据在上,解得:故故选:A.【点睛】本题考查了根据切点求参数问题,解题关键是掌握函数切线的定义和导数的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.2、D【解析】设，，则折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，故求出AB中点坐标，折痕与直线AB垂直，进而求出斜率，用点斜式求出折痕所在直线方程.【详解】，，所以与的中点坐标为，又，所以折痕所在直线的斜率为1，故折痕所在直线是，即.故选：D3、C【解析】根据抛物线的概念，可得准线方程为4、A【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，利用椭圆和双曲线的定义可得出，再利用勾股定理可求得结果.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，由椭圆和双曲线的定义可得，所以，，设，因为，则，由勾股定理得，即，整理得，故.故选：A.5、C【解析】由数列的递推公式可先求数列的前几项，从而发现数列的周期性的特点，进而可求.【详解】解：，数列是以3为周期的数列故选：【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的项，解题的关键是由递推关系发现数列的周期性的特点，属于基础题.6、C【解析】化为标准方程，利用焦点坐标公式求解.【详解】抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以，所以抛物线的焦点坐标为.故选：C7、D【解析】构造函数，用导数判断函数单调性，即可求解.【详解】根据题意，令，其中，则，∵，∴，∴在上为单调递减函数，∴，即，，则错误；，即，则错误；，即，则错误；，即，则正确；故选：.8、B【解析】由，求得，得到，结合裂项法求和，即可求解.【详解】数列的前项和满足，当时，；当时，，当时，适合上式，所以，则，所以.故选：B.9、B【解析】利用正弦定理求解.【详解】在中，由正弦定理得，解得，故选：B.10、C【解析】根据通项公式及求出，从而求出前8项和.【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则数列的前8项和为.故选：C11、C【解析】特称命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定即可.【详解】命题“”的否定是“”.故选：C12、A【解析】先联立直线和椭圆的方程，结合中点公式及点可求a的值.【详解】设，联立，得，，因为点为线段的中点，所以，即，解得，因为，所以.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据二项展开式的通项公式，可知展开式中含的项，以及展开式中含的项，再根据组合数的运算即可求出结果.【详解】解：由题意可得，展开式中含的项为，而展开式中含的项为，所以的系数为.故答案为：.14、【解析】利用等比数列的通项公式和前项和公式，即可得到答案.【详解】由题意各项均为正数的等比数列得：，故答案为：15、【解析】根据题意得到，进而得到，求得的值，即可求解.【详解】因为为线段的中点，所以，所以，又因为，所以，所以故答案为：.16、##【解析】曲线围成图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.当，时，曲线可化为：，表示的图形为一个半圆，围成的面积为，故曲线围成的图形的面积为.故答案：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、详见解析【解析】根据已知求出的通项公式.当①②时，设数列公差为，利用赋值法得到与的关系式，列方程求出与，求出，写出的通项公式，可得数列的通项公式，利用错位相减法求和即可；选②③时，设数列公差为，根据题意得到与的关系式，解出与，写出的通项公式，可得数列的通项公式，利用错位相减法求和即可；选①③时，设数列公差为，根据题意得到与的关系式，发现无解，则等差数列不存在，故不合题意.【详解】解：因为，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，选①②时，设数列公差为，因为，所以，因为，所以时，，解得，，所以，所以.所以.（i）所以（ii）（i）（ii），得：所以.选②③时，设数列公差为，因为，所以，即，因为，，成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以，从而，所以，所以，（i）所以（ii）（i）（ii），得：，所以.选①③时，设数列公差为，因为，所以时，，所以.又因为，，成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以，从而无解，所以等差数列不存在，故不合题意.【点睛】本题考查了等差（比）数列的通项公式，考查了错位相减法在数列求和中的应用，考查了转化能力与方程思想，属于中档题.18、（1），焦点坐标为；（2）【解析】（1）将点代入抛物线方程求解出的值，则抛物线方程和焦点坐标可知；（2）设出点坐标，根据切线垂直于半径，根据点到点距离公式表示出，然后结合二次函数的性质求解出的最小值.【小问1详解】解：因为抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程为：，焦点坐标为；【小问2详解】解：设，因为为圆的切线，所以，，所以，所以当时，四边形有最小值且最小值为.19、（1）（2）【解析】（1）先将代入化简，再由其虚部为零可求出的值，从而可求出复数，（2）先对化简，再由题意可得从而可求得结果【小问1详解】因为，所以，因为是实数，所以，解得.故.【小问2详解】因为，所以.因为复数所表示的点在第二象限，所以解得，即实数m的取值范围是.20、（1）证明见解析，（2）①；②【解析】（1）由得到，即可得到，从而得证，即可求出的通项公式，从而得到的通项公式；（2）①由（1）可得，再利用错位相减法求和即可；②利用作差法证明的单调性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；【小问1详解】证明：由，，当时，可得，解得，当时，，又，两式相减得，所以，所以，即，则数列是首项为，公比为的等比数列；所以，所以【小问2详解】解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以整理得②由①知，所以，即单调递增，所以，因为不等式对任意的正整数n恒成立，所以，即，解得或，即21、（1）选择条件见解析，（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得到，选①，联立求解；选②，联立求解；选③，联立求解；（2）由（1）知，令求解.【小问1详解】解：设等差数列的公差为，得，选①，得，故，∴.选②，得，得，故，∴.选③，，得，故，∴；【小问2详解】由（1）知，，，∴数列是递增等差数列.由，得，∴时，，时，，∴时，得到最小值.22、（1）；（2）或.【解析】（1）由离心率公式、将点代入椭圆方程得出椭圆的方程；（2）联立椭圆和直线的方程，由判别式得出的范围，再由韦达定理结合三角形面积公式得出，求出的值得出直线的方程.