考研高数讲义 新高等数学下册辅导讲义-第十二章上课

第十二章无穷级数

第一节常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的收敛与发散

给定一个数列“1，”2’“3,…，/，…将各项依次

OO

相加，简记为

n=l

OO

u

即Sn=+〃2+〃3T-----卜〃〃9称该式为无穷

n=l

级数，其中第几项叫叫做级数的一般项.

级数的前〃项和S“=Z散=〃1+〃2+〃3+i+〃〃称

k=l

为级数的部分和。

若limS〃=S存在，则称无穷级数收敛，并称S为

〃一＞8

OO

级数的和，记作若lims〃不存在，则

n=l8

称无穷级数发散。

【例1】（93三）级数£01丁的和为

n=l2

-In3

【答案】------

2-ln3

结论：等比（几何）级数E产’：

当141Vl时收敛

当14IN1时发散

二、收敛级数的和

若Z%收敛，则其和定义为

n=l

8n

S=£/=lim£uk=limSn。

n=l〃784=1〃78

三、无穷级数的基本性质

OOOO

(1)若级数E%收敛于S,即§=!>〃，则各项

n=ln=l

oo

乘以常数c所得级数Ec即也收敛，其和为cS。

n=l

注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变

OOOO

(2)设有两个收敛级数S=E，则

n=ln=l

OO

级数2(〃〃土%)也收敛，其和为S±。。

n=l

注：该性质表明收敛级数可逐项相加或相减

【例】取〃〃=（-1产,Vn=（一1产+1,而〃〃+=0。

（3）在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级

数的敛散性。

(4)收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级

数的和。

推论：若加括弧后的级数发散，则原级数必发散。

注：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛。

【彳列】(1-1)+(1-1)+,,,=0,彳旦1-1+1—1+,,

散。

【例2】判断级数的敛散性：

---1-----1----+1-----1-----+...

V2—1A/2+1V3-1V3+1

K级数收敛的必要条件

OO

必要条件：若Z〃〃收敛，贝

n=l

逆否命题：若级数的一般项不趋于0,则级数必

发散。

【例】1_2+3_4++1工+

2345n+1

注：并非级数收敛的充分条件

n—8

81111

【例】调和级数£!=1+++•••+!+•••

n=l〃23H

【例3】判断下列级数的敛散性，若收敛求其和:

8(I)(2)idl-cos^

(1)Zin1+-

n=l\n=lY〃

【答案】（1）发散；（2）发散

五、两个重要级数：几何级数与。级数的敛散性

OO

(1)几何级数：当|r|vl时收敛；当

n=l

时发散.

81(8X)

(2)p级数(或对数P级数)：ET?S\npn'

n=ln\n=2〃n111〃J

当P>1时收敛，当P《1时发散。

第二节常数项级数的审敛法

一、正项级数及其审敛法

OO

正项级数：若即NO,则称X即为正项级数。

n=l

OO___

收敛定理1：正项级数E〃〃收敛等价于部分和序

n=l

歹ljs(〃=1,2,…)有界。

ooOO

收敛定理2：（比较审敛法）设是两个

n=ln=l

正项级数，且存在NEZ+,对一切〃,N,有

un<kvn（常数4>0）,则有

OOOO

（1）若强级数收敛，则弱级数E4也收敛;

n=ln=l

oooo

（2）若弱级数发散，则强级数Ev〃也发散。

n=ln=l

调和级数与P级数是两个常用的比较级数。

【例1】判断下列级数的敛散性

OOOO]

⑴己仔(2)Z----(〃>0皿。1)

n=l〃n=i1+a

【答案】（1）收敛；（2）当0<a<l时，发散；当。>1时，收敛;

86"OO1

(3)2^-(4)2

n=l7n—5n=lA/Fl?+〃+1

【答案】（3）收敛；（4）发散;

oo

(5)2

n=l

【答案】（5）收敛

【例2】（97—）

、11

设%=（一）（〃=・・）

2,an+1=-an+12

2an

oo

证明：（I）lima〃存在；（II）级数收敛

8n

n=l'+l

【解析】（1）用单调有界必收敛证明；（2）用比较审敛法证明

收敛定理3：(比较审敛法的极限形式)

OO8"

设两正项级数，满足lim%=1,则有:

n=ln=l18Vn

(1)当0V/<8时,两个级数同时收敛或发散;

OOOO

(2)当，=0时，且£右收敛时，Z〃〃也收敛;

n=ln=l

OOOO

(3)当2=8时，且，右发散时，也发散。

n=ln=l

【例3］判断下列级数的敛散性

3

（1）—IH丁H------F---------产+…

23V24V3（n+l）A/n

OO1

⑵E—1%（其中常数p>o）

n=2

【答案】（1）收敛；（2）发散

oo

【例4】(04—)设Z%为正项级数，下列结论中

n=l

正确的是

OO

(A)若limy=0,则级数收敛.

n—>8«，

n=l

(B)若存在非零常数4,使得lim〃*二九则级数

n—>oo

Ze发散・

n=l

oo

(C)若级数［%收敛，WlimnX=0.

n=l〃一＞8

OO

(D)若级数发散，则存在非零常数2,,使得

n=l

limnan=2.

【答案】(B)

oo

收敛定理4：(比值审敛法)设2%为正项级数,

n=l

且lim4地=p,则有：

nTgUn

(1)当夕VI时,级数收敛；

(2)当夕＞1或"=8时，级数发散。

(3)当0=1时,级数可能收敛也可能发散.

OOII

【例】P-级数E：：

n=inP

【例5】判断级数的敛散性

⑴蒸⑵.空

【答案】（1）收敛；（2）发散

【例6】(04H)设有下列命题:

OOOO

①若£(42“一1+42〃)收敛，贝UE与收敛.

n=ln=l

OOOO

②若2X收敛，则L册+ioo收敛・

n=ln=l

〃00

③若则Z即发散.

，In=l

0000OO

若Z(4+%)收敛，则E%92%都收敛.

n=ln=l

则以上命题中正确的是.

OO5+1)!

【例7】（88三）讨论级数，的敛散性.

M+1

【答案】收敛.

oo

收敛定理5:(根值审敛法)设为正项级数，且

n=l

lim=p,则有：

n—8

(1)当"Vl时，级数收敛；

(2)当夕＞1时，级数发散;

(3)当"=1时,级数可能收敛也可能发散。

OO1|

【例】P-级数

n=inP

【例8】判断级数的敛散性

8.3〃oo^2n-l

(1)(2)Z

n=l4〃n=l(In-1R2”T

【答案】（1）收敛；（2）发散

-、交错级数及其审敛法

设肛>0,〃=1,2,…，则各项符号正负相间的级

数〃〃2+〃3---1"(-1)〃…称为交错级数。

收敛定理6：(莱布尼茨判别法)若交错级数满足

条件：(1)un>un+l5=1,2,…);

(2)lim=0,

n—g

oo

则级数收敛

n=l

【例9］用莱布尼茨判别法判别级数的敛散性：

OOn-1Inn

2(—1)

n=2

【解析与答案】单调性，极限

【例10】(95—)设%=(-L)〃ln[l+4=),则级数

I7n)

OO00

(A)z〃〃与Z说都收敛.

n=ln=l

0000

(B)与z说都发散.

n=ln=l

0000

(C)z%收敛而2*发散.

n=ln=l

0000

(D)z〃〃发散而E谥收敛.2。

n=ln=l

三、绝对收敛与条件收敛

OOOO

定义：对任意项级数2%,若收敛，则称原

n=ln=l

OO

级数绝对收敛；若原级数收敛，但取绝对值

n=l

OO

以后的级数发散，则称原级数条件收敛。

n=l

OO181

【例】E(-l)i,条件收敛；£二为绝对收敛。

n=l〃n=l〃

定理7绝对收敛的级数一定收敛。

【例11】判断级数的敛散性。

OO

(1)£(-l)n—(2)Z(-1尸

n=lCn=l

OO[

1三sinner

(3)Z(-1)"-—(4)'4-

n=lnln=ln

【答案】（l）绝对收敛；（2）条件收敛；（3）绝对收敛；（4）绝对收敛

ook+n

【例12】（87—）设常数左＞0,则级数，（一1）

n=l

（A）发散.（B）绝对收敛.

（C）条件收敛.

（D）收敛或者发散与由勺取值有关.

【答案】（C）

【13](90—)设。为常数，则级数会迎髻一1

n=lnv

(A)绝对收敛.(B)条件收敛.

(C)发散.(D)收敛性与a的取值无关.

【答案】(C)

【例14](92—)级数£(T)"(l-cos2)(常数a>o)

n=l〃

(A)发散.(B)条件收敛.

(C)绝对收敛.(D)收敛性与。有关.

【答案】(C)

oo

[15015](94-)设常数1>0,且级数£片收敛,

n=l

则级数

n=lA/n+2

(A)发散.(B)条件收敛.

(C)绝对收敛.(D)收敛性与4有关.

【答案】(C)

oo

【例16](96—)设a”>0(〃=1,2,…)且Z册收敛,

n=l

w

常数公(0百，则级数E(-l)(ntan^)«2w

2n=in

(A)绝对收敛.(B)条件收敛.

(C)发散.(D)敛散性与2有关.

【答案】(A)

【例17](96H)下述各选项正确的是

OOOOOO

(A)若2片和2W都收敛，则%)2收敛.

n=ln=ln=l

OOOOOO

(B)若z%乙|收敛,则A说与zW收敛・

n=ln=ln=l

(C)若正项级数发散，则%之上

n=l

oo

(D)若级数收敛，且〃%5=1,2,…),则

n=l

OO

级数X%也收敛.

n=l

【答案】(A)

第三节幕级数

一、函数项级数的概念

设〃〃（%）5=1,2,…）为定义在区间/上的函数,

OO

则称=〃i（%）+〃2（%）+……

n=l

为定义在区间/上的函数项级数。

oo

对％o£1,若常数项级数Z4(xo)收敛，称与为其

n=l

收敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域；

OO

若常数项级数£%(与)发散，称与为其发散点,

n=l

所有发散点的全体称为其发散域。

在收敛域上，函数项级数的和是”的函数

5(x),称它为级数的和函数，并写成

OO

s(x)=

n=l

oo

【例】等比级数Ex=1+X+%?4----FXnH

n=0

二、募级数及其收敛性

形如：

+（X-Xg）W+,••

的函数项级数称为幕级数，其中数列

an5=0,1,…）称为幕级数的系数。

下面着重讨论勺=0的情形，即

OO2〃

2n

=«0+arx+a2xH------FanxH—

w=0

OO

定理1（阿贝尔定理）若幕级数Z%/在x=%

n=0

点收敛，则对满足不等式X|<|x0|的一切X幕级数

都绝对收敛。反之，若当％时该幕级数发散，

则对满足不等式|x|>|小1的一切X,该寨级数也发

散。

K称为收敛半径，（-凡⑷称为收敛区间。（_凡©加

上收敛的端点称为收敛域。

定理2若发内〃的系数满足则

n=0an

(1)当"。0时，R=y-

(2)当"=0时，尺=8；

(3)当夕=8时，R=。。

【例1】(95—)幕级数£h的收敛

n=12n+(-3f

半径A=________

【答案】V3

【例2】（02三）设幕级数£4工〃和£2工〃的收

n=ln=l

敛半径分别为彳与1,则幕级数£号工〃的收敛半

33n=i，I

径为

(A)5.(B)再(C)(D)

335

【答案】(A)

【例3］求幕级数E三的收敛半径及收敛域。

gon2n

【答案】收敛域为［-2,2)

【例4】（求幕级数E生二；的收敛域.

n=in<3

【答案】［0,6）

【例5】（若£。〃口-1）〃在*=-1处收敛,

n=l

则此级数在x2处（）

(A)条件收敛(B)绝对收敛

(C)发散(D)收敛性不能确定

答案：(B)

三、幕级数的运算

OOOO

定理3设幕级数》”"及Z髭”"的收敛半径分

n=0M=0

别为用,&3令氏=111加｛尺1，/^｝，则有：

8OO

2£axn=（X为常数）|x<Ri

n=0nn=0

000000

土Ebxn=X（a±b）xn\x\<R

w=0n=0nn=0nn

000000

（2册工"）（£bxn）=Hcxn\x<R

w=0n=0nn=0n

（其中c〃=sab_）

4=0knk

oo

定理4若塞级数的收敛半径R>0,则其和

M=0

函数S(*)在收敛域上连续并有任意阶导数，且在

收敛区间内可逐项求导与逐项求积分，运算前后

收敛半径相同：

oooo

S\x)=X(axn)f=xe(—R,R)

n=0nn=l

OOOO"

JoS(x)dx=£a^xndx=Sxn+1

n=0nn=0〃+1

XG(—/?,!?)

OO

[例6](97-)设幕级数的收敛半径为3,

n=0

则幕级数ZsJx-l严的收敛区间为

n=l

【答案】(—2,4)

第四节函数展开成塞级数与级数求和

一、泰勒级数

复习泰勒中值定理：若函数〃*）在X。的某邻域内

具有〃+1阶导数，则在该邻域内有:

frr()

/(x)=/(x)+/，(x)(x-x)+^-—x^(x-x)2+---

000/•0

।广）（/）

(x-xJl+R(x)

n\n

泰勒级数的定义：若/（"）在/的某个邻域内具有

任意阶导数，则称〃

z2

/(x)=/(x0)+/(x0)(x-x0)+^°\x-x0)+--

1

+(x-XQy+…

n\

为了(%)的泰勒级数。当*0=0时泰勒级数又称为麦

克劳林级数。

函数展开成泰勒级数的充要条件(数一)：设/(%)

在X。的某个邻域内具有任意阶导数，则/(%)在该

邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是『(")

的泰勒余项

5+1)©

((%)=(x-xr+i70(〃T8),”是该邻

5+1)!o

域中的点，4介于/与“之间).此时，有泰勒级数

nf^(Y}

xn

f(x)=/(x0)+Z—-o)+凡(x)

k=ik•

(n)(Xo)

=/u0)+E-T(x-x0ro

n=l〃•

二、几个常见函数的麦克劳林展开式

x£三■广£(-8,+8);

(1)e=

〃=0〃•

(2)ln(l+x)=Z-------xn+\xe(-1,“；

n=0〃+1

OO

(3)sinX二工

«=o金%—+8卜

oo(T)"小

(4)cosx=E(-8,+8)；

n=0(2〃)！

1oo

⑸XjSD；

(6)(1+x)a=1+ax+——x2H—

2!

。(。一1)・・・(。一〃+l)

H---------------------------X+・・・,％£U)

n\

⑺-^-=J（-irx\xG（-i,i）o

1+n=0

三、函数展开成幕级数

展开方法

［直接展开法一利用泰勒公式

［间接展开法一利用已知其级数展开式的函数

1、直接展开法

由泰勒级数理论可知，函数/(")展开成幕级数的

步骤如下：

第一步求函数及其各阶导数在”=0处的值;

第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半

径段

第三步判别在收敛区间(-凡氏)内是否

l〃i一m＞84(%)

为Oo

【例1】将八%)=向展开成X的幕级数。

【答案】

2、间接展开法

具体方法：利用一些已知的函数展开式及幕级数

的运算性质，将所给函数展开成幕级数。

【例2】(87H)将函数/⑴二七击展开通

级数，并指出收敛区间.

【答案】〃x)=£尤"+1£oo(i+Jr)H，

其收敛区间为(—1,1).

/:=!ZH=0Z

【例3】(95三)将函数)=111(1一工-2/)展成“的

幕级数，并指出其收敛区间.

gr_iV+1_9n「11、

【答案】ln(l-x-2/)=£」!-------x"，收敛区间为一个二.

M〃L22)

1+X

【例4】(89—)将函数/(x)=arctan展为X的

幕级数.

【答案】生+之仁%2"+1,

4七2〃+1

【例5】(94—)

将函数/(%)=-ln^+X+—arctanx-%展开成x的

41-x2

寨级数.

oo471+1

【答案】=~7(—1<X<1)

M4〃+l

【例6】将「平山展成纸幕级数。

【答案】F(x)=y上丫-----x2n+'(―8<X<+8)

念(2〃+1)!2//+1

K级数求和

（一）孱级数求和

具体方法：利用已知幕级数的展开式间接求解和

函数。

OO

【例7］求幕级数£（--2的和函数。

n=l

'2—]

【答案】—^7,X€(T,1)

(1+X)

【例8】求幕级数£皿由工”1的和函数。

n=l2

【答案】击—D

ooIn

【例9】求幕级数的和函数。

n=l〃

【答案】-ln(l-x2),XG(-1,1)

oo2n

【例10】求幕级数£（-1）——的和函数。

n=ln(2n-l)

【答案】-2xarctanx+ln(l+d),xe[-1,1]

oo

【例11]（90—）求塞级数t（2〃+l）/的收敛域,

n=0

并求其和函数.

]+X

【答案】收敛域是（一1,1）；5（幻=丁卞，

X

【例12】(05三)求幕级数，―1—-1在区

”=八2〃+1)

间内的和函数S(x).

【答案】S(x)=<21n£-T^7'।昨(0』)，

0,x=0

OO1

【例13】（87—）求塞级数的收敛域,

n=in2

并求其和函数.

2

【答案】收敛域为[一2,2),S(x)=2xln——,xe[-2,2).

2-x

（二）常数项级数求和

具体方法：选择适当的幕级数求和，然后将、的数

值带入求值。

【例⑷求数项级数Nd）的和。

【答案】—ln(V2+l)

2

OOfl

[1501512(96-)求级数E2-”的和•

n=2(M2-l)2W

53

【答案】---ln2

84

【例16】（93—）求级数£（~0：（吗二十1）的和.

n=02

22

【答案】—

27

第五节傅里叶级数（数一）

一、函数的傅里叶系数与傅里叶级数

（1）"X）在［-兀，句上的傅里叶级数定义为

oo

cosnx

/(%)〜2+Z+bnsinnx)；

2n=l

其中"'71

f(x)cosnxdx^n=0,1,2,…

-71

bn=~rf(x)sinndx,n=1,2,称为/(x)的

兀J-71

傅里叶系数。

（2）若（1）中的区间换为一般的[一,/],则

OO

/（%）〜？+Z

x+bnsniin-x5

n=l\

1rlIm

其中-I/(x)cos-xdx^n=0,1,2,…

IiI

I/•i〃兀

bn=-I/(x)sin—xdx,n=l,2--,称为f(x)

II<

的傅里叶系数。

【例1】（93—）设函数/（%）=%%+，（-乃vxv%）

的傅里叶级数展开式为

OQ

。0

+Z(%cosnx+bnsinnx),则其中系数4的值

n=l

为—

【答案】42

3

【例2］设/(%)是周期为2%的周期函数，它在

［-7T,4］上的表达式为

X,-7T<X<0»

f(x)=<,n//，将/(%)展成傅里叶

2X,0<X<7T

级数。

二、狄利克雷收敛定理

设函数/(X)在［TJ］上连续或只有有限个第

一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则/(%)

的傅里叶级数收敛，并且

(D当X是/(*)的连续点时,级数收敛于/(%);

(2)当％是/(X)的间断点时，级数收敛于

〃x-O)+/(x+O)

2，

(3)当％=±/时，级数收敛于/"+°)+〃'一°)。

2

_.八.—1,-7T<X<0..7~13«

w【例73】求/(“)={，以2%为周期

[1+],Q<X<7T

的傅里叶级数在”=0,1两点处的值。

【例4】(-)设是周期为2的周期函数,

它在区间(-1,1］上定义为/(*)=：一：：：：：'，则

了(“)的傅里叶级数在”=1处收敛于

3

【答案】-

2

三、正弦级数和余弦级数

(1)若/(X)在［TJ］是奇函数,EP/(-x)=-/(x),

其傅里叶级数为正弦级数，即%=0,«=0,1,2,-.

oo

〜么一4-f.।2fIr.W7T[

/(%)ZsinX,其中=7]。,"'口了工也

n=lI

(2)若〃x)在是偶函数,即f(r)=f(x),

其傅里叶级数为余弦级数，即d=0,〃=0」,2,…,

a_c、OO〃兀

了(%)〜寸COS-X,

2n=iI

其中=—j/(x)cos-xdx.

/。I

(3)如果/(%)是定义在［0用上的函数，将其作奇

延拓，就可利用(1)将其展开成正弦级数；将其

作偶延拓，就可利用(2)将其展开成余弦级数.

【例5】(89一)设函数=0<x<l,而

OO

S(x)=bnsinn7rx,-8<x<+8.其中

n=l

b=2\/(x)sinn^Jx,n=1,2,3,・・•，贝l]S(——)为

nJo2

1

(A)T(B)一(D)

⑹T2

【答案】（B）

[例6](0一)将函数/(x)=l—，(0W%<%)展

二iV1

开成余弦级数,并求的和

n=l〃

本章强化练习

一、常数项级数的判别

1、(11三)设也｝是数列，则下列命题正确的是

()

oo

oo_____

(A)若收敛，则Z(%1T+%)收敛

n=ln=l

0000

(B)若收敛，则z%收敛

n=ln=l

0000

(C)若E%收敛，则收敛

n=ln=l

00oo

(D)若Z(%T-%)收敛，则Z%收敛

n=ln=l

答案：(A)

2、(09-)设有两个数列!{〃“},也}，若理a/°，

贝IJ()

OOOO

(A)当“收敛时，“收敛

n=ln=l

OOOO

(B)当z么发散时，z。/.发散

n=ln=l

oooo

(O当z也i收敛时,z毗收敛

n=ln=l

OOOO

(D)当£也|发散时,z。;照发散

n=ln=l

答案：(C)

oo

3、(06-H)若级数£”收敛，则级数()

n=l

OOoo

(A)Zk畋敛(B)Z(T)%〃收敛

n=ln=l

OOOO|

(C)y收敛.(D)Z"叽收敛.

n=ln=l/

答案：(D)

oo

4、(05三)设〃>0/=l,2,…，若发散,

n=l

OO

£(-1广％〃收敛，则下列结论正确的是

n=l

oooo

(A)收敛,242〃发散.

n=ln=l

OOoo

(B)Z“2〃收敛，1>2〃-1发散・

n=ln=l

oooo

（C）2（。2〃-1+。2〃）收敛（口）£（。2〃一1-。2〃）收敛・

n=ln=l

一、5a+aa-a

5、（03-）设。〃=^^,/=^^,〃=1,2产・,

则下列命题正确的是

OOOOOQ

（A）若Z册条件收敛，则Epn与E册都收敛.

n=ln=ln=l

OOOOoo

（B）若Z册绝对收敛,则Zp〃与E册都收敛.

n=ln=ln=l

oooooo

(c)若z册条件收敛，则Zp〃与E劣敛散性都

n=ln=ln=l

不定.

oooooo

(D)若L册绝对收敛，则Ep〃与z劣敛散性都

n=ln=ln=l

不定.

答案：(B)

6、(04—)设有方程*"+内-1=0,其中〃为正整

数.证明此方程存在唯一正实根乙,并证明当a>l

OO

时，级数£琮收敛.

n=l

二、幕级数的收敛半径和收敛域求解

1、(11一)设数列｛6｝单调递减，

=0,S==1,2,...)无界，则帚级数

nn

ik=1

之X(x-1)"的收敛域()

k=l

(A)(-1,1](B)[-1,1)

(C)[0,2)(D)(0,2]

答案：（C）

oon-(-l)n

2、（09三）幕级数£

2的收敛半径

n=l

为.

答案：e

oo

3、（08—）已知幕级数WX（%+2）〃存在x=0处收

«=0

oo

敛，在*=-4处发散，则幕级数fX（x-3）”的收

〃=0

敛域为O

答案：（1,5]

oo（工-2）2

4、（92H）级数£的收敛域为

n

n=ln4

答案：（0,4）

三、幕级数的和函数求解

8(-if1

1、(10-)求幕级数的收敛域及和

M2〃一1

函数.

答案：收敛域为[T[]；和函数为xarctanx,xe[-1,1]

oo(-1广…

2、(06H)求募级数£的收敛域及和

n=l〃(2〃-1)

函数s(%).

答案：收敛域为

和函数S(x)=2x2arctanx-xln(l+x2),xG[-1,1]

oo

3、(03H)求幕级数1+2(-1)〃=(国＜1)的和函

n=i2n

数及其极值.

答案：/(x)=l—；ln(l+尤2)(|刘＜1),极大值为1

4、求下列幕级数的收敛域及其和函数:

(D

念n+1

l,x=0,

答案：(1)(-1,1)S(x)=二_金(1—),。＜小1.

(1-X)X

oo

(2)^n(n+l)xn

n=l

2x

答案：(2)(—1,1)S(M]X3，T<X<1

I、函数展开成塞级数

1

…。7三)将函数〃展开成一

的幕级数，并指出其收敛区间.

答案：11?［「［产1+万(丁T)卜"〕*/一八1)”'六㈠，,3

2、(06-)将函数〃月=」^展开成”的幕

级数。

1g1

答案：/u）=-E/一（—i）"

J〃=oL2_

3、(03-)将函数/(%)=arctan共五展开成”的

ooz-g\n

幕级数，并求级数£聂占的和.

姿心取、兀cF(T)"4"x2"+i(-l)n兀

答案：工-------:---1

/(-V)=-■-22'12，.乙y

4ti2/J+I〃=02九+17

五、常数项级数的求和问题

1V(