高考练习解三角形综合练习题

解三角形综合讲义

前言…..........................................................02

近七年全国I卷高考真题...........................................06

第1讲解三角形基础.............................................10

1.1正余弦定理...............................................10

1.2面积....................................................11

1.3判断三角形形状..........................................11

1.4解的个数问题............................................12

1.5证明恒等式...............................................13

1.6实际应用.................................................14

第2讲最值（范围）.............................................17

2.1一般最值.................................................17

2.2结合均值定理............................................18

2.3几何法（旋转大法等）....................................19

第3讲正余弦定理的综合应用....................................20

第4讲解三角形与其它知识综合.................................26

1

前言

【高考命题规律】

年份题号题型考查内容思想方法分值

2011年理17解答题利用正弦定理边化角，转化为函函数思想方程思12分

数求最值想

文15填空题三角形面积，公式选择不一样，方程思想5分

突破口就不同，可正弦，可余弦

2012年理17解答题齐次式结构，消元，两角和差以消元思想12分

及面积公式

文17解答题齐次式结构，两角和差以及面积数形结合思想12分

公式

2013年理17填空题角的转化，以及正余弦定理方程思想12分

文10选择题二倍角公式，余弦定理转化与划归5分

2014年理16填空题齐次式结构数形结合5分

文16填空题实际应用，以及仰角俯角的概念方程思想5分

2015年理16填空题可用极限极限，数形结合5分

文17解答题齐次式结构特殊化12分

2016年理17解答题齐次式结构，射影定理数形结合12分

文4选择题余弦定理5分

2017年理17解答题齐次式，面积+余弦定理转化与划归12分

文11选择题两角和差+正弦定理消元5分

从全国I卷近七年的考试题来看，文理卷都是各出一个题，或选填，或解答题第•题，

整体来说难度不大。考查的知识点方面，齐次式结构类型居多，往往利用正弦定理转化边角后,

求出其中一个角或者得到一个新的关系式，从而进行下一步的运算。不要轻易约分，不要轻易

约分，不要轻易约分。另外，利用三角形内角和为1800进行消元转化乜是常用手段，至于消

谁，就看谁好消了。这一节内容跟前面所学两角和差以及辅助角公式等内容结合较为紧密，学好

前面内容是学好这一节的基础。另外，如果碰到较难的题目，可用给予条件较多的的三角形突破,

有时要有方程（不等式）思想，建立未知量间的等量（不等）关系从而解决问题。当然，将三

角形建系坐标化有时也不失为一种好方法。备考方面，稳固基础，多去尝试，从不同的角度去

看待理解问题，比较不同思考角度间的优劣，该如何去做选择。

备注：本教案编写时为年级统一之方便，添有解的个数及证明恒等式等内容，高考一般不

做要求，高三复习时可删去不做讲解。另涉及均值不等式内容方面，单独分离，高二新学

此节内容时未有学及，可删去。

2

【基础知识】

一、正弦定理

适用范围：任意三角形:

本质：边和角的关系；

基本概念］作用：边和角的互换；

公式："=1=「=2R（2R为外接圆的直径）（会证明）

sinAsinBsinC

变形：a=sinA-2/?,sinA=JL;

I2R

大边对大角：在中，67>Z?<z>sinA>sinB<=>A>B

解三角形（任意三角形）：a,b,c和A,用C六个元素中，根据已知的元素，求未知：

f已知三角形两角和任意一边，求其它边角；

正弦定理可解决的两类解三角形问题《

〔已知三角形两边和其中一边对角，求其它边角;

信息挖掘

CA+RC

Isin,cos=sin;

解三角形隐含的信息《2-2—2

sinC=sin［k（A+8）］=sin（A+J?）,cosC=-cos（A+B）;

l三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边;

1、正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边.或是角的正弦值是

否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则谨慎处理

例如：（1）sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C<^>a1+b1-ab=^

（2）bcosC+ccosB=6/=>sinBcosC+sinCeosB=sinA（恒等式）

（3）he_sinBsinC

ersin2A

2、角平分线定理（熟悉）

ARDE）

如图，设AO为AABC中N84。的角平分线，则二—二—

ACCD

简单证明：

法1：过。作。E〃AC交于E,然后利用相似即可

法2：正弦定理，自己书写

3、射影定理：〃=6cosC+ccos6（熟悉）（其实，就是个齐次加两角和差，画图更直观）

3

二、余弦定理

余弦定理的内容（向量证明）

cr=b1+（T-2hccosA

已知三边，求其三角

运用余弦定理可解决两类三角形问题

已知两边和其夹角，求第三边和其它两个角

1、变式：

,、.Z?2+c2-a2

（1）cosA=---------

2bc

①此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出4是钝角还是锐角

当从+。2>〃2时，cosA>0,即A为锐角；

当"+，2=〃2（勾股定理）时，cosA=0,即A为直角；

当时，cosA<（）,即A为钝角

②观察到分式为齐二次分式，所以已知ahc的值或者。：:c均可求出cosA

（2）a?=（0+c）2—2bc（l+cosA）此公式在己知力+c和be时不需要计算出儿c的值,

进行整体代入即可

2、中线长定理（了解）A

三角形中线定理：如图，设AO为A4BC的一条中线，

则AB2+AC2=2（AO2+BZ）2）//\

三、面积公式

基本公式：S=_absinC=_bcsinA=_acsinB

（1、根赢度直接求出：C=kA-BfsinC

重要技巧：求第三个角的正弦值《

[2、根据公式:sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

三角形其他面积公式:

3S=—ah（。为三角形的底，〃为对应的高）

（2）S=—（«+b+c）〃（r为三角形内切圆半径）

2

S=—=2/?2sinAsinBsinC（R为三角形外接圆半径）（由正弦定理可推，不记）

4R

4

(3)海伦-秦九韶公式：s=…)(i)(p_c)/=；a+Hc)

(4)向量方法：S=(其中a,b为边a,b所构成的向量，方向任意)

坐标表示：a=(x,y),Z?(x,y),则5=」1丁-xy|

1221

11222

四、其他

1、熟记一些特殊角

sinl5°=cos75°=4",sin750=cosl50=痣十"

44

tan150=2-A/3,tan75°=2+有

2、两角和差的正余弦公式：

sin(A±B)=sinAcosB±sinBcosA

cos(A±8)=cosAcosB孑sinAsinB

3、辅助角公式：〃sinA+8cosB=尸防丁sin(A+e),其中tan外_

a

4、在AABC中，sin2A=sin2B=>2A=2Bor2A+2B=7r

5

【近七年全国I卷高考真题】

(2017理17)△的内角4氏。的对边分别为瓦。，已知A的面积为a2

ABCABC---------

3sinA

(I)求sin8sinC

(II)若6cosBcosC=1,4=3,求AA8C的周长

文的内角的对边分别为已知

(201711)AABCA,B,Ca,b,c.a=2,C=\/2,

sinB+sinA(sinC-cosC)=0,则C=()

(2016理17)

\ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c

(I)求。

(II)若c=J7,AA8C的面积为3百，求AABC的周长

2

2

(2016文4)\ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知〃=J^,c=2,cos4二,

则/?=()

(A)y/2(B)y/3(C)2(D)3

6

(2015理16)在平面四边形A5c。中，ZA=ZB=ZC=75°,BC=2,则A8的取值

范围是_________

(2015文17)已知分别是MBC内角A,8,C的对边，sin2B=2sinAsinC

(I)若a=b,求cos8

(II)若8=90°,且a=&求A4BC的面积

(2014理16)已知a,Ac分别为A45C的三个内角48,。的对边，a=2t

且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则\ABC面积的最大值为

(2014文16)如图，为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点

测得M点的仰角NMAN=60°,。点的仰角NC4B=45°,以及NMAC=75°；从C点

测得ZMCA=60°.已知山高BC=100/n,则山高MN=m

7

(2013理17)如图，在A4BC中，ZABC=90°,AB4,8c=1,P为AABC内一

点.NBPC=96

(I)若P8=l•，求PA

2

(II)若NAPB=150°,求tanNPBA

(2013文10)已知锐角A4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

23cos*A+cos2A=0,〃=7,c=6则力=()

(A)10(B)9(C)8(D)5

(2012理17)已知a,b.c分别AABC三个内角A,B,C的对边，

acosC+y/3asinC-b-c=0

(I)求A

(H)若a=2,AABC的面积为求

8

(2012文17)已知。，"c分别为AABC三个内角力,氏。的对边，c=JSasinC-ccosA<,

(I)求A

(II)若〃=2,AABC的面积为用，求b,c

(2011理16)在A43C中，B=60\AC=>/3,则43+23C的最大值为

(2011文15)AA8C中，8=120°,AC=7,AB=5,则A4BC的面积为

9

第1讲解三角形基础

1.1正余弦定理

1、（2017.12上海虹口区一模）在AA8C中，所对的边分别是a,0,c,若

a:b:c=2:3:4,贝UcosC=___

2、（2017吉林二调）在AA8C中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c,若。=不,b=3,c=2,

则角A=（）

n7t7t冗

（A）-（B）—（C）—（D）—

6432

3、（2017.5北京丰台测试）在A43C中，角A,B,C对应的边长分别是a,b,c,且

nB=bcosA,则角A的大小为

4、（2018届安徽六校一联）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,瓦c,已知b=1,B=Z

4

cosA=一则。=()

3

4(B)3

(A)-(C)-(D)y/2

334

5、(2017.12百校联盟)在&4BC中，角A,氏。的对边分别为a,b,c,若sinA=3sinB,

c=&且cosC=三，则a=()

(A)272(B)3(C)30(D)4

6、（2017.12化州二模）己知©Ac分别是AABC内角4,氏C的对边，。=4/=5,c=6,

则sin（A+8）=

sin2A

7、（2017.12上海崇明区一模）在A4BC中，8c边上的中垂线分别交8cAe于点.若

AEBC=6,\AB\=2,则AC=

8、（2018届广东中山等七校一联）在△ABC中，点。在边AB上，CD1BC,AC=5y/3t

CD=5,BD=2AD,则的长为

io

1.2面积

1、（2017.12上海宝山区一模）半径为4的圆内接三角形ABC的面枳是1_,角ABC所

16

对应的边依次为a力,c,则abc的值为

2、（2017.04重庆二诊）设AA8c中，角A,8,C所对的边分别为〃，仇c,若A46C的面积

旅+廿-d

为------7=---，则C=___________

4#

3、（2017.08广东七校一联）在锐角A4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若

sinA=29,〃=2,S，则b的值为（）

3AAffC

（A）b（B）36（O2>/2（D）2&

2

4、（2017.12上海虹口区一模）已知丁二$皿不和y二（：0§工的图像的连续的三个交点4、B、

。构成三角形AABC,则AABC的面积等于

1.3判断三角形形状

例1、在A4BC中，bcosA=acosB,试判断A4BC的形状

例2、在AA8C中，acosB+bcosA=ccosC,试判断A4BC的形状

11

1、（2015马鞍山模拟）在AA8C中，内角A,8,C所对的边长分别是a,b,c,若

c-acosB=（2a-b）cosA,则A4BC的形状为（）

（A）等腰三角形（B）直角三角形

（C）等腰直角三角形（D）等腰或直角三角形

2、（2012上海）在人43。中，若$访24+41123<5m2。，则&48。的形状是（）

（A）钝角三角形（B）直角三角形

（C）锐角三角形（D）不确定

3、（2010上海）若A48C的三个内角满足sinA:sin6:sinC=5:11:13,则MBC（）

（A）一定是锐角三角形（B）一定是直角三角形

（C）一定是钝角三角形（D）可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

4、（2012湖北荆州模拟）在AABC中,SigsinA-1gcosB-1gsinC=1g2,则AABC的

形状是（）

（A）直角三角形（B）等腰直角三角形（C）等边三角形（D）等腰三角形

5、（2013东北三校二联）在A48C中，。g,c分别是角A,8,C的对边，且cos?2=

22c

则A4BC是（）

（A）直角三角形（B）等腰三角形或直角三角形

（C）正三角形（D）等腰直角三角形

1.4解的个数问题

1、已知匕和A,求B：有一解；

「左T一.14为锐角，有两解；

2、已知〃=力和A,求

A为直角或钝角，无解；

处理多解问题〈（卜,〃sinA:两解

IA为锐角<a=bsin4:一解

3、已知a<方和A,求8<|八.，年初

[avbsinA:无解

1A为直角或钝角，无解；

HI

1、在A43C中，己知。=2,6=痣A=45°,则满足条件的三角形有（）

(A)1个(B)2个（C）0个（D）无法确定

12

2、在A48C中，。=80/=100,A=45°,则此三角形解的情况是（）

（A）一解（B）两解（C）一解或两解（D）无解

3、在&48C中，ZA=60°,。=遍，b=3,则A4BC解的情况为

（A）有两解（B）有一解（C）无解（D）不能确定

4、已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？

（1）。=7力=8,4=105°

（2）a=10,b-20,A—80o

（3）b=10,c=5^,C=60

（4）〃=2岛=6,A=30°

1.5证明恒等式

cos2Acos2511

1、在&4BC中，证明:

erb2〃b2

MBCa2-b2_sin(A-B)

2、在中，4、B、C所对的边分别为a、b、c，求证

sinC

13

1.6实际应用

理解几个角度概念

1.仰角与俯角

与目标线在同一船垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，

目标视线在水平视线下方叫俯角（如图①）.

相对于某正方向的水平角，如南偏东30°,北偏西45°

等.3.方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如8点的方位角为。（如图②）.

例1:（2015湖北理13）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公

路北侧一山顶。在西偏北30,的方向上，行驶600m后到达8处，测得此山顶在西偏北750的

方向上，仰角为30°,则此山的高度CD=

例2：（2010陕西理17）如图，A,B是海面上位于东西方向相距5（3+我海里的两个观测

点；现位于4点北偏东45。，8点北偏西60。的。点有一艘轮船发出求救信号，位于8点南

偏西60。且与8点相距206海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小

时，该救援船到达D点需要多长时间？

14

1、（2017山西三区八校二模）为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求

ZACB=60°,2C的长度大于1米,且比人片长0.5米，为了稔固广告牌，要求AC

越短越好，则AC最短为（)

(A)(1+,米

(B)2米

(C)(1力)米(D)(2+6)米

2、（2017广东佛山二模）某沿海四个城市A、B、C、。的位置如图所示，其中N4BC=60°,

ZBCD=135°,AB=80nmile,^C=40+30^nmile,CD=250amile,D

位于A的北偏东75。方向.现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向。直线航行，

60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市。直线航行，收到指令时城市。对于轮船

的方位角是南偏西度，贝Usin生

3、（2016.01东莞高二期木质检）南沙群岛自古以来都是中国领上。南沙海域有4、。两

个岛礁相距100海里，从4岛碓望C岛礁和B岛礁成60°的视角，从B岛礁望C岛礁和

A岛礁成75°的视角，我国兰州号军舰巡航在A岛礁处时接B岛礁处指挥部的命令，前

往C岛礁处驱赶某国入侵军舰，则我军舰此时离C岛礁距离是（）

（A）100（6+1）海里（B）50（—+1）海里（C）50』海里（D）50#海里

15

4、（2017.12青浦区一模）如图，某大型厂区有三个值班室4、B、C.值班室A在值班

室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处

（I）保安甲沿CA从值班室C出发行至点P处，此时PC=1,求PB的距离

（II）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室4,保安乙沿AB从值班室A出发前往值

班室3,甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通

过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两

人不能通话？

5、（2017.4福建质检）如图，有一码头户和三个岛屿A,8,C,PC=30y/3nmile,

PB=90nmileAB=30nmileNPCB=120°,NABC=90°

（I）求两个岛屿间的距离

（ID某游船拟载游客从码头尸前往这三:个岛屿游玩，然后返回码头尸.问该游船应按何路线

航行，才能使得总航程最短？求出最短航程

16

第2讲最值

2.1一般最值问题

例1：已知锐角三角形的边长分别为2、3、x,则x的取值范围是()

(A)l<x<5(B)y/5<x<J\3(C)0<x<>/5(D)^<x<5

Ar

例2：(2009湖南卷文)在锐角AA3C中，BC=1,8=24则二二的值等于________,

cosA

AC的取值范围为

13

例3：在AA8C中，若。=7g=8,cosC=C，则最大角的余弦值是()

14

(A)-1(B)-1(C)-1(D)-1

5678

1、(2017.10天一联二测)在A4BC中，角的对边分别为,若

(2c-a)sinC=(b2+c2-a2),且匕=26，则A48C周长的取值范围为

2、(2017.03南通二调)在AA5c中，已知AB=2,AC?-=6,则tanC的最大值

是_____

3、(2017安徽马鞍山二模)在边长为2的正三角形ABC的边A3、47上分别取M、N两

点，点A关于线段MN的对称点A'正好落在边8c上，则AM长度的最小值为

4、(2016.10天一联二测文)在A4BC中，若3AB=2AC，点E,F分别是AC,AB的中

BE

点，则一的取值范围是

5、(2017.12上海虹口区一模)已知RfAABC中，ZA=90°,48=4,AC=6.在三

角形所在的平面内有两个动点M和N,满足卜M卜2,MN=NC,则附|的取值

范围是()

(A)[3&,厨(B)[4,6]

2________2_________

(C)[2Q4©(D)[_J63_12©_J63+12〃]

17

2.2结合均值不等式

1、（2017.03黄冈调研）已知在AABC中，N4CB=90°,BC=3,AC=4,P是线段A8

上的点，则P到AC,BC的距离的乘积的最大值为（）

（A）3（B）2（C）2-73（D）9

2、（2018.01河南郑州一模）在AA8C中，角A,B,C所对的边长分另!为ci,b,c,且

2ccosB=2a+b,若A4BC的面积为S=,则。6的最小值是

3、（2017江西上饶一模）已知A4BC外接圆半径是2,BC=2®则A45C的面积最

大值为___________

4、（2017.08南昌一调）已知44BC的面积为2出,角4,8,C所对的边长分别为。，瓦c,

71

A=,则。的最小值为

3

5、（2017.11福建泉州一中高二上期中考）在AA8C中，角A,8,C的对边分别为ci,b,c,

tanA2c

已知。=3,1+--------=一，则6+c的最大值为

tanBb

6、（2017.03广一模）在AABC中，^ACB=60\BC>l,AC=AB+L,当AA6c的

2

周长最短时，8C的长是

18

2.3几何法

平几定理（如托勒密定理），旋转大法，阿斯圆

1、凸四边形ABC。中，AB=\,BC=yl3,AC±CD,AC=CD,当N48C变化时，BD

长的最大值为______________

2、在平面四边形A8CD中，AB=\,BC=2,A4CD为正三角形，则ABC。面积的最大

值为_______________

3、（2017.04广二模）在平面四边形ABCD中，连接对角线BD,已知=9,80=16,

4

ZBDC=90sinA=则对角线AC的最大佰为

5

乃

4、已知在8C=3,A=_,点。是BC边上靠近点B的一个三等分点，则A。的

3

最大值为________________

5、（2008江苏）满足条件46=2,4。=同。的AA8C的面积的最大值为

19

第3讲解三角形综合

解三角形问题，是高考考查的重点，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结

合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步:

定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：

定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化，注意齐次式结构，一

般多根据正弦定理把边转化为角a=2RsinA,h=2/?sinB,c=2/?sinC,或是

A:Z?:c=sinA:sinB:sinC；

第三步：出结果，写步骤

解决三角形中的角边问题时，要根据所给条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问

题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面

积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角

的大小

1、(2017.12百校联盟)在A4BC中，内角的对边分别为a,b,c,已知

2^cos21=3sinA3sin：C=2sinAsinB

2cosC

(I)求A的大小

b

(n)求一的值

c

2、(2017.12化州二模)设AA8C三个内角A,8,C所对应的边分别为c,AA8C的面

积S满足4屈=次+从一/

(I)求角C的值

(II)求sinB-cosA的取值范围

20

3、(2017.12广州调研)A48C的内角A,B,C的对边分别为且满足。=2,

acosB=(2c-b)cosA

(I)求角A的大小

(II)求A48C周长的最大值

4、(2017.12福建华安一中)\ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,已知

sin(A+C)=8sin2_

2

(I)求cosB

(II)若a+c=6,A4BC的面积为2,求b

乳

5、(2017.12福建华安一中月考)如图，在Rt\ABC中，ZACBAC=3,BC=2,

2

P是AABC内的一点.

(I)若尸是等腰直角三角形PBC的直角顶点，求PA的长

27r

(II)4BFC=_设NPC6=〃，求APBC的面积S(0的解析式,并求S(0的最

3

大值

21

6、(2017.04武汉调研)已知A48C的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

a=5/2T，3b—2c=7»A=6(X

(I)求b的值

(H)若AO平分NB4c交BC于点£),求线段A。的长

7、(2017.12福州质检)在四边形ABC。中，AD//BCyAB=2,AD=ltA=_

3

(I)求sinNADB

24

(II)若NBDC=一求四边形A3CD的面积

3

8、(2017.03安徽安庆二模)在AA8C中，角A,&C的对边分别是a,b,c,其外接圆的半

径是1,且满足2(sii?4—sii?O=(疯—b)sinB

(1)求角。的大小

(II)求A4BC的面积的最大值

22

9、（2017江西九江三模）在A4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a/,c,且满足

sin2B+sin2c=sin?A+2sinBsinCsin(B+C)

(I)求角A的大小

(I【)若。=2,求AABC面积的最大值

10、（2018.1湖北襄阳调研）在A4BC中，内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,已知

.3

asinD—bcosA.cosB—_

5

（I）求cosC的值

（H）若。=15,。为48边上的点，且24。=8。，求CO的长

11、（2017.03广一模）如图，在△A5c中，点P在BC边上,ZPAC=60\PC=2

AP±AC=4

(I)求ZACP

(II)若AAPB的面积是求sin/BAP

2

23

12、（2017.03苏锡常镇四市一凋）在AABC中，出"。分别为角A,氏C的对边.若

acosB=3,bcosA=1,且A-3=_

6

(I)求边c的长

(n)求角B的大小

13、（2017.03南京盐城二模）如图，在MBC中，D为边BC上一点、,

AD=6,BD=3,DC=2

(I)若AO_LBC,求NBAC的大小

71

(II)若ZABC=-,求AADC的面积

4

(图2)

14、（2017云南师大附中月考）在MBC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知。二，

6ZCOS2竺+%OS2”3

22

（I）证明：AA8C为钝角三角形

（H）若A45c的面积为3厉，求的值

24