数学第一讲坐标系本讲测评二

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本讲测试1已知点M的极坐标为(-5,）,下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是()A.(5，)B。（5，)C。（5,）D.（—5，)思路解析：点(—5,）所在的位置如图:点(5，-)所在的位置如图:而的终边落在OB的位置上，极径又是正的,所以B、C选项所表示的点也在点B的位置上;+2π=,的终边落在OA的位置上，但是极径是负的，D选项所表示的点也在点B的位置上。答案：A2点P的直角坐标为(1，），则点P的极坐标为（)A。(2,)B.(2,)C。（2，)D。(2，）思路解析：因为点P(1,）在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为，所以点P的一个极坐标为(2，)，排除A、B选项,+2π=，所以极坐标(2,）所表示的点在第二象限。答案：C3极坐标方程4ρ·sin2=5表示的曲线是(）A。圆B。椭圆C.双曲线的一支D.抛物线思路解析：若直接由所给方程很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程加以研究。4ρ·sin2=4ρ·=2ρ—2ρcosθ=5,化为直角坐标方程：=5，化简,得y2=5x+.故该方程表示抛物线。答案:D4极坐标ρ=cos(—θ)表示的曲线是(）A。双曲线B.椭圆C。抛物线D。圆思路解析：由ρ=cos(—θ)=cos(θ-）可直接判断曲线为圆.也可以将方程化为直角坐标方程,判断曲线形状,由于ρ不恒等于0，方程两边同乘ρ,得ρ2=ρcos(—θ)=ρ(cosθ+sinθ）=（ρcosθ+ρsinθ)。在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中,ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，因此有x2+y2=（x+y),∴方程ρ=cos（-θ）表示圆。此题还有另一种思路：极坐标方程ρ=2acosθ表示圆，而—θ与极轴的旋转有关，它只影响圆心的位置，而不改变曲线的形状，故方程ρ=cos(-θ)表示圆.答案：D5圆ρ=（cosθ+sinθ)的圆心坐标是()A。(1,）B。（,)C。（，)D。(2，）思路解析：可化为直角坐标方程(x-）2+(y—）2=1或化为ρ=2cos（θ—）,这是ρ=2rcos(θ-θ0）形式的圆的方程。答案：A6在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切的一条直线方程为(）A.ρsinθ=2B。ρcosθ=2C。ρcosθ=4D。ρcosθ=—4思路解析：如图，⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥Ox,OA为直径，｜OA|=4，l和圆相切,l交极轴于B（2,0）,点P（ρ，θ)为l上任意一点,则有cosθ=,得ρcosθ=2。答案:B7已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+）=,则极点到该直线的距离是__________.思路解析:极点的直角坐标为O（0,0），ρsin(θ+)=ρ(sinθ+cosθ）=，∴ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标方程为x+y—1=0。∴点O（0,0）到直线x+y-1=0的距离为d==，即极点到直线ρsin(θ+）=的距离为。答案：8在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x—5)2+（y+6)2=1,求曲线C的方程，并判断其形状.思路分析：考查变换公式：将新坐标代入到已知曲线中,即可得原曲线方程。解：将代入（x′—5)2+（y′+6）2=1,得(2x—5）2+(2y+6)2=1。化简得（x-)2+(y+3)2=.∴曲线C是以(,-3)为圆心,半径为的圆.9说出由曲线y=tanx得到曲线y=3tan2x的变换规律，并求满足其图形变换的伸缩变换.思路分析：函数y=f(ωx)，x∈R(其中ω＞0，ω≠1）的图象，可以看作把f(x)图象上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的（纵坐标不变）而得到。函数y=Af（x），x∈R(其中A＞0,ω≠1）的图象,可以看作把f(x)图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短(当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到.图形变换的伸缩变换公式：。解：y=tanx的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的,得到y=tan2x，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y=3tan2x.设y′=3tan2x′，变换为将其代入y′=3tan2x′，得μy=3tan2λx.与y=tanx比较，可得10已知P(5,)，O为极点，求使△POP′为正三角形的P′点的坐标。思路分析：画出图形分析即可.解:设P′(ρ1,θ1）,∵△POP′为正三角形，如图,∴∠POP′=60°。∴θ1=—=或θ1=+=π.∵ρ1=5,∴P′（5，）或P′(5，π）.11圆心为C(3,)，半径为3的圆的极坐标方程是什么？思路分析：此题较容易，根据图形求各参数,代入即可.解:如右图，设圆上任一点为P（ρ,θ）,则｜OP|=ρ，∠POA=θ—，|OA|=2×3=6，Rt△OAP中,|OP|=|OA｜·cos∠POA,∴ρ=6cos（θ—)。12如图1-1，长方体OABC—D′A′B′C′中，｜OA｜=3，｜OC｜=5，｜OD′|=3,A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C、B′、P的柱坐标.图1-1思路分析：求点的柱坐标，需要找到空间任意一点P在Oxy平面上的射影在平面Oxy上的极坐标(ρ,θ）(ρ≥0,0≤θ＜2π).解:C点的ρ、θ为｜OC｜及∠COA；B′点的ρ,θ分别为｜OB｜=,θ=∠BOA，tan∠BOA=，∴∠BOA=arctan.P点的ρ、θ为OE、∠AOE,|OE｜=|OB|,∠AOE=∠AOB。13如图1-2，棱长为a的正方体OABC—D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点P，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,试写出点P的球坐标。图1—2思路分析：求点P的球坐标,需要找（r，φ,θ）三个量。解:r=｜OP|,φ=∠D′OP,θ=∠AOB,｜OP|=a,∠D′OP=∠OB′B，tan∠OB′B=,θ=∠AOB=。14△ABC底边BC=10,∠A=∠B，以B点为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程。思路分析:本题利用正弦定理的边角关系找到顶点A的ρ,θ之间的关系而求得其轨迹方程.解：如图,令A（ρ，θ)。显然△ABC内，∠B=θ，∠A=，|BC|=10,｜AB｜=ρ。于是由正弦定理，得A点轨迹的极坐标方程为ρ=30—40sin2.15已知线段BB′=4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′,使OP·OP′=9，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程。思路分析：题目中有互相垂直的两条直线，以它建立直角坐标系，将直线BP与B′P′的直线方程求出来，再去找交点M的坐标，把设的字母消掉即可得交点M的轨迹方程。解:以O为原点,BB′为y轴,l为x轴建立如右图所示直角坐标系,则B（0，2),B′（0，—2）,设P（a,0),a≠0，则由OP·OP′=9，得P′(，0）.直线BP的方程为=1，直线B′P′的方程为=1，即2x+ay—2a设M(x,y),则由(a为参数)。消去a,可得4x2+9y2=36（x≠0),∴点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆（除去点B，B′）。16如图1—3,在圆ρ=acosθ上有两点A和B，它们的极角分别是α、β，由极点向直线AB作垂线，垂足为H，求H点的极坐标.图1-3思路分析：求H点的极坐标,需要找到极角和极径。极径为OH，极角为∠HOC，找极角∠HOC时,利用初中学的图形几何关系.解：连结AC、BO，则∠OAC=∠OBC=，设∠AOC=α,∠BOC=β.∵∠OHB=，∴∠OCB+β=∠HOA+∠OAB=。∴∠OCB=∠OAB。∴∠HOA=β。∴∠HOC=α+β。∵OA=acosα,∴OH=acosαcosβ。∴H(acosαcosβ，α+β).17求过定圆内一定点，且与定圆相切的圆心的轨迹的极坐标方程。思路分析：需要找圆心P的极角和极径的关系.在这里可以根据三角形中的余弦定理来建立关系式。解：以定圆圆心O为极点，定点为点A。求圆心P的轨迹。以射线OA为极轴建立极坐标系.设定圆半径为r，A(m,0），P（ρ,0），在△AOP中，|AP|2=|OA｜2+|OP｜2-2｜OA|·|OP|cosθ，即（r-ρ）2=m2+ρ2—2mρcosθ。化简得ρ=。当m取不同数值时，轨迹会有不同的形状.18在极坐标系中,已知圆C的圆心C（3,)，半径为1.Q点在圆周上运动，O为极点.（1）求圆C的极坐标方程；（2)若P在直线OQ上运动,且满足,求动点P的轨迹方程.思路分析：在△OCM中，根据余弦定理,可找到圆C上的任意一点M的ρ、θ之间的关系；通过比例，可找到Q点与P点极坐标之间的关系，从而求出点P的轨迹方程。解：（1)设M（ρ，θ)为圆C上任意一点，如图，在△OCM中,｜OC|=3，｜OM|=ρ,|CM|=1,∠COM=|θ-|,根据余弦定理,得1=ρ2+9—2·ρ·3·cos|θ-|。化简整理，得ρ2—6·ρcos（θ—）+8=0为圆C的轨迹方程。（2)设Q(ρ1，θ1),则有ρ12-6·ρ1cos(θ1—）+8=0。①设P(ρ,θ）,则OQ∶QP=ρ1∶（ρ-ρ1)=2∶3.∴ρ1=ρ.又θ1=θ，即代入①,得ρ2—6·ρcos(θ-）+8=0。整理,得ρ2-15ρcos(θ—）+50=0。它为P点的轨迹方程。19如图1-4，在面积为1的△PMN中,tan∠PMN=,tan∠MNP=2.建立适当的坐标系,求出以M、N为焦点,且过点P的椭圆方程。图1—4思路分析：在此题中,角的正切可看作相应直线的斜率,从而得点P的坐标与c的关系,求a时可有三种方法：代入点法,利用椭圆的第一定义得方程；利用点在椭圆上,将点的坐标代入椭圆方程；根据△PMN是直角三角形。解：以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立坐标系.设以M、N为焦点，且过点P的椭圆方程为=1，焦点为M(—c，0),N（c,0）.由tan∠PMN=，tan∠PNx=tan（π-∠PNM)=-2，得直线PM和PN的方程分别为y=（x+c)和y=—2（x-c)。联立两方程解得x=c,y=c，即P点坐标为(c,c）.在△PMN中,MN=2c,MN上的高为c，∴S△MNP=×2c×c=1.∴c=，即P点坐标为(）,|PM|==2，｜PN｜==1.∴a=(｜PM|+|PN｜）=.从而b2=a2—c2=1，故所求椭圆方程为x2+y2=1.20如图1-5，直线l1和l2相交于点M，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上任意一点到l2的距离与到点N的距离相等,若△AMN为锐角三角形，｜AM｜=，｜AN｜=3，且｜BN｜=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.图1-5思路分析：题中给出了相互垂直的直线l1、l2,则以l1、l2为x轴、y轴，M为坐标原点,建立坐标系的思路非常自然，设P(x，y)是曲线段C上任意一点,作PH⊥l2,H是垂足,则由题意知点P满足等式｜PN|=|PH｜，为求得方程，只需求得N点的坐标.解法一：如右图，建立坐标系,分别以l1、l2为x轴、y轴,M为坐标原点,作AE⊥l1，AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分别是E、D、F,设A（xA，yA),B(xB，yB）,N(xN，0),依题意，有xA=|ME｜=|DA|=｜AN|=3,yA=｜DM｜==。由于△AMN是锐角三角形，故有xN=｜ME｜+｜EN｜=|ME|+=4，xB=｜BF｜=｜BN｜=6。设点P(x，y）是曲线段C上任一点,作PH⊥l2,H是垂足，则由题意知P属于集合{(x,y）|（x—xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y>0}.故曲线段C的方程为y2=8(x-2）（3≤x≤6,y〉0)。解法二：如图，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立坐标系,根据题意,曲线段C是以N