高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题9.5抛物线专题练习（学生版+解析）

专题9.5抛物线练基础练基础1.（2020·全国高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A．2 B．3 C．6 D．92．（2020·北京高三二模）焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x3.（全国高考真题）设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则（）A． B． C． D．4．（2020·全国高考真题（文））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）A． B． C． D．5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线的准线为圆的一条切线，则抛物线的方程为（）A. B. C. D.6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．7.（2019·山东高三月考（文））直线与抛物线相交于，两点，当时，则弦中点到轴距离的最小值为______.8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且直线AB的倾斜角为，则线段AB的长是____，焦点F到A，B两点的距离之积为_________.9．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点到焦点的距离为，则的值为__________；抛物线方程为__________.10.（2019·广东高三月考（理））已知为抛物线的焦点，直线与相交于两点.若，求的值；点，若，求直线的方程.练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（）A． B． C． D．2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（）A． B．C． D．4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线和圆，直线经过的焦点，自上而下依次交和于A，B，C，D四点，则的值为（）A． B． C．1 D．25．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（）A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为C． D．点P到抛物线的焦点的距离为46．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（）A．当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是B．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x-y=0，则双曲线的标准方程为C．抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程D．已知双曲线，其离心率，则m的取值范围(-12，0)7．（2021·全国高二课时练习）已知点为抛物线上一点，若点到两定点，的距离之和最小，则点的坐标为______．8．（2021·全国高二课时练习）抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为______.9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线：的焦点坐标是________；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则________.10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线：的焦点为，抛物线过点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程与其准线的方程；（Ⅱ）过点作直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线的准线上.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（）A．1 B．2 C． D．42．（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．33．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）．A．经过点 B．经过点C．平行于直线 D．垂直于直线4.（2021·全国高考真题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.5．（2020·山东海南省高考真题）斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．6．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．专题9.5抛物线练基础练基础1.（2020·全国高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A．x2＝4y B．y2＝4x C．x2＝8y D．y2＝8x【答案】D【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设其标准方程为，又由焦点到准线的距离为4，即p＝4，故要求抛物线的标准方程为y2＝8x，故选：D.3.（全国高考真题）设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由抛物线的性质可得，故选D.4．（2020·全国高考真题（文））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线的准线为圆的一条切线，则抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵抛物线的准线方程为，垂直于x轴．而圆垂直于x轴的一条切线为，则，即．故抛物线的方程为．故选：C．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线与抛物线相交于，两点，当时，则弦中点到轴距离的最小值为______.【答案】【解析】由题意，抛物线的焦点坐标为（0，），根据抛物线的定义如图，所求d=故答案为：．8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且直线AB的倾斜角为，则线段AB的长是____，焦点F到A，B两点的距离之积为_________.【答案】88【分析】由题意可得直线AB的方程为，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案【详解】解：由题意得，则直线AB的方程为，设，由，得，所以，所以，因为，所以，故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点到焦点的距离为，则的值为__________；抛物线方程为__________.【答案】答案见解析答案见解析【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得的值，根据点在抛物线上可得的值.【详解】根据点在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能，当抛物线开口向下时，设抛物线方程为（），此时准线方程为，由抛物线定义知，解得.所以抛物线方程为，这时将代入方程得.当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为（），从知准线方程为，由题意知，解此方程组得，，，，综合（1）、（2）得，；，；，；，；，.故答案为：，，，，；，，，，.10.（2019·广东高三月考（理））已知为抛物线的焦点，直线与相交于两点.若，求的值；点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，可得，设，联立方程组，整理得，则，，又由.（2）由题意，知，，，由，可得又，，则，整理得，解得，所以直线的方程为.练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设点，取，可得，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值.【详解】设点，其中，则，，取，则，可得，因为，可得，解得，则，因此，.故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设直线与轴相交于点，与直线相交于点，，设，因为，所以，所以，解得：，设，由焦半径公式得：，所以，，所以，所以点到直线的距离为.3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】过点作于，因为，由抛物线的定义得，所以在中，，所以，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线和圆，直线经过的焦点，自上而下依次交和于A，B，C，D四点，则的值为（）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】因为抛物线的焦点为，又直线经过的焦点，设直线，由得，设，则由题意可得：，同理，所以.故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（）A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为C． D．点P到抛物线的焦点的距离为4【答案】ACD【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A、B、C的正误，根据所得抛物线方程求，即知D的正误.【详解】双曲线的离心率为，故A正确；双曲线的渐近线为，故B错误；由有相同焦点，即，即，故C正确；抛物线焦点为，点在上，则，故或，所以P到的焦点的距离为4，故D正确．故选：ACD．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（）A．当a为任意实数时，直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是B．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x-y=0，则双曲线的标准方程为C．抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程D．已知双曲线，其离心率，则m的取值范围(-12，0)【答案】ACD【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A；根据渐近线方程与焦点坐标求出即可判断B；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C；利用双曲线离心率公式即可判断D．【详解】对A选项，直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点为，则过点且焦点在y轴上的抛物线的标准方程设为，将点代入可得，所以，故A正确；对B选项，知，又，解得，所以双曲线的标准方程为，故B错；对C选项，得，所以准线方程，正确；对D选项，化双曲线方程为，所以，解得，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点为抛物线上一点，若点到两定点，的距离之和最小，则点的坐标为______．【答案】【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得，易知当，，三点共线时取得最小值且为，进而可得结果.【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义，知点到焦点的距离与点到准线的距离相等，即，所以，易知当，，三点共线时，取得最小值，所以，此时点的坐标为．故答案为：8．（2021·全国高二课时练习）抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为______.【答案】【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最大值．【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点.由抛物线的定义，知，.由余弦定理得.又，∴，当且仅当时，等号成立，∴，∴，即的最大值为.故答案为：．9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线：的焦点坐标是________；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则________.【答案】9【解析】抛物线：的焦点．

过作准线交准线于，过作准线交准线于，过作准线交准线于，

则由抛物线的定义可得．

再根据为线段的中点，，∴，

故答案为：焦点坐标是，．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线：的焦点为，抛物线过点.（Ⅰ）求抛物线的标准方程与其准线的方程；（Ⅱ）过点作直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线的准线上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为，准线的方程为；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由，得，所以抛物线的标准方程为，准线的方程为.（Ⅱ）根据题意直线的斜率一定存在，又焦点，设过点的直线方程为，联立，得，.设，，则，.∴.由得，，过，的抛物线的切线方程分别为，即，两式相加，得，化简，得，即，所以，两条切线交于点，该点显然在抛物线的准线：上.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.【详解】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）．A．经过点 B．经过点C．平行于直线 D．垂直于直线【答案】B【解析】如图