2020-2021学年新人教A版（2019）高一数学暑假作业综合二十九（含解析）

综合二十九-【新教材】人教A版（2019）

高一数学暑假作业（含解析）

一、单选题

1.已知集合4={y|y=2尢-l,xeR},B={用/一3x<0},则()

A.-l&AB.而CBC.A(JB=BD.AC\B=B

2.下列各组函数中，表示同一函数的是()

A.y=x+1与y=咚^

B./W=虚产0(%)=%

C.一=㈤与g(x)=［案；7)

口加=吟与的={X<°o)

3.若l()a=lgb=C,则4,4c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<a<c

4.sin50°（1+V3tanl0。）的值为（）

A.-1B.OC.1D.2

5.点O,P,N满足=|OB|=|0C|,AM4-/VB+/VC=0,PA-^B=PBPC=

PC-两，则点。,N,P依次是△”。的（）

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，内心

C.夕卜心，重心，垂心D.外心，重心，内心

6.在复平面内，复数z==,下列说法正确的是（）

1—1

A.z的实部为1B.|z|=V2C.2=号D.z在第一象限

7.下列说法：

①一组数据不可能有两个众数；

②一组数据的方差必须是正数；

③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变;

④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率.

其中错误的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

8.如图，已知六棱锥P-4BCDEF的底面是正六边形，P4L平面ABC,则下列结论正

确的是（）

R

A.PB1ADB.平面/MB1平面PBC

C.直线BC〃平面PAED.直线CD_L平面PAC

二、多选题

9.

点，AD=2DC，E是AB的中点,BD与CE交于点、O,那么（）

A.OE+OC=0B.ABCE=-l

C.|01+0B+0C|=yD.\DE\=^-

10.如图，四棱锥P-ABC。的底面为矩形，PD_L底面ABC。，AD=1,PD=AB=2,

点E是PB的中点，过A,D,£三点的平面a与平面PBC的交线为/,则（）

A.，〃平面PAD

B.AE〃平面PCD

C.直线PA与/所成角的余弦值为匹

5

D.平面a截四棱锥P-ABCD所得的上，下两部分几何体的体积之比为|

11.下列说法正确的是（）

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A.某班4位同学从文学、经济和科技三类不同的图书中任选一类，不同的结果共

有64种

B.甲乙两人独立地解题，己知各人能解出的概率分别是：」，则题被解出的概率

吗

C.某校2(10名教师的职称分布情况如下：高级占比2()%,,中级占比50%,初级占

比30%,,现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取1()

人

D.两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是：

12.已知函数/'(x)=/+2区-a|(aeR),下列说法正确的是().

A.当a=0时,/(x)为偶函数；

B.存在实数小使得/(x)为奇函数；

C.当一1<a<1时，f(x)取得最小值a?；

D.方程/•(%)-m=0可能有三个实数根.

13.已知函数/'(x)=sinL+cosnx(rieN*),则()

A.对任意正奇数〃，f(x)为奇函数

B.对任意正整数〃，f(x)的图象都关于直线x=Z对称

4

C.当n=3时，f(x)在隔］上的最小值当

D.当n=4时，f(x)的单调递增区间是+(keZ)

三、填空题

14.若点P(4,2)在函数/'(%)=10gM的图象上，点在/(x)的反函数图象上，则

m=.

15.已知向量区石满足I五1=3,|K|=1，若存在不同的实数及，2.2^2*0),使得

弓=4源+3%方，且©—初•©—方)=0(i=1,2)，则|心一七|的取值范围是

四、多空题(本大题共2小题，共10.0分)

16.四面S-4BC中，S41面ABC,“是△SBC的垂心，且4Hl面SBC,则三对对棱

S4与3C,S3与AC,SC与A8中互相垂直的有_(1)_对；若H也是△SBC的重心,

则二面角S-BC-A的正弦值为_(2)_.

•H

17.2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史

得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年

文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”

这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N=N。­

2u％为表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的;

经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的?至右据此推测良渚古

城存在的时期距今约在5730年到年之间.(参考数据：lg2«0.3,lg7«0.84,

lg3x0.48)

四、解答题

18.已知函数/'(x)=sin(^-+x)sin(?-x)+V3sinxcosx.

(1)求/X》的值；

(2)在AABC中，若/(今=1,求s讥B+s讥C的最大值.

19.如图，已知乙4BC火力B=AC=5,BC=8，点P从B点沿直线BC运动到C点，过

尸做BC的垂线3记直线小左侧部分的多边形为0,设BP=x,0的面积为S(x),H

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的周长为L(x).

(/)求S(x)和L(x)的解析式；

(〃)记尸。)=翟，求FQ)的最大值

20.某市为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了1000名高一学生，并获得了他们

一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表.

组号分组频数频率

1[0,5)500.05

2[5,10)a0.35

3[10,15)300b

4[15,20)2000.20

5[20,25)1000.10

合计10001

(1)求小匕的值，并作出这些数据的频率分布直方图(用阴影涂黑);

频率

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

时间

051015202530

(2)根据频率分布直方图估计该组数据的平均数及中位数(中位数精确到0.01)；

(3)现从第4,5组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中任意抽取2人进行

调研忽E楼梦》的阅读情况，求抽取的2人中至少有一人是5组的概率.

21.己知复数z满足：z2=3+4i,且z在复平面内对应的点位于第三象限.(1)求复数

Z；

(2)设QER,且K¥)2°】9+a|=2,求实数。的值.

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22.已知函数/Xx)=电(10*+1)-[x,g(x)=，J,函数g(x)是奇函数.

(1)判断函数/(x)的奇偶性，并求实数a的值；

(2)若对任意的t€(0,+8),不等式g(f2+1)+。(一块)>o恒成立，求实数k的取

值范围；

(3)设/i(x)=/(x)+|x,若存在xG(-8,耳,使不等式g(x)>h[lg(10b+9)]成立，

求实数b的取值范围.

23.如图，已知梯形ABCO中，AD//BC,AB1AD,矩形EDCF1平面ABC。，且AB=

BC=DE=2,AD=1.

(I)求证：ABLAE；

(II)求证：DF〃平面ABE；

(HI)求二面角B-EF-。的正切值.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查元素与集合的关系以及集合与集合的关系，属于基础题.

由指数函数的性质求得集合A,解不等式求得集合8,再判断集合的关系以及元素与集

合的关系即可.

【解答】

解：A—(y\y=2X-l,x&R]=(-1,+oo),B={x|x2-3%<0}=[0,3],

所以一10AV5GB，

B^A,所以力UB=4,4C8=B,

故选D.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查同一函数概念，属于基础题.解题可根据函数的定义域，解析式是否相同逐个

检验即可.

【解答】

解：/(x)=x+l的定义域为R,9。)=子的定义域为{尤氏芋0},定义域不同，不

是同一函数，A错误；

〃久)=虚留的定义域为电+8)，9。)=x的定义域为R，定义域不同，不是同一函数，

8错误；

C/O)=团定义域为R,g(x)=0定义域为非零实数，定义域不同，不是同

一函数，C错误；

D.f(x)=x^={X',g(t)=『；:/A两个函数的定义域为R,定义域和解

析式都相同，是同一函数，。正确.

故选。.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查指数运算和对数运算法则，属于基础题，可以采用特殊值法判断即可.

【解答】

解：令a=1,贝！=10,a<c<b,

故选B.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的化简，求值，是基础题.

切化弦通分得Sin50。(小Q与江)，利用辅助角公式得到2cos50：n5。。,二倍角公式,

COS10COS10

诱导公式即可求得值为1.

【解答】

解：sin50°(1+V3tan10°)

「sin10°icoslO°+V3sin10°

=sin50°（l+6—中）=sin500（-

2（cos60°cosl0°+sin60°sin100）

=sin50°

2cos500sin50°_sin1000_sin（900+10。）_coslO。

coslO°cos10°

故选c.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了向量的几何运用，涉及向量的加减运算，向量的数量积以及三角形三心的判

断，考查了分析和运用能力，属于中档题.

根据|就|=|而|=|玩j，得到点O为△力BC的外心；再根据赤+而+近=6,得

到Z为44BC的重心;再根据mPB=PBPC=PC-同得到点P在AC边的垂线上，

同理可得点P在其他边的垂线上，进而得到点P为A4BC的垂心，进而得到答案.

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【解答】

解：因为I函I=I而I=I芯所以点。到三角形的三个顶点的距离相等，

所以点。为△ABC的外心；

由何+而+配=b，得福+而=一配=前，

由中线的性质可知点N在AB边的中线上，

同理可得点N在其他边的中线上，

所以点N为△4BC的重心；

由方-~PB=~PB-~PC=~PC-~PA，

得同-~PB-PC=PB(PA-PC)=7B-CA=O,

则点尸在AC边的垂线上，同理可得点尸在其他边的垂线上，

所以点尸为AABC的垂心.

故选C.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，复数的

几何意义，复数共软复数，是基础题.

利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案.

【解答】

解：复数z=^=需篙=i(l+i)=—l+i，

故Z的实部为—1,A错误；

怙|=J(-4)2+12=a,B正确；

z=—1-i,C错误；

z对应的点(一1,1)在第二象限，。错误.

故选B.

7.【答案】C

【解析】解：对于①，例如：3,3,3,3,4,4,4,4,1,2,5,有两个众数，

•••一组数据不可能有两个众数不正确，.•.①错误；

对于②，一组数据的方差不一定是正数，也可能为零，.•.②不正确：

对于③，有方差的计算公式52=；[（与-7）2+。2-1）2+-+（如一£）2],一组数据

中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个

常数，两数进行相减，故方差不变，二③正确；

对于④，小长方形的长为组距，高为黑，所以小长方形的面积为：组距X^=频率,

④正确；

故选：C.

举例判断①的正误；数据的方差可能是。判断②的正误;利用方差关系判断③的正误；

频率分布直方图判断④的正误；

本题考查命题真假的判断，方差众数以及频率分布直方图的应用，基本知识的考查.

8.【答案】。

【解析】

【分析】

本题主要考查线面、面面垂直的的判定和性质定理的运用，考查了线面平行的判定和性

质，考查了空间想象能力，属于中档题.

对于选项4,根据线面垂直的判定定理和性质即可排除，

B选项，假设若平面P4B，平面PBC,根据面面垂直的性质进一步得出BCJ.AB,这与

底面是正六边形不符，所以3不正确；

C选项，假设直线BC〃平面PAE,根据线面平行的性质得出BC〃4E,与已知矛盾，故

排除，

。选项，CD1PA,CD1AC,进而可证直线CD_L平面PAC,进而得出结果.

【解答】解：因为AO与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，

所以A不正确；

过点A作PB的垂线，垂足为H,

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p

若平面P4B1平面PBC,易证AH1平面PBC,

又BCu平面PBC,

所以4H1BC,

又PAIBC,PA.AH是平面尸48内相交直线，

所以BC1平面PAB,

乂ABu平面PAB,

则BCL4B,这与底面是正六边形不符，所以8不正确；

若直线8C//平面尸4E,BCc5]2®ABCDEF,^-^ABCDEF=AE,

则BC〃4E,但8c与AE相交,

所以C不正确.

在。中，因为P4J■平面ABC,CDu平面A8C,

所以CD1PA,

设4B=1,则AC=2,

在△4BC中，AC=V1+1-2X1Xlcosl20°=V3>

所以=4。2,所以co_LAC,

又24C\AC=A,PA.ACu平面PAC,

所以直线CD1平面PAC,故。正确.

故选D.

9.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的坐标运算，平面向量共线的充要条件和向量的几何运用，属于中

档题.

建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算和平面向量共线的充要条件得0（0,?）,

再利用平面向量的坐标运算，逐项计算得结论.

【解答】

解：因为A/IBC是边长为2的等边三角形，

E是AB的中点，所以荏=说，

所以以E为坐标原点，EB为x轴，EC为y轴，建立平面直角坐标系如下图：

则4（一1,0）,B（l,0）,C（0,V3）.

又因为同=2比，即。为线段AC靠近点C的三等分点，所以竽）.

设0（0,。，则前=6"_手），而说=（$_手），

由。、0、8三点共线得［x（-等）一g（t-雷）=0，

解得t=f,即0（0多，因此。是EC的中点，故A正确.

又因为南=（2,0）,CF=（0,-V3）.

所以超•方=0，故B不正确；

又因为瓦？=（一1,一日），南=（1,一分OC=（0,^）,

所以市+而+小=（0,-y）,

因此|立?+而+对=争故C正确；

因为丽=（/笫），

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所以I尻I=手，故。不正确.

故选AC.

10.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查了直线与平面平行的判定定理与性质定理、直线与平面垂直的判定定理与性质

定理、异面直线所成的角与棱锥的体积公式，属于中档题.

选项A,通过作/PBC的中位线找到平面a与与平面尸8c的交线1=直线EF,再根据直

线与平面平行的判定定理即得；

选项B,由4E与。尸相交得出力E与平面PC。相交；

选项C,由〃/AD得直线P4与直线/所成的角即4PA。,在直角三角形中求出cos"8。即

可；

选项。，由PF_L平面AOFE及四边形4DFE为直角梯形可求出力YDFE，再求出Vp-.BCD，

得到两个体积的比值，进一步就得到平面a截四棱锥P-4BCD所得上、下两部分几何体

的体积之比.

【解答】

解：取PC中点凡连接。F、EF.

A由EF为APBC中位线得EF〃BC,

5LAD//BC,

所以4D〃EF,

所以点A、D、F、E四点共面，

故平面a即平面ADFE,

故交线/即直线EF,由IPAD,ADu平面PAO,得/〃平面PA。，故选

项A正确；

8.由EF〃/1D,EF=%。知四边形ADFE为梯形，直线4E与直线OF相交，。尸u平面

PCD,

所以直线AE与平面PCD相交，故选项8错误；

C.因为所以直线PA与/所成的角即直线PA与直线AZ）所成的角，即"ZD,

易知，4P4D为直角三角形，PD=2,AD=1,

所以P4=y/PD2+AD2=V5.

所以COSNP/W="=:=在，故选项C正确；

PA\/55

D易知，4PDC为等腰直角三角形，由F为底边PC的中点知。尸1PC,

又易知4。_L平面PCD,PCu平面PCD,

所以4。1PC,

又AD〃EF,

所以EF1PC,

由。尸与EF为平面AOFE内两相交直线，知PC1平面AOFE,且易得四边形ADFE为

直角梯形，

故11（5+1）'能_1

Vp-ADFE=qXS^ADFEXPF=-X4---------xV2=->

「114

1!”=qxS长方步xPD=-x1x2x2=-,

所以Vp-ADFEWp-4BCD==3：8,

所以平面a截四棱锥P-4BCD所得上、下两部分几何体的体积之比为3:5,故选项。正

确.

故选ACD.

11.【答案】CD

【解析】

【分析】

本题考查分步乘法计数原理，相互独立事件同时发生的概率及对立事件，分层抽样及古

典概型的计算，属于中档题.

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由题意，根据概率统计的基本知识，逐个选项验证即可.

【解答】

解：对于A,第一个同学有3种选择，同理其他的三名学生也都有3种选择，则不同的

结果有3x3x3x3=81种，故4错；

对于B,••他们各自解出的概率分别是则此题不能解出的概率为(1一》.(1—3=|,

则此题能解出的概率为14=|,故B错；

OO

对于C,高级教师应抽取50x20%=10人，故C正确；

对于D,两位女生和两位男生站成一排照相，基本事件总数n=4：=24,

两位女生不相邻包含的基本事件个数m=禺•用=12,

二两位女生不相邻的概率2=々=n=：,故。正确.

故选CD.

12.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题主要考查了分段函数的奇偶性、单调性、最值、根的情况，属于中档题.

考虑“是否等于零，即可研究奇偶性判断4和B；将函数写成分段函数，结合二次函数

研究单调性即可求其最小值、研究根的情况，判断C和。，即可解答.

【解答】

解：函数f(%)=/+2忱-Q|(aeR)

当a=0时，/(x)=%2+2|x|,/(—%)=(―%)2+2|—%|=7+2|%|=f(%)为偶函数，

故A正确

当QHO时，由/(a)=Q?J(_Q)=+4|Q|,则/(a)+/(-a)=2小+4］回。函数

不可能为奇函数，故8错误；

〃、2Ioi।fx2+2%—2a,x>a+l)2-1—2a,x>a

f(x)=x+2…l=—x+2a,…=Q—1)2—i+2a,…

当-l<a<l时，xNa时，函数单调递增，所以最小值为/'(a)=a?,x<a时，函数

单调递减，所以分f(x)>/(a)=a2,

所以函数的最小值为/(a)=a2,故C正确；

若-l<a<l时，函数在(一8,a)上递减，在(a,+8)上递增，方程f(x)-巾=0最多有

2个根，

若aw-1时，函数在(一8,—1)上递减，在(—1,+8)上递增，方程f(x)—TH=0最多有2

个根，

若a>1时，函数在(-8,1)上递减,在(1,+8)上递增，方程/(X)-m=0最多有2个根，

所以方程/(》)-皿=0不可能有三个实数根，。错误.

故选AC.

13.【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查正余弦函数的性质，考查奇函数的判定，考查函数图象的对称性，考查函数函

数单调性及函数单调区间，涉及到导数在研究单调性中的应用，同角三角函数关系式,

诱导公式等，属于较难题.

用特殊值法可判断4根据(x)的图象都关于直线x=3对称，必有/")结合

诱导公式可判断B;n=3时，通过求导判断出函数在[0,：)上单调递减，在《，外上单调

递增，得到在此区间上函数最小值，可判断C;n=4时，通过同角三角函数关系式及二

倍角公式得到f(x)=；cos4%+；,求得此函数的递增区间，对比可判断江

【解答】

解：取九=1,则f(%)=sin%+cosx,从而/'(TT)+/(—兀)=-2H0,此时/'(%)不是奇

函数，则4错误；

因为/d一％)=,in"(]—%)+c°s，(1—%)=cosnx+sir1nx=/(%),

所以/(%)的图象关于直线x=?对称，则8正确；

当n=3时，/(久)=Ssir^xcosx-3cos2xsinx=3sinxcosx(sinx—cos%),

当％6[0,9时，f(x)<0；当图时，f(x)>0,

所以/(x)在[0,力上单调递减，在《昌上单调递增，

所以/⑸的最小值为/g)=(S'+(9=争故C正确；

当三=4时,/(%)=sin4%+cos4%

1

=(sin2x+cos2%)2—2sin2xcos2x=1--sin22x

y1-cos4x1,3

=1--------=-cos4Ax+

444

令2A:?r-7rW4XW2k?r,k€Z,

第18页，共28页

2-rjZQTTk?rkrr.—

解得：一1—(x4k€Z,

则/(x)的递增区间为卜?+?,(k6Z),则。错误.

故选BC.

14.【答案】-2

【解析】

【分析】

此题考查对数函数的性质及对数运算，考查反函数的性质.

由已知点(4,2)和点C，m)均在函数图象上，由此列式即可完成求解血

【解答】

解：点P(4,2)在函数f(x)=logM的图象上，

则10ga4=2,

解得Q=2,

所以/(%)=log2X，

点在f(x)的反函数图象上，

则点(；,在函数/(x)图象上，

所以zn=log2；--2.

故答案为-2.

15.【答案】[2,2V1)U[2近，2遍).

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积和向量模以及向量的几何意义，属于中档题.

利用向量线性运算结合数量积求出最值即可得出取值范围.

【解答】

解:(c-a)-(c-K)=[(A-1)a+3AK]­[(3A-1)K+Aa]

=92(2-1)+3A(3A-1)+[(A-1)(32-1)+3A2]-3cos0

=(18"-124)+(18A2-122+3)cos0=0,

2H0=cos0W0；♦4>0=cosOH-1,

i,-12+12cos02--3cos0cos。

/i+A.=~—,A.A.~~~~

i218+18COS03i218+I8cos06+6cos。

22

IQ-CJI=(4-.)20+31)2=(Ax-A2)(18+18COS0)

42cos0

=(a-Z—~~x)(18+18COS0)=(8-4COS0)e[4,8)U(8,12)

93+3cost/

•••|司一百Ie[2,2/)U[2/，2V3).

故答案为[2,2a)U[2&，2V3).

16.【答案】3

更

T

【解析】

【分析】

本题主要考查线面垂直的判定与性质、直线与直线位置关系判定以及二面角的求法.根

据“是△SBC的垂心，作辅助线，连接8修交SC于点O,连CH交SB于点E,连SH

交BC于点、F,利用线面垂直的判定与性质可证明S418C,SBJ.4C,SCA.AB；当”

也是△SBC的重心时，则△SBC为等边三角形，利用线面垂直的判定与性质可证明AC_L

AB,则△ABC为等腰直角三角形，进而可以得到乙4FS即为所求二面角的平面角，求出

N4FS的正弦值即可.

【解答】

解：如图，连接2月交SC于点。，连CH交SB于点E,连SH交BC于点F,连4凡

则有BD1SC,CE1SB,SF1BC,

•：S4_L平面ABC,

SA1BC,

又平面SBC,

：.SB1AH,

又；SB1CE,CEC\AH=H,

•••SB，平面AHC,

SB1AC,

同理可证SC1AB,

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故三对对棱S4与BC,SB与AC,SC与A8中互相垂直的有3对;

当”也是△SBC的重心时，则△SBC为等边三角形，

BF=CF,

vS4JL平面ABC,

•••SAX.AB,AB=AC,SA1AF,

1••SC1AB,SAr\SC=S,

.­.AB1平面SAC,

AC1AB,

・••△ABC为等腰直角三角形，

■■■AF1.BC,AF=BF=CF,

乙4FS即为所求二面角的平面角，

设BC=2x,则SF=gx,BF=AF=x,

在Rt△AFS中，SA=>/SF2-AF2=岳,

..SA>f2xV6

sin乙AAFS=——=-F=-=——，

SFV3x3

故答案为3；纹

3

17.【答案】

6876

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数模型的应用，对数运算及利用对数函数的单调性解不等式，属于一

般题.

把7=5730代入N=N。.2-磊可得每经过5730年衰减为原来的也再令2蚤>去两

边同时取以2为底的对数得即可求得T的取值范围.

【解答】

解：•••生物体内碳14的量N与死亡年数f之间的函数关系式为：N=N。.2-磊;

T=5730时，N=No-2T=墨

所以每经过5730年衰减为原来的点

由题意可知2』®>?，

7

两边同时取以2为底的对数得kg22V嬴>iog2|,

二>星=蚂工_12，

5730lg2Ig2

・•・T<6876.

,据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间，

故答案为，6876.

18.【答案】解：(1),."(％)=sin©+x)sin©-%)+8si?i%cos%

=-cos2x+@sin2x,

22

=sin(2x+£),

・•・燃)=L

⑵由解)=sin(4+3)=l,

而0<4<7T可得：

n

.,nnn即n4

A+-O=~Z,45=w.

3V3

:.sinB+sinC=sinB+sin—B)=-sinB+—cosB=V3sin(^+

v0<B<—,

3

・•・,VB+?V等,1<sin(B4-^)<1,

.1.sinB+s讥C的最大值为V5.

【解析】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，着重考查三角函数的辅助角公式的

应用，考查分析与推理能力，属于中档题.

(1)利用倍角公式与辅助角公式将/(x)=sin©+x)sinc一x)+V5siMxcosx化为：

f(x)=sin(2x+"即可求得/"(£)的值；

⑵由A为三角形的内角，/(令=sin(24+5=1可求得A=%从而sinB+sinC=

sinB+sin(y-B),展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得sinB+sinC的最大值.

19.【答案】解：(/)由题意得tan/?tanC:,

4

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，2,0<%<4

SQ)=

-^X2+6X-12,4<X<8

3%,0<%<4

依)=

--2%+6,4<%<8'

S(x),、

1

-xO<x<4

8f

1x2-16x+32

,4<x<8

4x+4

当04%<4时/(%)=2单调递增,

o

•••o<F(x)<I，

当44x48时，令t=x+4,8<t<12,

则y=_'T±Z=TT)+6，

,••y=-；«+手)+6在［8,477］上单调递增，在［4近,12］上单调递减,

二当t=4夕时，ymax=6-2V7.

•••6-2V7>|,

「(Mmax=6-2\/7.

【解析】本题考查分段函数模型的应用，涉及分段函数的最值，对勾函数的单调性，属

于中档题.

(/)根据实际意义，分段写出即可；

(〃)分段考察单调性，并求得各段上的最大值，然后比较可得，注意对勾函数的单调性

的应用.

2。.【答案】⑴根据频率分布直方表，可得｛温；搬罄葭黑常窦,

解得a=350,b=0.30,

频率分布直方图，如图所示:

(2)该组数据的平均数：%=2.5x0.05+7.5x0.35+12.5x0.3+17.5x0.2+22.5x

0.1=12.25,

由题图可知，中位数应在10至15之间，设中位数为x,

则0.05+0.35+0-10)x0.06=0.5,解得x*11.67,故中位数的估计值为11.67.

(3)由(1)中频率分布直方图知，第四组，第五组的频率之比为2:1,

所以从第4,5组中用分层抽样的方法抽取6人中第4,5组抽取的人数分别为4,2,

第4组的4人设为A2>A3,4第5组的2人，设为B],B2,

则从该6人中选出2人的基本事件有4力2，&&，&心，ArB2,A2A3,A2A4,

^2^19^2^2r^3^4*A3B1,A3B2，A4B1,A4B2,B1B2,共15种，

都是第4组的基本事件有H4,AtA3,AtA4,A2A3,A2A4,A3A4,共6种，

所以至少有一人是5组的概率p=1-卷=V.

【解析】本题考查统计数表，频率分布直方图，数字特征以及分层抽样与古典概型，属

于中档题.

(1)立足题中统计数表先结合频率以及频数得到关于m匕的方程并求解，然后容易得到

频率分布直方图；

(2)结合(1)中频率分布直方图先求得平均数，然后依据题意可得中位数应在10至15之

间，设中位数为x,利用中位数的定义得到关于x的方程0.05+0.35+(X-10)x0.06=

0.5并进行求解即可得到结果；

(3)结合(1)中频率分布直方图运用分层抽样方法先确定从第4,5组抽取的人数分别为4,

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2,令第4组的4人设为a，A2,A3,4第5组的2人，设为当，B2,然后用穷举法列

举从这6人中任意抽取2人的不同组合，然后找出满足题意的不同组合情况数，最后运

用古典概型概率计算公式即可得到结果.

21.【答案】解：(1)设2=，+由«4€/?),

则z?=(c+di)2=c2—d2+2cdi=3+4i,

c2—d2=3,解得｛二:二河滑(舍去》

,2cd=4,

Az=—2—i.

1+z-1-i1+i(1+i)2

(II)z=-24-i,

•,1+3-1+i1-i2

...(l+z)2019-j2019_j2016+3_1504x4+3_(j4)504.)3=_j,

•••|a-i|=yja2+1=2,

a=+V3-

【解析】本题考查复数的四则运算，复数的代数表示及其几何意义，共朝复数，复数的

模，属于中档题.

(1)设2=。+由«,46/?),代入z2=3+4i,利用复数相等求出c,d,即可得解；

(口)由(I)求出共轨复数，根据复数的四则运算，结合复数的模的公式，得到关于。的

方程，解之即可.

22.【答案】解：(1)由函数f(x)=电(10，+1)-：％,g(x)=攀,

可得f(X)和g(x)的定义域均为R；

1

v/(-%)=ig(io-x+1)+2%

111+10%1

=峋而+1)+于=联10X)+2X

=lg(l+10x)-lglOx+|x=lg(l+10*)=/(x),

=f(x)，则/(x)是偶函数；

・•・函数g(x)是奇函数，g(x)的定义域为R；

••g(0)=0,即-^―=0>