专题09利用导数研究不等式能成立问题(原卷版+解析)

专题09利用导数研究不等式能成立问题一、单选题1．已知存在使得不等式在上成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知函数，若存在，使得，则实数a的取值范围为：（）A． B． C． D．3．已知函数在R上单调递增，当m取得最大值时，若存在使得成立，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．4．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．6．函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值范围是（）A． B．C． D．7．已知，若，使得成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知函数，，若存在，使成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、多选题9．设函数，若存在唯一的整数，使得，则满足题意的的取值范围可以是（）A． B． C． D．10．已知函数，，若，，不等式成立，则的可能值为（）A．4 B．3 C．2 D．111．已知函数，，若对任意，总存在，使，则实数的值可以是（）A． B． C．1 D．212．已知函数，则以下结论正确的是（）A．函数的单调减区间是B．函数有且只有1个零点C．存在正实数，使得成立D．对任意两个正实数，，且，若则三、填空题13．已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.14．函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是______.15．已知函数，若存在成立，则实数a的取值范围是________．16．若存在两个正实数x，y，使等式成立，则实数m的取值范围___________．四、解答题17．已知函数在点处的切线为．（1）求函数的解析式：（2）若存在实数m，使得在x时成立，求m的取值范围．18．已知函数在处取得极值，其中为常数.（1）试确定的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式有解，求的取值范围.19．已知函数.（1）若，求曲线在处切线的方程；（2）求的单调区间；（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.20．已知函数在点处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）若存在，满足，求实数的取值范围.21．已知函数.（1）当时，求函数在区间上的值域；（2）当时，若关于的不等式恒成立，求正数的取值范围.22．已知函数.（1）若，当时，讨论的单调性；（2）若，，且当时，不等式在区间上有解，求实数a的取值范围专题09利用导数研究不等式能成立问题一、单选题1．已知存在使得不等式在上成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】当，等价于，所以设，则，时，，递增，所以，即，所以，所以，所以.故选：A．2．已知函数，若存在，使得，则实数a的取值范围为：（）A． B． C． D．【解析】由题意可得在上能成立，所以在上能成立，令，则，令，则，所以在上单调递减，且，即，因此在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，故选：B.3．已知函数在R上单调递增，当m取得最大值时，若存在使得成立，则实数k的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】因为函数在R上单调递增，所以，即的最大值为，在上，，若存在使得成立，则当时，，令，，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，当时，，，则，易知当时，，则在上单调递减，，综上所述，．故选：A4．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】由，得，又关于的不等式在上有解，所以在上有解，即，令，，则，设，，则，即在上单调递增，则，于是有，从而得在上单调递增，因此，，则，所以的取值范围是.故选：D5．已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】由题意，、关于轴对称，∴与在上有交点，则在有解，令，则，，∴在上递增，而，∴在上，递减；在上，递增；∴，故只需即可，得.故选：B6．函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值范围是（）A． B．C． D．【解析】已知函数，则有且只有一个整数解.令，则，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值.设，则恒过点.在同一坐标系中分别作出和的简图，因为，所以，所以，依题意得即，解得，又，所以.故选：C.7．已知，若，使得成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】由，得，记，，当时，，单调递减；当时，，单调递增．（1），，记，，，，，时，，单调递减；时，，单调递增．（1），，故实数的取值范围为，．故选：A．8．已知函数，，若存在，使成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】因函数，，则，令，，则，令，，，即函数在单调递增，而，，即存在，使得，当时，，当时，，即有在上递增，在上递减，于是得时，取得最大值，即，由得，显然时，有，必有，反之，若，则有，假定不成立，当有时，由知，，，即与矛盾，当有时，，即与矛盾，综合得假定不成立是错的，从而有成立，也必有成立，于是得，即，因存在，使成立，则有，所以实数的取值范围为.故选：A二、多选题9．设函数，若存在唯一的整数，使得，则满足题意的的取值范围可以是（）A． B． C． D．【解析】由题意存在唯一的整数，使得即，令，则，易知在单调递增，在单调递减，作出与的图象，由题可知这个可能为0或2，当为0时，如图一所示，则只需且同时成立，解得；当为2时，如图二所示，且同时成立，解得，故选：BD.10．已知函数，，若，，不等式成立，则的可能值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解析】，若，则，则在单调递增，；若，则在单减，在单增，，∴.，则在单调递增，在单调递减，，∴.∵，，不等式成立，∴若，，成立；若，，即，令，∴，∴h（x）在（1，+∞）单增.而，，，.故选：BCD.11．已知函数，，若对任意，总存在，使，则实数的值可以是（）A． B． C．1 D．2【解析】，对任意，，则在上单调递增，所以在上的值域是，由题意可得是的值域的子集，当时的值域是，符合题意；当时，函数值域为，符合题意；当时，函数，要符合题意，则或，解得或，综上可得实数的取值范围是或.故选：ACD12．已知函数，则以下结论正确的是（）A．函数的单调减区间是B．函数有且只有1个零点C．存在正实数，使得成立D．对任意两个正实数，，且，若则【解析】A选项，因为，所以，由得，；由得，，因此函数在上单调递减，在上单调递增；故A正确；B选项，令，则显然恒成立；所以函数在上单调递减；又，，所以函数有且仅有一个零点；故B正确；C选项，若，可得，令，则，令，则，由得；由得；所以函数在上单调递增，在上单调递减；因此；所以恒成立，即函数在上单调递减，所以函数无最小值；因此，不存在正实数，使得成立；故C错；D选项，令，则，则；令，则，所以在上单调递减，则，即，令，由，得，则，当时，显然成立，所以对任意两个正实数，，且，若则.故D正确.故选：ABD三、填空题13．已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.【解析】由题可知：，因为函数在上存在极值点，所以有解所以，则或当或时，函数与轴只有一个交点，即所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去所以或，即或14．函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是______.【解析】由，所以，令，得或，又，当时，，当时，，所以函数在单调递减，在单调递增，所以，又在单调递增，所以，根据题意：若，，使得，即，所以，可得得取值范围为15．已知函数，若存在成立，则实数a的取值范围是________．【解析】由题意，函数，可得，设，可得，函数在上为单调递增函数，又由，所以函数在上只有一个零点，设为，即，即，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，其中最小值为，要使得存在成立，所以，即实数a的取值范围是.16．若存在两个正实数x，y，使等式成立，则实数m的取值范围___________．【解析】因为，所以，因此，令且，而函数，，令，则恒成立，所以单调递减，又因为，所以时，，即，所以在上单调递增，所以时，，即，所以在上单调递减，又因为，所以，故，即，故答案为：.四、解答题17．已知函数在点处的切线为．（1）求函数的解析式：（2）若存在实数m，使得在x时成立，求m的取值范围．【解析】（1）由题意知：的定义域为，∵∴，解得，故．（2）令，，∴，故在时，单调递增，．要存在实数m，使得在时成立，只要即可，解得：．18．已知函数在处取得极值，其中为常数.（1）试确定的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式有解，求的取值范围.【解析】（1）由题意知，因此，从而．由题意求导得，因此，解得；（2）由（1）知．令，解得．1＋0－极大值因此的单调递增区间为，而的单调递减区间为；（3）由（2）知，在处取得极大值，此极大值也是最最值．要使（）有解，只需．即，从而．解得．所以的取值范围为.19．已知函数.（1）若，求曲线在处切线的方程；（2）求的单调区间；（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.【解析】（1）由已知，，曲线在处切线方程为，即.（2）.①当时，由于，故，所以，的单调递增区间为，无单调递减区间.②当时，由，得.在区间上，，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）由已知，转化为，由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.)当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，，所以，解得.20．已知函数在点处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）若存在，满足，求实数的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为，∵，∴.∴，又,∴所求切线方程为，即.又函数在点处的切线方程为，∴.所以实数的值为.（2）由题意得，所以问题转化为在上有解.令，，则.令，则当时，有.所以函数在区间上单调递减，所以.所以，所以在区间上单调递减.所以.所以实数的取值范围为.21．已知函数.（1）当时，求函数在区间上的值域；（2）当时，若关于的不等式恒成立，求正数的取值范围.【解析】（1）当时，，有，令，有，令，可得，故函数的增区间为，减区间为，有，可得函数单调递增，又由，，故函数在区间上的值域为，（2）当时，恒成立，令，有，当时，，可得此时函数单调递增，又由，故有；当时，令，可得函数单调递增，又由，，可得存在，使得，可得函数的减区间为，又由，有，不合题意，由上知正数的取值范围为.22．已