数学导学案：平面几何中的向量方法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2．5.1平面几何中的向量方法1．会用向量方法解决平面几何问题．2．掌握和体会用向量方法解决平面几何问题的“三步曲"．1．由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及________表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题．2．用向量方法解决平面几何问题的三步曲：第一步,建立平面几何与向量的联系，用______表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为____问题;第二步，通过______运算,研究几何元素之间的关系；第三步,把________“翻译”成几何关系．平面几何中的向量方法有：（1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等；求线段的长，转化为求向量的模．(2)证明线段、直线平行，转化为证明向量平行．(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直．（4)几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题．(5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算解决平面几何问题．【做一做】在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．用向量法证明DE∥BC，DE＝eq\f(1，2)BC。答案：1．数量积2．向量向量向量运算结果【做一做】证明：如图所示，设eq\o（AB，\s\up6（→))＝a，eq\o(AC，\s\up6(→））＝b。在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6（→）)＝eq\o（AC，\s\up6(→）)－eq\o(AB，\s\up6(→））＝b－a。又＝eq\f(1,2）eq\o(AB,\s\up6（→)），eq\o(AE，\s\up6(→))＝eq\f（1，2）eq\o（AC,\s\up6（→）)，则在△ADE中,eq\o(DE,\s\up6（→)）＝eq\o(AE，\s\up6（→））－eq\o（AD,\s\up6（→））＝eq\f(1，2)eq\o（AC,\s\up6（→))－eq\f(1，2)eq\o(AB，\s\up6(→））＝eq\f(1，2)(b－a)，所以eq\o(DE,\s\up6（→））＝eq\f（1，2）eq\o（BC,\s\up6(→）)。所以DE∥BC,DE＝eq\f（1,2)BC。1．用向量处理问题时，选择平面向量基底的基本原则．剖析：平面内任意不共线的两个向量就可作为一组基底，因此在图形中选择不共线的两个向量即可．但是在具体的解题过程中，通常不会随便取不共线的两个向量．选择适当的基向量，会减少计算量．选择适当的基向量的基本原则是：（1)不共线;(2）基向量的长度最好是确定的；（3)基向量的夹角最好是明确的(直角最合适)；(4)尽量使基向量和所涉及到的向量共线或构成三角形或构成平行四边形．2．用向量的坐标处理问题时,建立平面直角坐标系的基本原则．剖析：选择坐标轴和原点不当会增加解题的运算量，也会带来不必要的麻烦．需明确平面直角坐标系是如何构成的以及选择坐标轴的基本原则．具有公共原点的两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，因此在已知图形中，只要选择互相垂直的两条直线为坐标轴就能建立直角坐标系，但是又不能随便选择坐标轴，选择的基本原则是：(1）尽量用已知图形中两互相垂直的向量所在直线为坐标轴；(2）尽量选择已知图形中某一特殊点为原点;（3）位于坐标轴上的已知点越多越好．题型一平行问题【例1】如图，已知AC,BD是梯形ABCD的对角线,E，F分别是BD,AC的中点．求证：EF∥BC.分析：要证明EF∥BC，只要证出eq\o(EF，\s\up6(→)）＝meq\o（BC,\s\up6(→）)即可．反思:向量法证明平面几何中AB∥CD的步骤：①选择一组向量基底;②用基底表示eq\o(AB,\s\up6(→）)和eq\o（CD,\s\up6(→))；③确定eq\o(AB，\s\up6(→）)＝λeq\o(CD,\s\up6（→)）中的λ值,即有eq\o(AB,\s\up6（→）)∥eq\o（CD,\s\up6（→）)；④归纳总结．题型二垂直问题【例2】△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，用向量方法证明AD⊥BC.分析：转化为证明eq\o(AD，\s\up6(→)）⊥eq\o（BC,\s\up6(→)）.反思：向量法证明平面几何中AB⊥CD的步骤：①选择一组基底；②用基底表示eq\o(AB,\s\up6（→))和eq\o（CD,\s\up6(→）)；③计算eq\o（AB,\s\up6（→）)·eq\o(CD，\s\up6(→））的值为0;④归纳结论．题型三长度问题【例3】如图所示,已知ABCD中，AB＝3，AD＝1,∠DAB＝eq\f（π,3),求对角线AC和BD的长．反思:向量法求平面内A，B两点间的距离的步骤：①选取一组基底a，b；②用基底a，b表示eq\o(AB，\s\up6（→）)，即eq\o(AB,\s\up6（→）)＝xa＋yb;③利用｜eq\o（AB，\s\up6（→）)|＝eq\r（\o(|AB｜2，\s\up6（→)）)＝eq\r（（xa＋yb）2）求得｜eq\o（AB,\s\up6（→））|；④归纳结论．题型四易错辨析【例4】已知点A(0,1)，B（1，0)，C(－1,2），D(2，－1），问AB与CD平行吗？错解:∵eq\o(AB，\s\up6（→））＝(1，－1），eq\o（CD，\s\up6(→)）＝(3，－3），又1×（－3)－（－1）×3＝0，∴eq\o（AB，\s\up6(→)）∥eq\o(CD,\s\up6（→)），即AB∥CD。错因分析:此题混淆了向量的平行与线段(直线）的平行．平行向量是方向相同或相反的向量，所以A，B，C，D四点共线时，eq\o（AB，\s\up6(→））与eq\o（CD,\s\up6（→))仍为平行向量，但此时直线AB与CD不平行．反思:当eq\o(AB,\s\up6(→)）∥eq\o(CD,\s\up6（→)）时，直线AB与直线CD可能平行，还可能重合，当且仅当eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o（CD，\s\up6（→））,且A,B,C，D中任三点不共线时，直线AB∥直线CD。答案：【例1】证明：设eq\o（AB，\s\up6(→）)＝a,eq\o（AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BD，\s\up6（→））＝eq\o(AD,\s\up6（→））－eq\o（AB,\s\up6(→））＝b－a.∵eq\o(AD，\s\up6(→）)∥eq\o（BC，\s\up6（→）)，∴eq\o（BC,\s\up6(→)）＝λeq\o(AD,\s\up6（→）)＝λb。∵E为BD的中点，∴eq\o（BE，\s\up6（→)）＝eq\f（1，2)eq\o（BD，\s\up6(→））＝eq\f（1,2）(b－a）．∵F是AC的中点，连接BF(如图），∴eq\o(BF，\s\up6(→))＝eq\o（BC，\s\up6（→））＋eq\o（CF，\s\up6（→））＝eq\o（BC,\s\up6（→)）＋eq\f（1,2)eq\o(CA，\s\up6（→)）＝eq\o（BC,\s\up6（→））＋eq\f（1，2)（eq\o（BA，\s\up6（→））－eq\o（BC,\s\up6(→))）＝eq\f（1，2)（eq\o（BA，\s\up6(→））＋eq\o（BC，\s\up6(→）））＝eq\f（1，2）（eq\o（BC,\s\up6（→))－eq\o(AB,\s\up6(→)）)＝eq\f（1,2)(λb－a)．∴eq\o(EF,\s\up6（→)）＝eq\o（BF，\s\up6（→))－eq\o(BE,\s\up6(→）)＝eq\f（1，2）(λb－a）－eq\f（1,2）（b－a)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)λ－\f（1，2）））b＝eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）λ－\f(1，2))）·\f(1,λ）))eq\o（BC，\s\up6(→））。又E，F,B，C四点不共线,∴eq\o（EF,\s\up6(→）)∥eq\o(BC，\s\up6（→）)，即EF∥BC.【例2】证明：如图所示，设eq\o(AB，\s\up6(→)）＝a，eq\o（AC,\s\up6(→))＝b，则|a|＝｜b｜，eq\o(BC，\s\up6(→)）＝eq\o(AC,\s\up6（→)）－eq\o（AB，\s\up6（→））＝b－a。∵D是BC的中点，∴eq\o(AD，\s\up6（→）)＝eq\f（1，2)（eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o（AC,\s\up6(→）))＝eq\f(1,2)(a＋b）．∴eq\o（AD,\s\up6（→)）·eq\o(BC,\s\up6（→）)＝eq\f（1,2）（a＋b）·（b－a)＝eq\f（1，2)（｜b|2－|a｜2)＝0。∴eq\o（AD,\s\up6（→))⊥eq\o(BC，\s\up6（→)）。∴AD⊥BC.【例3】解：设eq\o（AB，\s\up6（→)）＝a，eq\o（AD，\s\up6(→））＝b，a与b的夹角为θ,则｜a｜＝3，｜b|＝1，θ＝eq\f（π,3）。∴a·b＝｜a||b｜cosθ＝eq\f（3,2）。又eq\o(AC，\s\up6(→)）＝a＋b，eq\o(DB，\s\up6(→)）＝a－b，∴|eq\o(AC,\s\up6(→)）｜＝eq\r（|\o(\o(AC,\s\up6(→))|2,\s\up6（）))＝eq\r（a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(13），｜eq\o（DB，\s\up6(→))｜＝eq\r(\o(｜\o(DB，\s\up6(→))|2，\s\up6（)))＝eq\r（a－b2)＝eq\r（a2－2a·b＋b2)＝eq\r（7）。∴AC＝eq\r(13),DB＝eq\r（7）.【例4】正解：证明：∵eq\o（AB,\s\up6（→）)＝(1，－1），eq\o(CD,\s\up6(→））＝（3,－3),1×(－3）－（－1)×3＝0，∴eq\o（AB，\s\up6(→））∥eq\o（CD，\s\up6（→)）.又eq\o(AC，\s\up6（→))＝(－1，1），eq\o(AB，\s\up6（→)）＝(1，－1），而－1×（－1）－1×1＝0，∴eq\o(AB，\s\up6(→)）∥eq\o(AC,\s\up6(→）)，∴A，B，C，D四点共线，∴AB与CD不平行．1．△ABC中，＝，且与的夹角为120°，则△ABC是(）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．斜三角形2．在△ABC中，∠C＝90°，＝（k，1），＝（2,3)，则k的值是（)A．5 B．－5 C. D．3．在△ABC中,若(＋)·（－)＝0，则△ABC为（)A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．形状无法确定4．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·,则点O是△ABC的(）A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高线的交点5．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，＝，且＝,则·为（)A．1 B. C．－1 D．答案：1．C2．A由题意，得＝－