数学导学案：平面向量数量积的物理背景及其含义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2．4。1平面向量数量积的物理背景及其含义1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．掌握向量a与b的数量积公式及投影的定义．3．掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，并能运用这些性质与运算律解决有关问题．1．平面向量的数量积定义已知两个非零向量a与b，我们把数量________叫做a与b的数量积(或内积)，其中θ是a与b的夹角记法记作a·b，即a·b＝|a｜|b｜cosθ规定零向量与任一向量的数量积为____投影____________（｜b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影几何意义数量积a·b等于a的长度｜a｜与b在a的方向上的投影______________的乘积(1）两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°＜θ≤180°时)，还可以为0（当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．（2)向量b在a上的投影不是向量而是数量，如图所示，即为｜b｜cosθ，它的符号取决于θ角的范围．(3）a·b也等于|b|与a在b的方向上的投影的乘积．其中a在b的方向上的投影与b在a的方向上的投影是不同的．【做一做1－1】若向量a，b满足|a|＝｜b｜＝1，a与b的夹角为60°，则a·b等于（）A.eq\f(1，2） B。eq\f（3,2） C．1＋eq\f（\r(3),2） D．2【做一做1－2】|a|＝2，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于（）A．2 B．120° C．－1 D．由向量b的长度确定2．运算律交换律a·b＝________结合律（λa)·b＝λ（a·b）＝a·________分配律（a＋b）·c＝________(1)已知实数a，b，c（b≠0)，则ab＝bca＝c。但对于向量的数量积,该推理不正确，即a·b＝b·cDa＝c。（2)对于实数a，b，c有(ab)c＝a（bc);但对于向量a，b，c，(a·b）c＝a（b·c）未必成立．这是因为（a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线,所以(a·b）c＝a（b·c）未必成立．【做一做2】有下列各式：①(λa)·b＝λ（a·b）＝a·(λb)；②a·b＝|a｜·｜b｜；③（a＋b)·c＝a·c＋b·c；④(a·b)c＝a(b·c）．其中正确的个数为(）A．4 B．3 C．2 D．3．向量数量积的性质设a,b为两个非零向量，a与b的夹角为θ.垂直a⊥b________共线同向a·b＝________a·a＝a2＝|a|2｜a|＝eq\r（a·a)反向a·b＝________绝对值|a·b|≤________符号a·b＞0θ∈________a·b＝0θ＝________a·b＜0θ∈________夹角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a|｜b｜）(1）（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2(2）（a－b）2＝a2－2a·b＋b2（3)a2－b2＝(a－b）·(a＋b）．【做一做3－1】在Rt△ABC中，∠A＝90°,则eq\o（AB，\s\up6(→)）·eq\o（AC，\s\up6（→）)＝__________.【做一做3－2】已知|a｜＝7,则a·a＝__________.【做一做3－3】已知｜a|＝8，｜b｜＝1,a·b＝8,则a与b的夹角θ＝__________。答案：1．｜a|｜b｜cosθ0|a|cosθ|b|cosθ【做一做1－1】Aa·b＝｜a|｜b｜cos60°＝eq\f(1,2).【做一做1－2】C｜a|cos120°＝2cos120°＝－1.2．b·a（λb）a·c＋b·c【做一做2】C①③正确．3．a·b＝0|a|｜b|－｜a｜｜b｜｜a｜|b|eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f(π,2)））eq\f（π,2)eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(π，2)，π))【做一做3－1】0eq\o（AB，\s\up6(→))·eq\o（AC,\s\up6(→))＝｜eq\o(AB，\s\up6(→))｜·|eq\o（AC，\s\up6（→)）|cos∠A＝|eq\o（AB,\s\up6(→））|·｜eq\o（AC，\s\up6(→）)｜cos90°＝0.【做一做3－2】49a·a＝｜a|2＝72＝49。【做一做3－3】0cosθ＝eq\f(a·b,|a｜|b｜)＝1，又θ∈[0,π]，则θ＝0.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算的区别和联系剖析：从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比．（1)从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数,其方向由这个实数的符号决定；两个实数的积是一个实数,符号由这两个实数的符号决定．（2)从运算的表示方法上看:两个向量a，b的数量积称为内积，写成a·b；大学里还要学到两个向量的外积a×b，而a·b是两个向量的数量积，因此书写时要严格区分，符号“·"在向量运算中不是乘号，既不能省略,也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了．（3)从运算的性质上看:在向量的数量积中,若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b；在向量的数乘中，若λa＝0，则λ＝0或a＝0；在实数的乘法中，若ab＝0,则a＝0或b＝0.在向量的数量积中，a·b＝b·cb＝0或a＝c或b⊥（a－c)；在向量的数乘中,λa＝λb(λ∈R)a＝b或λ＝0;在实数的乘法中，ab＝bca＝c或b＝0.在向量的数量积中，(a·b）c≠a（b·c)；在向量的数乘中，（λm）a＝λ（ma)（λ∈R，m∈R）；在实数的乘法中,有(ab）c＝a（bc）．（4)从几何意义上来看：在向量的数量积中,a·b的几何意义是a的长度|a｜与b在a方向上的投影｜b|cosθ的乘积;在向量的数乘中，λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来的|λ|倍；在实数的乘法中，ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距离等于a，b到原点的距离的积．题型一求向量的数量积【例1】已知向量a与b的夹角为120°，且|a｜＝｜b｜＝4，那么b·(3a＋b）的值为__________反思：已知向量a与b的夹角为θ,且|a|＝m，|b|＝n，求（xa＋yb）·(sa＋tb),其中x，y，s，t,m,n∈R，且m＞0,n＞0，其步骤是：①先求a·b;②化简（xa＋yb)·（sa＋tb)＝xs｜a｜2＋（xt＋ys）a·b＋yt|b｜2；③将a·b，|a|，｜b|代入即可．题型二求向量的长度【例2】若向量a，b满足|a｜＝eq\r(2），｜b|＝2,且(a－b)⊥a，则｜a＋b|等于(）A．3 B．2eq\r（2) C．10 D。eq\r(10)反思：已知不共线的向量a与b，求｜xa＋yb｜(x，y∈R）时,其步骤是：①求a·b；②求｜xa＋yb|2＝x2|a|2＋2xya·b＋y2｜b|2；③求｜xa＋yb|.题型三求两向量的夹角【例3】已知｜a|＝1,｜b|＝4，（a－b）·(a＋2b)＝－29，求a与b的夹角θ。分析：求出a，b的数量积a·b,代入夹角公式求得cosθ，从而确定θ的值．反思：求向量a与b的夹角θ的步骤:(1）计算a·b，|a|，｜b|;(2）利用夹角公式cosθ＝eq\f（a·b,｜a｜｜b|)计算cosθ；（3）根据θ∈[0，π］确定夹角θ的大小．题型四证明两向量垂直【例4】已知向量a，b不共线，且｜2a＋b｜＝|a＋2b｜，求证：(a＋b)⊥(a－b)分析：证明a＋b与a－b垂直，转化为证明a＋b与a－b的数量积为零．反思:证明a⊥b，通常转化为证明a·b＝0.题型五判断平面图形的形状【例5】在△ABC中，eq\o（AB,\s\up6（→)）＝c，eq\o（BC,\s\up6(→)）＝a,eq\o(CA,\s\up6(→）)＝b，且a·b＝b·c＝c·a,试判断△ABC的形状．分析：易知a＋b＋c＝0，分别将a，b，c移至等号右边，得到三个等式,分别平方可得a·b，b·c，c·a，选取两个等式相减即可得到a，b，c中两个向量的长度之间的关系．反思：依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间的关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．答案：【例1】－8b·(3a＋b)＝3a·b＋|b｜2＝3｜a｜|b｜cos【例2】D由于（a－b）⊥a,则(a－b)·a＝｜a｜2－a·b＝0,所以a·b＝2。所以｜a＋b｜2＝|a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝10,则|a＋b|＝eq\r(10)。【例3】解：∵(a－b)·（a＋2b）＝|a｜2＋a·b－2|b|2＝1＋a·b－32＝－31＋a·b,∴－31＋a·b＝－29,∴a·b＝2,∴cosθ＝eq\f(a·b，|a｜｜b｜)＝eq\f(2，1×4)＝eq\f（1,2).又0≤θ≤π,∴θ＝eq\f(π，3）。【例4】证明：∵｜2a＋b｜＝|a＋2b|，∴（2a＋b）2＝（a＋2b)∴4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2.∴a2＝∴(a＋b)·（a－b）＝a2－b2＝0.又a与b不共线,a＋b≠0,a－b≠0，∴(a＋b）⊥（a－b）．【例5】解：在△ABC中,易知eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o（BC,\s\up6（→）)＋eq\o（CA,\s\up6（→))＝0，即a＋b＋c＝0，因此a＋c＝－b,a＋b＝－c.从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b2＝－c2，,a＋c2＝－b2，)）两式相减可得b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b则2b2＋2（a·b－a·c）＝2c2因为a·b＝c·a＝a·c，所以2b2＝2c2,即|b|＝|c同理可得|a｜＝|b|，故|eq\o（AB，\s\up6(→))|＝|eq\o（BC,\s\up6(→)）｜＝|eq\o(CA，\s\up6(→))|，即△ABC是等边三角形．1．△ABC中，·＜0，则△ABC是()A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形2．已知非零向量a，b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则等于（）A。 B．4 C。 D．23．设向量a，b均为单位向量，且(a＋b）2＝1，则a与b的夹角为(）A。 B. C。 D。4．(2011·山东青岛高三质检）已知向量a，b的夹角为60°，|a｜＝2，|b｜＝3，则｜2a－b|＝5．已知｜a|＝10，｜b|＝12，a与b的夹角为120°，求：（1）a·b;(2)(3a)·；(3）（3b－2a）·（4a＋b答案：1．C∵·＝＜0，∴cosA＜0.∴A是钝角．∴△ABC是钝角三角形．2．D因为a＋2b与a－2b垂直，所以（a＋2b)·（a－2b)＝0，所以｜a|2－4|b｜2＝0，即｜a｜2＝4|b｜2