一次函数二（江苏专用）初中数学

第二步大题得高分

考点16一次函数（2）

真题回顾

1.（2020•湖南衡阳市•中考真题）如图1,平面直角坐标系xQy中，等腰A4BC的底边

在x轴上，BC=8,顶点A在y的正半轴上，04=2,一动点E从（3,0）出发，以每

秒1个单位的速度沿CB向左运动，到达。8的中点停止.另一动点尸从点。出发，以相

同的速度沿CB向左运动，到达点。停止.已知点E、尸同时出发，以EF为边作正方形

EFGH,使正方形EFGH和AABC在的同根心设运动的时间为f秒（r20）.

图1图2

（1）当点”落在AC边上时，求f的值；

91

（2）设正方形EFG〃与A48c重叠面积为S,请问是存在f值，使得S==?若存在,

36

求出，值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2,取AC的中点D,连结。£>,当点E、尸开始运动时，点M从点。出发,

以每秒2石个单位的速度沿。C-C。-。。运动，到达点。停止运动.请问在点E

的整个运动过程中，点M可能在正方形EFGH内（含边界）吗？如果可能，求出点〃在

正方形EFG”内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由.

1

143445

【答案】(1)t=l；(2)存在，t=—，理由见解析；(3)可能，-4/4一或一一或

35533

3W/W5理由见解析

【分析】

(1)用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入求解即

可；

(2)根据已知，当点F运动到点0停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，

91

即不存在t,使重叠面积为S=三，故t>4,用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点H

36

落在BC边上时的t值，求出此时重叠面积为《〈线，进一步求出重叠面积关于t的表达

936

式，代入解t的方程即可解得t值；

(3)由己知求得点D(2,1),AC=2有，OD=OC=OA=J^，结合图形分情况讨论即可得

出符合条件的时长.

【详解】

(1)由题意，A(0,2),B(-4,0),C(4,0),

设直线AC的函数解析式为y=kx+b,

将点A、C坐标代入，得:

'4k+0=0k=--

〈，c，解得:

b=2

，直线AC的函数解析式为y=-;x+2,

当点“落在AC边上时，点E(3-t,0),点H(3-t,1),

将点H代入y=—+2,得：

2

l=-1(3-r)+2,解得：t=l；

1491

(2)存在，t=—,使得5=。.

336

根据已知，当点F运动到点0停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即

91

不存在t,使重叠面积为S=*,故t>4,

36

设直线AB的函数解析式为y=mx+n,

将点A、B坐标代入，得：

1

-4m+n=0m=­

c，解得:《2,

n=2

n=2

直线AC的函数解析式为丁=3X+2,

当t>4时，点E(3-t,0)点H(3-t,t-3),G(0,t-3),

当点H落在AB边上时，将点H代入y=gx+2,得：

t-3=^1-(3-t)+2,解得：/=1一3；

23

此时重叠的面积为3)2=4—3)2等，

.1691.13

・—<—,・・—<t<5,

9363

如图1,设GH交AB于S,EH交ABfT,

将丫=卜3代入y=g无+2得：f—3=gx+2,

解得：x=2t-10,

.•.点S(2t-10,t-3),

3

将x=3-t代入y=gx+2得：y=g(3_，)+2=g(7—Z),

・••点T(3—5(7—，))，

1/r、

/.AG=5-t,SG=10-2t,BE=7-t,ET=-(7-r),

11

5=/9=Z(7-?)29,

1?

S.G:产GDSG=(5T)2

IS27133

22

所以重叠面积s=SMOB-=4--(7-z)-(5-O=--r+—r--—,

3

(3)可能，jwtwi或t=4.

•.•点D为AC的中点,且OA=2,OC=4,

.•.点D(2,1),AC=275>OD=OC=OA=6

易知M点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；

当0<t<g•时，M在线段OD上，H未到达D点，所以M与正方形不相遇;

4

1ii3

当一<t<l时，一+---i-(1+4)=一秒，

2225

3134

；.，=彳时M与正方形相遇，经过1+(1+4)=§秒后，M点不在正方行内部，则1K，<二；

当t=l时，由(1)知，点F运动到原E点处，M点到达C处；

41

当lWtW2时，当t=l+l+(4-1)=三秒时，点M追上G点，经过1+(4-1)=一秒，点

33

45

“都在正方形EFGH内(含边界)，-</<-

33

当t=2时，点M运动返回到点0处停止运动，

当t=3时，点E运动返回到点0处，当t=4时，点F运动返回到点0处，

当34/W5时，点”都在正方形石尸6”内(含边界)，

3445

综上，当一4/4—或一4t«—或34145时，点M可能在正方形EFG”内(含边界).

5533

图2

【点睛】

本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三

角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相

关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和

计算.

5

2.(2020•北京中考真题)小云在学习过程中遇到一个函数

1,

y^-\x\(x2-x+\)(x>-2).下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

6

(1)当—2Kx<0时，对于函数乂=|幻，即％=一%，当—2Wx<0时，y随x的增大

而，且X>0；对于函数必=/一1+1，当—2Wx<0时，M随x的增大而,

且以〉o；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数了,当-2<x<o时，y随x的增

大而.

(2)当XN0时，对于函数y,当x20时，y与X的几组对应值如下表:

5_

X01223••・

~222

1£1957_

y01,..

616482

综合上表，进一步探究发现，当xNO时，)'随X的增大而增大.在平面直角坐标系X。)，中,

画出当xzo时的函数y的图象.

(3)过点(0,m)(机>0)作平行于X轴的直线/,结合(1)(2)的分析，解决问题：若

直线/与函数y=2IxI(/—x+1)(%>-2)的图象有两个交点，则机的最大值是

6

7

【答案】(1)减小，减小，减小；(2)见解析；(3)—

6

【分析】

（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；

（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；

（3）根据函数图像和性质，当x=-2时，函数有最大值，代入计算即可得到答案.

【详解】

解：（1）根据题意，在函数y=-x中，

V/:=—1<0,

・•・函数y=一%在一2Kx<0中，*随x的增大而减小；

21/1、23

*/v=x-x+1=（x—）~+一,

2924

，对称轴为：尢=1，

，%=£-x+l在一2Kx<0中，％随X的增大而减小；

I,

综合上述，y=—X+D在一24%<0中，了随》的增大而减小；

6

故答案为：减小，减小，减小；

（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：

（3）由（2）可知，当X20时，）,随工的增大而增大，无最大值;

7

由（1）可知y=,|x|（f-x+1）在一2«x<0中，y随x的增大而减小；

6

・••在-2〈x<0中，有

7

当工二-2时，y=一,

3

7

・・・m的最大值为1；

_7

故答案为：—,.

3

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练学

握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值.

模拟预测

3.（2021•陕西西安市•西北工业大学附属中学九年级其他模拟）在“新冠病毒”防控期

间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同

一商品的进价相同，具体情况如下表所示：

购进数量（件）

项目购进所需费用（元）

酒精消毒液测温枪

第一次30408300

第二次40306400

（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售.为满足市场需求，

需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销

售完上述1000件商品获得的最大利润.

8

【答案】（1）酒精消毒液的进价为10元，测温枪的进价为200元;

（2）该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为16000元.

【分析】

（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是x，y,根据第一次购买30件酒精消毒液和

40件测温枪的总费用为8300可以列出30x+40y=8300,根据第二次购买40件酒精消毒

液和30件测温枪的总费用为6400可以列出40x+30y=6400,联立这两个方程即可求解;

（2）设购进酒精消毒液。件，则购进测温枪（1000-件，销售完这1000件商品获得的

利润为W，根据酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售，可以得到酒精

消毒液每件的利润为10元，测温枪每件的利润为40元，由此可以求出利润的表达式；同

时结合酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍列出不等式「24（1000-a）,即可求出

a的取值范围，从而求出最大利润；

【详解】

（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是1元，y元

30^+40^=8300

由题意可得:

40x+30y=6400

x=10

解得:

y=200

酒精消毒液的进价为10元，测温枪的进价为200元

（2）设购进酒精消毒液a件，则购进测温枪（1000—件，销售完这1000件商品获得的

利润为W

由题意可得：W=（20-10）a+（240-200）（1000-a）=40000-30a

•.•酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍

9

/.a>4(1000-o)

解得：a>80()

•••利润W是关于。的一次函数，同时一30<0

W随着。的增大而减小

当a=800时，W有最大值为16000

该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为16000元

【点睛】

本题主要考查二元一次方程组的实际应用，同时结合一次函数的性质求最值，充分理解题意

列出方程组，以及利润的表达式是求解本题的关键.

4.(2021•浙江杭州市•九年级一模)随着生活水平的提高，人们对饮用水品质的要求越

来越高，某公司根据市场需求代理A,B两种型号的净水器，其中B型净水器每台的进价为

2000元，B型净水器每台的进价为1800元，该公司计划购进A,B两种型号的净水器共

50台进行试销，设购进A型净水器x台，购进这批净水器的总费用为y元.

(1)求y关于x的函数关系式；

(2)已知购进这批净水器的总费用不超过98000元,试销时A型净水器每台售价2500元，

B型净水器每台售价2180元,公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a(a<120)

元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，若公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利

润不超过23000元，求a的取值范围.

【答案】(1)y=200x+90000；(2)20Wa<120

【分析】

(1)根据总费用=人型净水机的费用+B型净水机的费用，即可得出y关于x的函数关系式：

(2)根据题意可以求得x的取值范围和利润与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质

即可解答本题.

10

【详解】

(1)根据题意得：y=2000x+1800(50-x)=200x+90000

(2)根据题意得:

200x+90000<98000,

解得：xW40,

设公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为w元，

贝w=(2500-2000-a)x+(2180-1800)(50-x)=(120-a)x+19000

•/a<120,/.120-a>0,当x=40时,w取得最大值,

.,.40(120-a)+19000^23000

解得：a220,

Aa的取值范围是20^a<120

【点睛】

本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用、解答本题的关键是明确题意，利用一次

函数的性质解答.

5.(2021•普定县第二中学九年级二模)为更新树木品种，某植物园计划购进甲、乙两个

品种的树苗栽植培育若计划购进这两种树苗共41棵，其中甲种树苗的单价为6元/棵，购

买乙种树苗所需费用五元)与购买数量A(棵)之间的函数关系如图所示.

(1)求出y与x的函数关系式；

(2)若在购买计划中，乙种树苗的数量不超过35棵，但不少于甲种树苗的数量.请设计购

买方案，使总费用最低，并求出最低费用.

11

;(2)当购买甲种树苗20棵，乙种树苗21棵时，使

总费用最低，最低费用是286.4元

【分析】

(1)分两种情况：①当0〈后20时，②当x>20时，根据题意列出y与x的函数关系式

即可；

(2)列式求出总费用，再根据一次函数的性质，求出总费用的最小值即可.

【详解】

解：(1)设当0</20时，y与x的函数关系式为尸依，

20-160,得上=8,

即当0<A<20时，y与x的函数关系式为尸8x,

设当x>20时，夕与x的函数关系式是尸ax+A,

’20”+8=160

140。+8=288'

a-6.4

得，“-

8=32

即当x>20忖，y与x的函数关系式是尸6.4%+32,

12

由上可得y与X的函数关系式为：尸CC、；

[6.4x+32(x>20)

(2)1•购买乙种树苗x棵,

，购买甲种树苗(41-刈棵，

•.•在购买计划中，乙种树苗的数量不超过35棵，但不少于甲种树苗的数量，

.*.41-EE35,

解得,20.5WK35,

设购买树苗的总费用为w元，

：20.5WA<35且x为整数，

PK=(6.4X+32)+6X(41-刈=0.4*+278,

.,.当JV=21时,w取得最小值,此时w=286.4,41-L20,

答：当购买甲种树苗20棵，乙种树苗21棵时，使总费用最低，最低费用是286.4元.

【点睛】

本题考查了一次函数的实际应用，掌握一次函数的性质是解题的关键.

6.(2021-内蒙古鄂尔多斯市•九年级一模)在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情过程中，

某医药研究所正在试研发一种抑制新型冠状病毒的药物，据临床观察：如果成人按规定的

剂量注射这种药物，注射药物后每毫升血液中的含药量)'(微克)与时间八小时)之间的关系

近似地满足图中折线.

(1)求注射药物后每毫升血液中含药量与时间r之间的函数关系式，并写出自变量的取

值范围；

(2)据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，对控制病情是有效的.如果病人

按规定的剂量注射该药物后，求控制病情的有效时间.

13

10,

—(小时)

【分析】

（1）当OWtWl时，是正比例函数，用待定系数法进行求解，即可，当l<tW10时，是一

次函数，用待定系数法求函数的关系式，即可;

（2）当OWtWl时，当含药量上升到4微克时，控制病情开始有效，令y=4,代入y=6t,

求出对应的t值，同理，当1<良10时，求出另一个t值，他们的差就是药的有效时间.

【详解】

(1)当OWtWl时，设y=kit,则6=kiXl,

ki=6,

.'.y=6t.

当lVtWIO时，设y=k2t+b,

k2=~l

6=k+b3

‘0=102…解得：

,20

b=——

3

220

y=--1+一,

33

14

6/(0</<1)

综上所述：y=\220;

--r+y(l<r<10)

2

(2)当OWtWl时，令y=4,即:6t=4,解得:t=一,

220

当0<tW10时，令y=4,即：一一t+——=4,解得：t=4,

33

210

...控制病情的有效时间为：4——=—(小时).

33

【点睛】

本题主要考查一次函数的实际应用，掌握一次函数的图象上的点的坐标特征和待定系数法,

是解题的关键.

7.(2021•哈尔滨市萧红中学九年级一模)已知，平面直角坐标系中，直线y=-x+6交x

轴于点A,交y轴于点B,点C为0B上一点，连接AC,且tan/B4C=；；

(1)求C点坐标；

(2)D为0C上一点，连接AD并延长至点E,连接OE、CE,取AE中点F,连接BF、OF,

当F在第一象限时，求SECO+SBOF的值；

(3)在(2)的条件下，将射线AC延AE翻折交0E于点P,连接BP,过。作OHLAE于

H,若AD=4FH,OE=M，求直线PB的解析式.

【答案】(1)C(0,3)；(2)9；(3)y=y%+6

【分析】

15

(1)作CR，A3,证得□CRB是等腰直角三角形，设CR=BR=。，由已知得RA=3a,

根据勾股定理列出等式即可求解；

(2)作ET_LOB于T,取。E中点K,连接K/交CO于/,根据三角形中位线定理，

即可得出结论；

(3)延长8P交无轴于S，取中点G,连接OG,作OQ_LOP交AP于Q，ONLAP,

AMLEO交E0延长线于点M,设即=a,GF=b,根据勾股定理及锐角三角函数求

得有关线段，证得△BQPgAAOQ,得到NPBO=NPAO,设设法求得

ON=-t，4%=受包"从而求得点S的坐标，利用待定系数法即可求解.

55

【详解】

(1)作CRLA3,如图：

令y=0,则x=6,令x=0,则y=6,

・••点AB的坐标分别为(6,0),(0,6)

0A=6»0B=6»

AB—\/CZ42+OB2=A/62+62=6V5»

•/OA=OB=6,

.,.ZOBA=45°,

・・・□CRB是等腰直角三角形，

16

设CR=BR=a,

tanZBAC=-=

RA3

RA=3a,

RA+BR=3a+。=AB=6>/2，

解得：a贬,

2

BC=V2C/?=V2x-V2=3,

2

OC=OB—BC=6—3=3,

:.C点坐标为：C(0,3);

(2)作£T_LO6于T,取OE中点K,连接KF交CO于/,

：K是OE的中点，F是AE的中点,

；.KF〃OA,KF=-OA=3,

2

ETVOB,

：.ET〃KF〃OA,

Kl=-ET,

2

17

11,

Z.S&ECO+S&BOF=-ETOC+-OBFI=KIOC+OCFI=KFOC=32=9-,

(3)延长8P交X轴于S，取A。中点G，连接0G,作OQ_LOP交AP于Q，ONJ.AP,

AM，EO交EO延长线于点M,

设HF=a，则A。=4a,

AG=GD=2a=OG,

设GF=b,

:.AF=AG+GF=2a+b=EF,

EH=EF—HF=2a+b—a=a+b=GH,

VOH1AE于H,

；•GO=EO=04=715，

EO2-EH2=0^-AH2,即E。一EH2=OA2—(AG+G")2,

即E。一=QA2-(AG+E”)2,

(V15)2一EH2=G-(M+EH)2,

18

解得:昨半

AH=AG+EH+

AE=AH+EH=^^

3V10

由勾股定理得OH

5

八ECOH3八“OH1

・・tan/HEO==—,tanNHAO=-----=一

EH4AH3

VtanZ.BAC=—

3

ZHAO=ABAC=Z.GAO,

设NHAO=ABAC=ZGAO=a,

ZCAE=45°-2a=4PAE,

GO=EO=GA,

：.NOGE=ZOEG=2a,

NOPA=ZOEG+ZPAE=45°,

又•••OQ±OP,

：.PO=QO,

■：ZPOQ=ZAOB=90°,

ZPOB=ZAOQ,乂AO=BO.PO=QO,

19

XBOP^XAOQ

：.NPBO=4PAO,

设O〃=3f,EH=4t,EO=5t,AH=3OH=9t,AE=\3t,

CH3

VsinZ.HEO------=—,且NOPA=45°,

EO5

339

AM=-AE=—t=PM,

55

，AP=.呼,

•/cosZ//EO=—=-,

EO5

452

EM=-AE=—t,

55

：.0M=EM—EO=—t,PO=PM-OM=—t,

55

•/ZOPA=45°,

PN=ON=POsin45°=^-^t,

5

•*-AN=AP—PN=―-

5

tanZPBO=tanZ.PAO=----=—

AN11

OS=OBtanNPBO——=—,

3311

20

，点S的坐标为（-打，0）,

设直线PB的解析式为丁=丘+6,

1211

把SG1,0）代入得：k=—,

112

直线PB的解析式为y=y%+6

【点睛】

本题是一次函数与几何的综合题，考查了待定系数法求••次函数解析式，锐角三角函数，勾

股定理，全等三角形的判定和性质等，综合性很强，难度较大.

8.（2021•河南九年级一模）某公司推出一款产品，成本价10元/千克，经过市场调查，

该产品的日销售量.V（千克）与销售单价X（元/克）之间满足一次函数关系，该产品的日

销售量与销售单价之间的几组对应值如下表：

销售单价元/千克）14182226

日销售量y（千克）240180120m

（注：日销售利润=日销售量X（销售单价-成本单价））

（1）求）‘关于X的函数解析式（不要求写出X的取值范围）；

（2）根据以上信息，填空：

①机=___元；

②当销售价格X=一元时，日销售利润W最大，最大值是一元；

（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠100元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每

天的剩余利润不低于1025元，试确定该产品销售单价的范围.

【答案】（1）y=-15x+45O；（2）①60,②20,1500；（3）当15别：25时，捐赠后每

天的剩余利润不低于1025元

21

【分析】

（1）从表格中取点代入一次函数解析式即可求解；（2）①由表格信息规律直接填写答案，

或利用（1）中的函数解析式，求当x=26时的函数值.②建立W与X的函数关系式，利用

二次函数性质求最大值即可.（3）先求捐赠后的利润为1025元时的销售单价，再利用二次

函数的性质直接下结论即可；

【详解】

解：（1）设>与X的函数关系式为

14%+。=240

则《解得:k=-l5,。=450.

\Sk+b=lS0

y=—15x+450,

(2)①因为y=-15x+450,

所以当x=26时，/〃=y=60.

故答案为：机=60.

②因为W=(—15x+450)(x—10)=—15x2+600》—4500,

b600

所以当无=_丁=_久=20时,W有最大值，

2a2x(-15)

最大值为W=-15x202+600x20-4500=1500，

故答案为20,1500

(3)因为W-100=-15S+600x-4500-100=1025，

整理得：—15。-20)2=-375,解得：玉=15,%=25

所以，当15勃k25时，捐赠后每天的剩余利润不低于1025元

22

【点睛】

本题考查一次函数的应用，二次函数的性质，能够理解题意列出合理的方程和不等式是解题

的关键.

9.(2021•江苏南通市•九年级其他模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线小尸杆6

与了轴交于点4直线%:产麻+b与y轴交于点8,与人相交于。-3,3),AO=2BO.

(1)求直线出：尸履+6的解析式；

(2)求△4%的面积.

(答案】(1)尸-2x-3；(2)S/\ABC—~

2

【分析】

(1)根据y轴匕点的坐标特征可求A点坐标，再根据AO=2BO,可求B点坐标，根据待定系

数法可求直线h的解析式；

(2)利用三角形面积公式即可求得.

【详解】

解：(1)：直线/i：尸x+6与y轴交于点4

当x=0时，尸0+6=6,

.M(0,6).

,:AO=2BO,

."(0,-3).

23

・1(-3,3),

"_3女+6=3

代入直线力：尸中得＜

/7=一3

k=-2

解得《

b=-3

故直线k的解析式为y=-2x-3：

1127

（2）S^ABC——AB*\xc\=~x（64-3）X3=—.

乙乙N

【点睛】

此题主要考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法，三角形的面积，关键是求出A点

坐标，B点坐标.

10.（2021•新疆九年级一模）快车和慢车分别从A市和B市两地同时出发，匀速行驶，

先相向而行，慢车到达A市后停止行驶，快车到达B市后，立即按原路原速度返回A市（调

头时间忽略不计），结果与慢车同时到达A市.快、慢两车距B市的路程开、H（单位：km）

与出发时间x（单位：h）之间的函数图像如图所示.

（1）A市和B市之间的路程是km；

（2）求a的值，并解释图中点〃的横坐标、纵坐标的实际意义；

（3）快车与慢车迎面相遇以后，再经过多长时间两车相距20km?

24

【答案】（1）360.（2）a=12O,点”的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，

在距B市120km处相遇.（3）快车与慢车迎面一相遇以后，再经过5或？'h两车相距20km.

【分析】

（1）由函数图象的数据意义直接可以得出A、B两地之间的距离；

（2）根据题意得快车速度是慢车速度的2倍，观察图象知2小时快车与慢车迎面相遇，列

出方程可求得答案；

（3）利用待定系数法分别求出AB、BC、OC的解析式，根据题意列出方程求解即可.

【详解】

（1）由题意得：A市和B市之间的路程是360km；

（2）根据题意得快车速度是慢车速度的2倍,设慢车速度为xkm/h,则快车速度为2xkm/h.

根据题意，得2（X+2A）=360,解得A^60.

2X60=120,所以a=120.

点〃的横坐标、纵坐标的实际意义是两车出发2小时时，在距B市120km处相遇.

（3）快车速度为120km/h,到B市后又回到A市的时间为360x2+120=6（h）.

慢车速度为60km/h,到达A市的时间为360+60=6（h）.

如图：

当0W-3时,

25

设AB的解析式为：y=kx+b

由图象得：x=0.y-360：x=2,y=120；代入y=Ax+〃得:

b=36Q

'2m20

1=-120

解得：〈

力=360

.,.AB的解析式为:y=-120X+360(0<A<3).

当3VA<6时,

设BC的解析式为:X=k、x+b]

由图象得：x=3,y=0；x=6,y=360；代入〉|=匕》+4得:

3kl+伪=0

6Z1+伪=360

勺=120

解得：<

4=—360

函数的解析式为:H=120X-360(3<Z6).

设0C的解析式为：%=k2x

由图象得：x=6,y=360；代入>2=七％得:

6攵2=360

解得：&=60

；.OC的解析式为：户=60虱0<A<6).

26

当0WA<3时,

根据题意，得〃-y=20,即60_¥■—(—120x+360)=20,

…1919cl

解得x=—,---2=—

999

当3VA<6时,

根据题意，得力一分=20,即60L(120万—360)=20,

，…171711

解得--,-----2——

333

所以，快车与慢车迎面相遇以后，再经过"或:1•h两车相距20km.

【点睛】

本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数

与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键.

11.(2021•北京交通大学附属中学九年级零模)在平面内，C为线段AB外的一点，若以

A,B,C为顶点的三角形为直角三角形，则称C为线段AB的直角点.特别地，当该三角形

为等腰直角三角形时，称C为线段AB的等腰直角点.

(1)如图1,在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(4,0),在点Pi(0,T),P2(5,l),

P3(2,2)中，线段0M的直角点是；

I________[11I1»

-10123456x

-1事

-2-

图1

27

(2)在平面直角坐标系xOy中，点A,B的坐标分别为(1,4),(1,-6),直线1的解析式为

y=-x+7.

①如图2,C是直线1上的一个动点，若C是线段AB的直角点，求点C的坐标；

②如图3,P是直线1上的一个动点，将所有线段AP的等腰直角点称为直线1关于点A的

伴随点,若00的半径为r,且。0上恰有两个点为直线1关于点A的伴随点，直接写出r的

取值范围.

图3

28

【答案】(1)PHP3；(2)①点C的坐标为(3,4)或(13,-6)或(4,3)或(5,2)；②变<r<

2

2.

【分析】

(1)根据直角点的定义判定即可；

(2)①NBAC=90°时，可设点C的坐标为(a,b).因为点A的坐标已知，点C在直线上,

可解得点C的坐标；ZABC=90°时，已知点B坐标同理可解点C坐标；取AB的中点P,

连接CM,根据A、B坐标可求出P点坐标及AB的长，根据直角三角形斜边中线的性质可

得CP的长，列方程求出a、b的值即可求得点C坐标：

②设P(m,-m+7),连接AP,以AP为边向下作正方形APC3C1，连接PCi、AC3,交于C2,

则Q、C2>C3为AP的等腰直角点，过点A作x轴的平行线，分别过点P、Ci作y轴平行线，

交x轴的平行线于E、F,利用AAS可证明△AFC&Z\APE,可得AF=PE=4-(-m+7)=m-3,

FCi=AE=m-l,即可用m表示出Ci坐标，根据中点坐标公式可表示出C2坐标，即可得出

Q、C2的运动轨迹，分别求出两条直线与。。相切时的r值即可得答案.

【详解】

(1)VZMOPi=90°,

...Pi为0M的直角点,

VP2(5,1),M(4,0),

...△MOP2是钝角三角形，

；.P2不是OM的直角点,

VP3(2,2),

•'•OP3=2正，MP3=2及，OM=4,

2

.".OP3+MP32=OM2,

29

.••△0MP3是直角三角形,

；.P3是0M的直角点，

故答案为:Pl、P3

(2)①如图，当NBAC=90°时，设点C的坐标为(a,b),

•・•点A的坐标为(1,4),点C在直线y=f+7上,

b=4»b=一。+7,

解得a=3,

ACi(3,4),

当NABC=90°时，设点C的坐标为(a,b),

・・,点B的坐标为点C在直线y=—x+7上，

b=—6»b=—a+7,

解得a=13,

/.C2(13,-6).

当NACB=90°时，设点C的坐标为(a,b),AB的中点P,连接CP,

・・•点C在直线y=-x+7上，

b——a+7,

•・♦点A,B的坐标分别为(1,4),(1,-6),

.\AB=10,

VZACB=90°,当P为AB中点，

二点P的坐标为(1,-1),CP=3AB=5,

30

7(«-1)2+0+1)2=5，即(a-l)2+(8-a)2=25,

解得：ai=4,a2=5,

.".bi=3,b2=5,

AC3(4,3),C4(5,2).

综上，点C的坐标为（3,4）或（13,-6）或（4,3）或（5,2）.

②如图，设P（m,-m+7）,连接AP,以AP为边向下作正方形APC3C1，连接PCi、AC3,

交于C2,则Ci、C2、C3为AP的等腰直角点，

过点A作x轴的平行线，分别过点P、J作y轴平行线，交x轴的平行线于E、F,

•••△AEP、aAFCi为直角三角形，

VZFACi+ZEAP=90°,NEAP+NAPE=90°,

AZFACi=ZAPE,

31

=NPE4=90。

在△AFCi和4APE中一NE4£=NAPE,

AG=AP

AAFCi^AAPE,

AF=PE=4-(-m+7)=m-3,FCi=AE=m-l,

/.Ci(4-m,5-m),

VP(m,-m+7),C2为PCi中点，

Cz(2,6-m),

•••点的运动轨迹为直线点的运动轨迹为直线

Ciy=x+l,C2x=2,

直线y=x+l与x轴的交点坐标为(-1,0),

当y=x+l于。0相切时，r=,

2

当直线x=2与。。相切时，r=2,

的取值范围为立Vr<2.

2

32

本题考查了定义的自学能力，一次函数与坐标的关系，利用函数式表示坐标并运用讨论条件

的思想是解题关键.

12.(2021•河南九年级其他模拟)在直角坐标系中，过原点0及点A(8,0),C(0,6)

作矩形OABC,连接OB,点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE,作DF_LDE,

交OA于点F,连接EF