数学导学案：两角和与差的正弦、余弦、正切公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3．1。2两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．能根据两角差的余弦公式导出并记住两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并灵活运用．2．能熟练地把asinx＋bcosx化为Asin（ωx＋φ)的形式．和角、差角公式如下表：名称公式简记差的正弦sin（α－β)＝____________S（α－β)差的余弦cos(α－β)＝____________C(α－β）差的正切tan（α－β）＝____________T(α－β)和的正弦sin(α＋β)＝____________S(α＋β)和的余弦cos（α＋β）＝____________C(α＋β)和的正切tan（α＋β)＝____________T（α＋β)逻辑联系（1)与差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立,即sin(α±β）≠sinα±sinβ，cos(α±β)≠cosα±cosβ,tan(α±β）≠tanα±tanβ.（2)和差角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差角公式的特例．如sin(2π－α）＝sin2πcosα－cos2πsinα＝0×cosα－1×sinα＝－sinα.当α或β中有一个角是eq\f（π，2）的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便．(3）使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin（α＋β）cosβ－cos(α＋β）sinβ时，不要将sin（α＋β）和cos(α＋β)展开,而应采用整体思想，进行如下变形：sin（α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin［（α＋β)－β]＝sinα。这也体现了数学中的整体原则．（4）注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C(α－β），C（α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S（α－β),S（α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．【做一做1－1】若tanα＝3，tanβ＝eq\f(4，3），则tan(α－β)＝（）A．－3 B．－eq\f（1，3） C．3 D.eq\f(1,3)【做一做1－2】sin75°的值为()A.eq\f(\r（2)－1,2) B。eq\f(\r(2)＋1，2） C.eq\f(\r（6）－\r(2）,4） D.eq\f（\r（6）＋\r（2),4）【做一做1－3】cos75°＝__________.答案：sinαcosβ－cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβeq\f（tanα－tanβ，1＋tanαtanβ)sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβeq\f（tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)【做一做1－1】Dtan（α－β)＝eq\f(tanα－tanβ，1＋tanαtanβ）＝eq\f(3－\f（4，3)，1＋3×\f(4，3）)＝eq\f(1,3）。【做一做1－2】Dsin75°＝sin（45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝eq\f（\r（6）＋\r(2)，4)。【做一做1－3】eq\f（\r(6)－\r（2）,4）cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝eq\f(\r(2)，2）×eq\f(\r(3），2)－eq\f（\r(2)，2）×eq\f(1,2）＝eq\f(\r（6)－\r（2)，4)。化简asinα±bcosα（ab≠0）剖析：逆用两角和与差的正弦公式，凑出sinαcosβ±cosαsinβ的形式来化简．asinα±bcosα＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r（a2＋b2)）sinα±\f(b,\r（a2＋b2))cosα）），∵eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a，\r(a2＋b2））））2＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（b,\r(a2＋b2)）))2＝1，∴可设cosθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)),sinθ＝eq\f（b，\r(a2＋b2)).则tanθ＝eq\f（b，a)（θ又称为辅助角）．∴asinα±bcosα＝eq\r（a2＋b2）(sinαcosθ±cosαsinθ)＝eq\r（a2＋b2)sin（α±θ)．特别是当eq\f(b,a)＝±1、±eq\r(3)、±eq\f（\r（3),3)时,θ是特殊角，此时θ取±eq\f(π,4)、±eq\f(π，3)、±eq\f（π,6）。例如，3sinα－3eq\r(3)cosα＝eq\r（9＋27）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r（9＋27））sinα－\f（3\r（3），\r（9＋27）)cosα)）＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）sinα－\f(\r(3）,2)cosα)）＝6eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(sinαcos\f（π，3）－cosαsin\f(π,3）)）＝6sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（α－\f（π，3)）)。在公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin（α＋φ）中,(1）sinφ＝eq\f（b，\r（a2＋b2）），cosφ＝eq\f(a，\r(a2＋b2）),在使用时不必死记上述结论，而重在理解这种逆用公式的思想．(2）asinα＋bcosα中的角必须为同角α,否则不成立．题型一给角求值问题【例1】求下列各式的值:(1）sin347°cos148°＋sin77°cos58°；(2）eq\r（3）sineq\f（π，12）＋coseq\f（π，12）.分析：本题(1）可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解,本题（2）可构造两角和的正弦公式求解．反思:解答此类题目的方法就是活用、逆用C（α±β），S（α±β）公式,在解答过程中常利用诱导公式实现角的前后统一．题型二给值（式)求值问题【例2】已知cosα＝eq\f（1，3）,α∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2）)）,sinβ＝－eq\f(3,5），β是第三象限角．求sin(α＋β)，sin（α－β)的值．分析：求出sinα,cosβ的值,代入公式S(α±β)即可．反思：分别已知α，β的某一三角函数值，求sin（α±β)，cos(α±β），tan(α±β)时，其步骤是：（1)利用同角三角函数基本关系式求出α，β其余的三角函数值;(2)代入公式S(α±β），C(α±β)，T（α±β）计算即可．题型三利用角的变换求值【例3】已知cos（α＋β）＝eq\f(4,5),cos(α－β)＝－eq\f（4,5）,eq\f(3π,2)＜α＋β＜2π，eq\f(π,2)＜α－β＜π，求cos2α的值．分析：解答本题关键是探寻α＋β，α－β与2α之间的关系，再利用两角和的余弦公式求解．反思：解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角"表示出来．(1）当“已知角”有两个时，“所求角"一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，如本题．（2）当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．（3）角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．题型四易错辨析【例4】已知π＜α＜α＋β＜2π,且满足cosα＝－eq\f(12,13），cos（α＋β)＝eq\f（17\r(2)，26）,求β.错解：∵cosα＝－eq\f（12，13),cos（α＋β)＝eq\f（17\r(2)，26)，且π＜α＜α＋β＜2π,∴sinα＝－eq\f（5，13），sin（α＋β)＝－eq\f（7\r(2),26).∴sinβ＝sin[（α＋β）－α］＝sin（α＋β）cosα－cos(α＋β）sinα＝eq\f（\r(2），2）。∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π。∴β＝eq\f(π,4）或eq\f（3π,4)。错因分析：以上错解是由于求β的三角函数值时，函数选择不当所致．由于满足sinβ＝eq\f(\r(2）,2）且β∈(0,π)的β有两值,两值的取舍就是个问题，事实上cosβ＝－eq\f(\r(2）,2），故β＝eq\f(3π，4），只有一值，故应计算角β的余弦值．反思:此类题目是给值求角问题,一般步骤是：(1）先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据（1)所得范围来确定求tanα，sinα,cosα中的一个值，尽量使所选函数在(1）得到的范围内是单调函数；（3）求α的一个三角值；（4)写出α的大小．答案：【例1】解：（1)原式＝sin（360°－13°)cos(180°－32°）＋sin(90°－13°)cos(90°－32°）＝sin13°cos32°＋cos13°sin32°＝sin（13°＋32°）＝sin45°＝eq\f（\r（2），2).（2）原式＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（\r(3),2）sin\f（π，12)＋\f(1,2）cos\f(π，12))）＝2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(sin\f（π,12)cos\f（π,6）＋sin\f（π,6)cos\f（π，12)）)＝2sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π，12)＋\f（π,6）))＝2sineq\f（π,4)＝eq\r（2）.【例2】解：∵cosα＝eq\f（1，3)，α∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)）），∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2,3）eq\r(2).∵sinβ＝－eq\f（3，5），β是第三象限角,∴cosβ＝－eq\r(1－sin2β)＝－eq\f（4,5).∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(2,3）eq\r(2）×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(4，5）)）＋eq\f(1，3)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（3，5)))＝－eq\f（3＋8\r(2），15).sin（α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(2,3)eq\r（2)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(4,5）））－eq\f（1，3)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（3，5）））＝eq\f（3－8\r(2),15).【例3】解:∵cos（α＋β)＝eq\f(4，5），eq\f（3π,2）＜α＋β＜2π，∴sin(α＋β)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(4,5）))2）＝－eq\f（3,5）。∵cos(α－β）＝－eq\f(4，5)，eq\f(π，2)＜α－β＜π，∴sin（α－β)＝eq\r(1－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(4,5)）)2）＝eq\f（3,5）.∴cos2α＝cos［(α＋β)＋（α－β）］＝cos（α＋β）cos(α－β）－sin(α＋β）sin(α－β)＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（4，5)））－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（3,5)))×eq\f(3,5)＝－eq\f(7，25).【例4】正解：∵cosα＝－eq\f(12,13）,cos(α＋β）＝eq\f（17\r(2），26)，且π＜α＜α＋β＜2π,∴sinα＝－eq\f(5，13)，sin(α＋β)＝－eq\f(7\r(2）,26).∴cosβ＝cos[(α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β)sinα＝－eq\f（\r（2），2).∵π＜α＜α＋β＜2π，∴0＜β＜π。∴β＝eq\f（3π,4）.1．（2011·山东青岛高三质检)已知cosα＝，且α∈，则等于（）A． B．－7 C. D．72．化简的结果是（)A． B．C． D．3．＝__________.4．在△ABC中，cosA＝且cosB＝，则cosC的值是__________．5．已知tan（α－β）＝,tanβ＝，且α,β∈(0，π）．(1)求tanα的值；(2）求2α－β的值．答案:1．D由于α∈，则sinα＝＝，所以tan