版八年级上第16章《轴对称和中心对称》全章教学案（含答案）

第十六章轴对称和中心对称本/章/整/体/说/课教学目标2.能按要求画出简单平面图形经过轴对称、中心对称后的图形.3.理解和掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质定理及其逆定理.广泛应用.情感态度与价值观情感态度与价值观活动经验.教材分析(1)轴对称、中心对称在现实生活中有着广泛应用，在教材的处理上，为学生提供大量生动的现实情境，通过赏析，提高学生的审美能力，激发学生的学习兴趣，加强数学与现实联系，更好地培养学生的应用意识.(2)通过“一起探究”,设置观察、猜想、交流、探究、验证等活动，引导学生发现轴对称、中心对称的性质定理及其逆定理，经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，使学生掌握解决问题的方法，积累一定的数学活动经验.(3)线段、角是简单的轴对称图形，通过观察、思考、操作验证、证明验证等活动，探究线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理，发展学生的合情推理、演绎推理能力.(4)在学习完平移、旋转和轴对称后，引导学生辨析典型图形，使学生认识到一些较为复杂的图形可由简单图形经过变化得到，目的是深化平移、轴对称、旋转的性质，加强前后知识的联系和综合运用.教学重难点【重点】1.轴对称和轴对称图形、中心对称和中心对称图形及其性质.2.线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理.3.利用平移、旋转、轴对称设计图案.【难点】1.轴对称和轴对称图形、中心对称和中心对称图形的性质，2.线段垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理的应用.教学建议1.轴对称、中心对称与现实有着紧密的联系，在教学中，应以现实生活中的实例为素材，让学生体会和认识生活中的轴对称和中心对称，通过观察、分析、操作、猜想、验证等活动，提炼轴对称及轴对称图形、中心对称及中心对称图形的概念，利用合情推理和演绎推理探究轴对称、中心对称的性质定理及其逆定理.学思考的能力现新旧知识的联系.1课时3课时1课时课/时/教/学/详/案 【教师准备】课件.教学过程 导入一：处可见.本节课我们就一起去探究轴对称的奥秘吧![过渡语[过渡语]对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品中，人们都可以找到对称的例子.在小学阶段，我们对轴对称已经有了初步认识.现在，我们进一步学习轴对称的性质和应用.思路一【活动1】展示教材第108页图1611及收集到的生活中的图片.【活动2】【活动3】问题(1)教材图1612的图形有什么特征?【活动4】问题等吗?活动二：一起探究——成轴对称图形的性质【活动5】[设计意图]通过练习进一步巩固两个图形成轴对称的概念.【活动6】问题观察教材图1613:全等吗?对应线段有怎样的数量关系?对应角呢?2.对应点的连线AA;BB;CC分别与对称轴/有怎样的位置关系?你能用刻度尺测量出点A与A到对称轴/的距离吗?B与B、C与C到对称轴/的距离呢?解和掌握.【活动7】例题如图所示，已知线段AB和直线/画出线段AB关于直线/的对称线段.思路二【活动2】概念形成理解.2.两个图形成轴对称的定义.3.举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗?4.讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别.[设计意图]先观察图形，再画图.其目的是突出两个图形和这两个图形之间的关系，在此基础上再给出生的辩证唯物主义观点，(三)成轴对称图形的性质观察上图，线段AA与对称轴/有怎样的位置关系?你能说明理由吗?类似地，点B与点B;点C与点C是否也有同样的位置关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗?对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.在这个基础上，教师给出线段的垂直平分线的概念，然后把上述规律概括成成轴对称图形的性质.上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对称轴两侧的对应点的连线与对称轴之间是否也有同样的关系呢?[设计意图]让学生主动参与进来，转变以往的学习方式，提高学习的认知水平和能力【活动3】实践与应用1.下面是生活中的一些图形，它们是轴对称图形吗?冲宝-瑕肉落花-英国大众-p樊油-德国3.下图中的两个图形是否成轴对称?如果是，请找出它的对称轴.课堂小结知识点一：轴对称图形1.轴对称图形沿对称轴折叠，两旁的部分能够完全重合.2.轴对称图形的对称轴是轴对称图形对称轴两侧的对应点所连线段的垂直平分线，可能只有一条，也可能不止一条.知识点二：两个图形成轴对称轴对称图形与两个图形成轴对称既有区别又有联系.区别：轴对称图形是指一个图形的特征，成轴对称是两个图形的位置关系.联系：二者都有对称轴，如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称.知识点三：成轴对称图形的性质1.成轴对称图形的性质介绍了对称轴与对应点所连线段之间的关系，即对称轴垂直平分对应点所连的线2.根据这一性质，若已知对称轴和一个图形的一点就能准确作出该点的对应点，而不必再去对折了。检测反馈1.如图所示，23=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证21的度数为A.上海自来水来自海上B.有志者事竟成C.清水池里池水清D.蜜蜂酿蜂蜜板书设计例题布置作业1.教材第110页练习第1,2题.2.教材第110页习题A组第1,2,3题教材第111页习题B组第1,2题.B2.如图所示，一定是轴对称图形的有()圆弧角平行四边形等腰梯形3.京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术如图所示的京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数有()么21应该等于多少度才能保证黑球准确入袋?请说明理由.【拓展探究】ACB对应∠DFE:∠DFE=∠ACB=90°.(3):AC=8cm,DE=10cm,BC=6cm,且AB对应DE,AC对应DF,BC对应EF,:DE=AB=10cm,DF=AC=8cm,EF=BC=6cm,:△ABC的周长为6+8+10=24(cm),△DEF的面积为6×8=24(cm²). 教学反思 2.对于轴对称和成轴对称的性质教师还可以适当地加以延伸. 口教材习题解答练习(教材第110页)习题(教材第110页)A组如图所示.y唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写了一副上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺”希望有 例2(2015·大庆中考)以下图形中对称轴的数量小于3的是()AB(D对称轴折叠后可完全重合过程与方法过程与方法情感态度与价值观情感态度与价值观教学重难点 整体设计教学目标【教师准备】课件1~5. 教学过程新课导入导入一：师：上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使世界更加美丽，那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢?生：如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴师：什么是线段的垂直平分线呢?学生思考抢答，师：很好，这节课我们来学习线段的垂直平分线的有关内容.导入二：【课件1】如图所示，木条/与AB钉在一起，/垂直平分AB,P₁,P2,P3,.是/上的点，分别量一量点P₁,P2,P3,.到A与B的距离，1.用平面图将上述问题进行转化，已知线段AB及AB的垂直平分线/,在1上取P1,P2,P3,.连接AP1,BP1,AP2,BP2,AP3,BP3......2.作好图后，用直尺量出APi,BP1,AP2,BP2,AP3,BP₃讨论发现什么样的规律.的重要性质和应用.思路一【课件2】如图所示，已知线段AB和它的中垂线1,0为垂足.在直线上任取一点P,连接PA,PB,线段PA和线段PB有怎样的数量关系?提出你的猜想说明理由思路二【课件3】如图所示，直线/垂直平分线段AB,Pi,P2,P3,..是/上的点，分别量一量点Pi,P2,P3,..到点A与点B的距离，你有什么发现?由学生归纳命题，教师给予纠正，使之规范，命题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.这个命题，是我们通过观察、猜想得到的，还得在理论上证明是正确的才能作为定理，我们来证明这个命题的正确性.请同学们先根据这个命题画出图形(如图所示),写出已知、求证.已知：如图所示，线段AB和它的垂直平分线/垂足为O,点P为直线/上任意一点，连接PA,PB.求证PA=PB.引导学生利用SAS证明△PAO≌△PBO,从而得到PA=PB.PA=PB(全等三角形的对应边相等).1点P在线段AB的垂直平分线上一"PA=PB.表即可.活动二：例题讲解【课件4】A解：如图所示，作点A关于直线/的对称点A,连接A'B,交直线/于点P,则AP+BP最短.【提出问题】(1)我们知道两点之间线段最短，那么怎样把PA和PB这两条线段转化到一条线段上?学生讨论、分析得到：要作其中某一点关于直线/的对称(2)在直线/上任取一个异于点P的点P;怎样利用“两点之间线段最短”加以证明.学生小组内交流，教师指一名学生板演.解点A和点A关于直线/对称，AP+BP=AP+BP=AB(如图所示，在直线/上任取一个异于点P的点P;连接AP'BP,AP;则AP+BP>AB(两点之间线段最短).即AP+BP=AP+BP>AB=AP+BP.∴AP+BP最短.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.个点到线段两端的距离都相等.(3)这个定理向我们提供了一个证明两条线段相等的方法.A.48°B.36°C.30°D.2解析∵MN是线段AB的垂直平分线，AN=BN;:△BCN的周长是7cm,:BN+NC+BC=7解析∵DE是AC的垂直平分线，.AD=CD,:△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC,:AE=45.如图所示，四边形ABCD中，AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是(提示：等腰三角形的两个底角相等)()B.△BCD的周长等于AB+BCD.点D是线段AC的中点∠BDC=∠C,:BD=BC,:AD=BD=BC,故C正确；由题意知BD>CD,:AD>CD,∴点周长.第1课时1.教材第113~114页练习第1,2题.2.教材第114页习题A组第1,2题.教材第115页习题B组第1,2题【基础巩固】1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5,则线段PB的长度为2.如图所示，AB是CD的垂直平分线，则一定有()不一定成立的是(提示：等腰三角形的两个底角相等)()A.zB=∠CAEB.2DEA=∠CEAB=40°.故选D.)(2):BC=4,BD+CD=5,:△BCD的周长为BD+CD+BC=9. 要的是在学生理解的基础上加以巩固和提升.练习(教材第113页)习题(教材第114页)周长为19cm. )教学设计如果一个点是线段垂直平分线上的点，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等.点D是线段AB垂直明的思想是我们应掌握的.这个结论的成立主要是通过证三角形的全等得出的，△AOD≌△BOD,所以DA=DB.随着D在垂直平分线上进行移动，两个三角形的形状发生变化，但这两个三角形始终是全等的.符号语言：(1):D是线段AB垂直平分线上的点，经典例题又BELAE整体设计知识与技能【教师准备】课件1~3.教学过程导入一：在这里，我们利用了线段的垂直平分线上的点与这条线段两个 活动一：一起探究——线段垂直平分线性质定理的逆定理在这条线段的垂直平分线上吗?思路一证明：设线段AB的中点为O,连接PO并延长..点P在线段AB的垂直平分线上.线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合，生：判定方法只能判定点在线段的垂直平分线上，那怎么才能判定这条直线就是线段的垂直平分线呢?师：所以只要我们能证明一条直线上有两点满足判定方法的条件，那么这条直线就一定是线段的垂直平分线.[知识拓展](1)要证明某条直线是某条线段的垂直平分线，有两种证明方法：一是根据定义去证明；二是定定理可以作线段的垂直平分线.思路二你能写出线段的垂直平分线的性质定理的逆命题吗?它是真命题吗?这个命题不是“如果....那么.....的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果...那么....”的形式，逆命题就容易写出了.鼓励学生找出原命题的条件和结论.原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”,结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”.此时，逆命题就很容易写出来了，“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上”写出逆命题后，就想到判断它的真假.若真，则需证明它；若假，则需用反例说明.请同学们自行在练习本上完成.学生给出了如下的两种证法：已知：线段AB,点P是平面内一点，且PA=PB.又∵∠PCA+∠PCB=180°,∴∠PCA=∠PCB=90°,即PCLAB,P点在AB的垂直平分线上证法2:如图所示，过P作线段AB的垂直平分线PC.∵AC=CB,∠PCA=∠PCB=90°,P在AB的垂直平分线上.两种证法由学生表述后，有学生提出：“第一个证明是正确的，而第二个证明我有点弄不懂.”于AB.这说明一般情况下，“过P作AB的垂直平分线”是不一定能实现的，所以第二个证法是错误的从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定定理.[设计意图]引导学生用多种方法证明线段垂直平分线的性质定理的逆命题，从而发现它的正确性，提高学生分析问题、演绎推理的能力.【课件2】求证：点P在BC的垂直平分线上.引导学生分析，要让点P在BC的垂直平分线上，就是要证明BP=CP.学生证明，写出证明过程，教师巡视指导后全班讲评∵DP,EP分别是AB,AC的垂直平分线，点P在BC的垂直平分线上.【课件3】(教材第116页做一做)已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD,ACLBD,垂足让学生独立思考后完成【拓展延伸】三角形三边的垂直平分线交于一点.一点.垂直平分线重直平分线的重直平分线上[设计意图]让学生尝试应用线段垂直平分线的 3课堂小结符号语言：点D在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理).检测反馈1.如图所示，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD,则点D在()的垂直平分线上.C.BCD.不能确定解析：BC=BD+AD=BD+CD,:AD=CD,∴点D在AC的垂直平分线上.故选B.2.直线1外有两点A,B,若要在/上找一点，使这点与点A,B的距离相等，这样的点能找到()C.无数个个或1个或无数个当直线AB与直线/不垂直时，在1上找一点，使这点与点A,B的距离相等，这样的点有1个.故选D.3.如图所示，地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口(到A,B,C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠，应该蹲守在()A.△ABC三边垂直平分线的交点上B.线段AB上C.△ABC三条高所在直线的交点上D.△ABC三条中线的交点解析∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点上.故选A.4.如图所示，AB=AC,BM=CM,直线AM是线段BC的垂直平分线吗?M点A,M都在线段BC的垂直平分线上根据“两点确定一条直线”知直线AM是线段BC的垂直平分线.AC的垂直平分线上.点E在线段AC的垂直平分线上.板书设计活动一：一起探究线段垂直平分线性质定理的逆定理例题布置作业【必做题】1.教材第116~117页练习第1,2题2.教材第117页习题A组第1,2题，【选做题】教材第117~118页习题B组第1,2题.【基础巩固】1.如图所示，下列说法正确的是()A.若AC=BC,则CD是线段AB的垂直平分线B.若AD=DB,则AC=BCC.若CDLAB,则AC=BC【能力提升】5.如图所示，直线/和直线m分别是线段AB和线段AC的垂直平分线，O为直线/与直线m的交点，求证：点O到点A,B,C的距离相等.【拓展探究】【答案与解析】1.D(解析：A.若AC=BC,则点C在线段AB的垂直平分线上，故本选项错误；本选项错误；C.若CDLAB,不能判定AC=BC,故本选项错误；D.若CD是线段AB的垂直平分线，则AC=BC故本选项正确.故选D.)2.证明：连接BC,∵AB=AC,DB=DC,:AD是线段BC的垂直平分线，点E在AD的延长线上，EB=EC.垂直平分线上.即点O到点A,B,C的距离相等.不足之处再教设计2.注重推理和证明，使学生明确符号语言的重要性.及时改正.练习(教材第116页)到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.平分BD∵点E在AC上，∴BE=DE.习题(教材第117页)垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.B组AC,:DF是线段AC的垂直平分线 备课资源线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等每一点都满足到线段的两个端点的距离相等.这一定理的作用在于它是证明两条线段相等的途径之一.[知识拓展]三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三角形三个顶点的距离相等.〔解析〕由BC=10,BD=6,AD=4,易得AD=CD,则可证得D点在AC的垂直∴D点在AC的垂直平分线上.整体设计教学目标感态度感态度教学准备导入一：【提出问题】1.什么叫尺规作图?只用直尺(没有刻度)和圆规画图的方法叫做尺规作图.2.我们学过哪些基本的尺规作图?(2)作一角等于已知角3.什么叫做线段的垂直平分线?经过线段的中点并且垂直线段的直线，叫做线段的垂直平分线教师说明：我们学习了线段的垂直平分线的定义，那么怎样作一条线段的垂直平分线，又如何过一点作出已知直线的垂线呢?这节课我们就研究这两个问题.[设计意图]通过导入，让学生温习以前学过的知识，从而利用知识迁移引出本节课要研究的内容，激发学生探究的欲望和学习的信心.导入二：【课件1】如图所示，点A,B,C表示三个村庄，现要建一座深井水泵站，向三个村庄分别送水，为使三条A输水管长度相同，水泵站应建在何处?请画示意图，并说明理由.BC〔解析〕因为向三个村庄分别送水，三条输水管长度相同，所以水泵站应在AB,BC的中垂线的交点处。说明：那么如何用尺规作图的方法作出线段的中垂线呢?(导出课题)[设计意图]重新审视线段垂直平分线性质定理的逆定理，让学生明确到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，从而引出本节课的学习内容.新知构建思路一我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线，现在我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢?要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线.下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据.【课件2】例1如图所示，已知线段AB.求作：线段AB的垂直平分线.〔解析〕由线段垂直平分线性质定理的逆定理可知，只要作出到这条线段端点距离相等的两点，连接这两个点，即得所求作的直线.作法：如图所示.(1)分别以点A和点B为圆心，a为半径，在线段AB的两侧画弧，分别相交于点C,D.(2)连接CD.直线CD即为所求.师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CD就是所求作的垂直平分线?请与同伴进行交流.师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点.思路二【课件3】如图所示，已知PA=PB,QA=QB,则直线PQ是线段AB的垂直平分线吗?为什么?生：是.由题意可知△APQ≥△BPQ,所以∠APQ=∠BPQ,设AB与PQ的交点为O,所以△APO△BPO,所以2AOP=∠BOP,AO=BO,即得PQ是线段AB的垂直平分线.师：对于PA=PB,QA=QB,我们都可以用圆规比较容易地实现，从这里你是否已经看出线段的垂直平分线的作法了呢?画一条线段，用尺规作出它的垂直平分线.明确线段垂直平分线的画法[知识拓展]任意作出两条连接圆上不同点的线段，再分别作出它们的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点即为圆心，这个圆心与圆上任意一点的距离即为半径.经过一点作已知直线的垂线，这一点与已知直线有两种不同的位置关系：点在直线外，点在直线上.因此要分别按这两种情况作图【课件4】求作：经过点P,且垂直于AB的直线.〔解析〕在直线AB上作出一条线段CD,使得点P在线段CD的垂直平分线上.再作出到点C,D距离相等的点Q,连接PQ,直线PQ即为所求(2)分别以点C,D为圆心，适当长为半径，在直线AB的另一侧画弧，两弧相交于点Q.(3)连接PQ.直线PQ即为所求.说明：学生自己探索作法，然后师生共同操作，检验自己所作的步骤是否正确.【课件5】(教材第119页做一做)的是()解：如图所示.图(1)图(1)图(2)图(3)图(2)图(3)4.如图所示，已知钝角∠AOB,点D在射线OB上.(2)若AD=,求CE的长.例2(3)PM的长度表示P点到OB的距离.(4)PMkOP,垂线段最短.板书设计第3课时(2)直线上一点布置作业【必做题】1.教材第119页练习第1,2题.2.教材第119页习题第1题.【选做题】教材第119页习题第2,3题【基础巩固】直线交AC于点D,连接BD,则△BCD的周长为()线CD,在CD上取两点P,M,连接PA,PB,MA,MB,则下列结论一定正确的是()A.PA=MAB.MA=PE交BC于点D,交AB于点E,连接AD.若△ABC的周长为16,△ADC的周长为9,那么线段AE的长等于已知线段AB.作法)【拓展探究】【答案与解析】为16,:AC+CD+BD+AB=16,:MN是线段AB的垂直平分cm,:AD+DC=AD+BD=5cm,:AB=3cm,:△ABD的周长是5+3=8(cm).教学反思)成功之处作图方法掌握不够好 口教材习题解答练习(教材第119页)习题(教材第119页)1.解：如图所示，用尺规作线段AB的垂直平分线MN交AB于点C,点C即为所求AB'A3.解：如图所示，四边形ABCD即为所求作的长方形.经典例题例1如图所示，有一张长方形纸片ABCD,折叠该纸片，使得点A与点C重合，请你在此图中画出折痕的位置和折叠后的图形.(画在原图上即可，尺规作图，保留作图痕迹)〔解析〕根据折叠该纸片使得点A与点C重合，可知作出AC的垂直平分线即可得出答案.叙述.整体设计情感态度与价值观情感态度与价值观【教师准备】直尺和圆规、课件1~2.【学生准备】直尺和圆规. 教学过程 【教师活动】那么角平分线有哪些性质呢?又怎样判定一条线是角的平分线呢?今天我们就来研究这学生思考回答.生：会.生1:用折纸的方法来作.生2:用量角器来作. 活动一：角平分线的性质定理及其逆定理[过渡语[过渡语]利用分角仪我们可以把已为直线n,直线n与边OA,OB分别交于点D,E,与折线OC交于点P,将纸展开后，猜想线段PD与线段PE,线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由.距离相等.请同学们用逻辑推理的方法来加以证明，将这个命题画出图形，写出已知、求证.师：这是证明线段相等的问题.我们有哪些方法可以证明线段相等?明确借助于三角形全等来证明线段相等的方法.[过渡语][过渡语]线段垂直平分线的性质定理的逆命题是一个真命题(定理),角平分线的性质定理的逆命题是真命题还是假命题呢?【课件2】离相等.明中就可以不写即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.思路二生：相等.学生思考，小组讨论.师：你能证明这个结论吗?学生思考证明.1.明确命题中的已知和求证.2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证.3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.教师找学生板演集体纠正.师：你能总结这个结论吗?生：角平分线上的点到角的两边的距离相等.活动二：角平分线的画法方法.学生讨论作法.B3.作射线OC,则OC为所要求作的∠AOB的平分线.学生作图.教师巡回指导，师：当∠AOB的两边成一直线时(即∠AOB=180°),你会作这个角的平分线吗?这时的学生小组操作.教师说明：实际上节课我们学习的过直线上一点作已知直线的垂线可以看作是作平角的平分线[设计意图]用学生自主操作和师生共同探究的方法，激发学生的学习兴趣，唤起学生的参与意识.2.如图所示，OP平分∠AOB,PALOA,PBLOB,垂足分别为A,B,连接AB.下列结论中不一定成立的是C.OA=OBD.AB平分OP正垂直正垂直确.设PO与AB相交于E:OA=OB,∠AOP=∠BOP,OE=OE.△AOE≌△BOE,:∠AEO=∠BEO=90°,:OP于AB,而不能得到AB平分OP,故D不一定成立，故选D.3.如图所示，在△ABC中，角平分线AD,BE相交于O点，连接CO,则下列结论成立的是()解析∵角平分线AD,BE相交于O点，:CO平分∠ACB.故选C.解析：过点M作MDLAB于D,先求出CM,再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=CM.板书设计16.3角的平分线活动一：角平分线的性质定理及其逆定理1.性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等2.逆定理：到角的两边距离相等的点在角平分线上.活动二：角平分线的画法【必做题】1.教材第122页练习第1,2题.2.教材第122~123页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第123页习题B组第1,2,3题，【基础巩固】量出()A.PA的长度B.PC的长度2.如图所示，直线h,h,b表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有()3.若△ABC中的∠B和∠C的平分线交于点O,则关于射线AO,下列说法正确的是()B.既不平分∠BAC,也不平分∠BOCC.一定平分∠BAC,但不一定平分∠BOCD.既不一定平分∠BAC,也不一定平分∠BOC4.如图所示，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S【能力提升】【拓展探究】(2)△ABP与△PCD的面积是否相等?请说明理由.【答案与解析】1.C(解析：过点P作PFLAB于F,延长FP交CD于G:ABG,:PF=PE=PG,:FG=2PE.故要求AB与CD之间的距离，只需测量出PE的长度.)定在第三个角的平分线上，射线AO一定平分∠BAC,设∠OBA=∠OBC=a,∠OCB=∠OCA=β,∠OAB=24.C(解析：利用等高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知C正确) O教学反思基础.不足之处 口教材习题解答【练习】(教材第122页)AED(AAS),:AC=AE.【习题】(教材第122页)A组B组F备课资源重难点突破挥作用.)经典例题〔解析〕根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=DE,从而求出DE+CE=AC,所以△CDE的周长=AC+CD,根据△CDE的周长及AC的长即可求得CD的长.〔解析〕作CELAB,CFLAD,垂足分别为E,ABC=∠CDF,进而证得△CBE≌△CDF,得出FC=EC,即可求得结论.∴点C在∠DAB的平分线上.△ABC的面积.(1)(2)〔解析〕作PELBC于E,PFLAC于F,根据角平分线的性质定理得PE=PF=PD=5,然后根据三角形面积公式和S△ABC=S△PAs+SAPBc+S△PAC得到S△ABc=(AB+BC+AC),再把△ABC的周长为20代入计算即可AB的距离为OD.试探究OD与a,b,c的数量关系，F,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OD=OE=OF,然后证得四边形EOFC是正方形从而证得OE=OF=FC=EC=OD,AE=AD,BD=BF,通过AB=ACOD+BCOD即可求解.∵∠BAC,∠ABC的平分线交于点0,0DLAB,同理BD=BF,∴AD+BD=a+b2OD,即c=a+b2OD,整体设计知识与技能过程与方法过程与方法 【教师准备】课件1~9.【学生准备】复习轴对称、旋转的知识.教学过程 时也为新知识的学习做好铺垫.新知构建[过渡语][过渡语]我们已经学习了轴对称图形和两个图形成轴对称，下面将学习中心对称图形和两个图形成中思路一你还能举出具有上述特征的图形的例子吗?思路二【课件3】(2)你能将风车或正六边形绕其中的一个点旋转180度，使旋转前后的图形完全重合吗?(同桌合做风车或正六边形)3.如何判断一个图形是不是中心对称图形呢?称图形.【课件4】(1)如图所示的是我国古代数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中所画的图形，它是由四个相同的直角三角形拼成的，下面关于此图形的说法正确的是()A.它是轴对称图形，但不是中心对称图形B.它是中心对称图形，但不是轴对称图形C.它既是轴对称图形，又是中心对称图形D.它既不是轴对称图形，又不是中心对称图形(2)在26个英文大写正体字母中，哪些字母是中心对称图形?[设计意图]通过观察，发现中心对称图形的特征，从而归纳出中心对称图形的概念，然后出示一组练习让学生对知识得以及时巩固.【课件5】如图所示，△ABC和△DEF的顶点A,C,F,D在同一条直线上，O为线段CF的中点，AC=DF,BC=EF,∠ACB=∠DFE.两个三角形有什么位置关系?想一想：线段AB,AC,BC分别与哪些线段重合，点呢?活动三：中心对称的性质【课件7】大家谈谈：将你的想法和大家交流2.中心对称图形可以看作是旋转角度是180度的旋转对称图形.教师紧接着提问轴对称图形与中心对称图形的区别，学生思考后回答.然后教师展示【课件8】轴对称图形中心对称图形至少有一条对称轴——直线沿对称轴翻折只有一个对称中心——点绕对称中心旋转180°翻折后对称轴两侧的图形旋转前、后的图形互相重合定关于这一点成中心对称.【课件9】〔解析〕要画出线段AB关于点O的中心对称图形，就是根据中心对称的性质找到A,B两点关于点O的对称点.(2)连接CD.线段CD即为所求.如图(2)所示.[设计意图]通过小组合作学习，让学生发现中心对称的性质，同时类比旋转、轴对称感知图形，提高学生的归纳总结能力，同时利用中心对称的性质作图，加深学生对性质的理解.1.中心对称图形的定义如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点就叫做它的对称中心，注意：常见的中心对称图形有：线段、长方形、正方形、圆等.2.成中心对称的定义及中心对称的性质(1)成中心对称的定义：如果一个图形绕某一点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称.注意：成中心对称是相对于两个图形来说的.(2)中心对称的性质：在成中心对称的两个图形中，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分B₁A₁C;②AC=A₁C₁;③OA=OA₁;④△ABC与△A₁B₁C的面积相等.其中正确的有()A.成中心对称的两个图形全等C.中心对称图形的对称中心是对应点连线的中点4.如图所示，线段AB,CD互相平分于点O,过O作EF交AC于E,交BD于F,则这个图形是中心对称图形，对称中心是Q指出图形中的对应点对应线段：,对应三角解析：根据中心对称的定义结合图形可知图形中的对应点、对应线段、对应三角形5.如图所示，若四边形ABCD与四边形FGCE成中心对称则它们的对称中心是,点A的对应点是点E的对应点是.BD/且BD=连接A.F的线段经过,且被C解析：四边形ABCD与四边形CEFG成中心对称，则它们的对称中心是C,点A的对应点是F,E的对应点答案：CFDEGEGC平分△FGE个中心对称图形. 例题布置作业1.教材第126页练习第1,2题.2.教材第126~127页习题A组第1,2,3,4题教材第127页习题B组第1,2题.的是()ACBD5.用六根一样长的小棒搭成如图所示的图形，试移动AC,BC这两根小棒，使六根小棒搭成的图形为中心对称6.如图所示的是由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：(1)在图案(1)中添画1个正方形，使它是轴对称图形(不能是中心对称图形);(2)在图案(2)中添画1个正方形，使它是中心对称图形(不能是轴对称图形);(3)在图案(3)中改变1个正方形的位置，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形.(2)根据图形说明线段CD的长的取值范围.它们的对称中心.【拓展探究】(二瓣图形)(三瓣图形)(四瓣图形)②十二瓣图形是;③十五瓣图形是;④二十六瓣图形是【答案与解析】2.A(解析：既可以看成是轴对称图形，又可以看成是中心对称图形，故A正确；既不可以看成是轴可以看成是中心对称图形，故B错误；可以看成是轴对称图形，但不可以看成是中心对称图形，故C错误；既不可以看成是轴对称图形，又不可以看成是中心对称图形，故D错误.)4.B(解析：根据中心对称图形的特点进行判断即可得到应该将②涂阴影.)5.解析：根据中心对称图形的概念求解.本题△ABC沿AB翻折可使六根小棒搭成的图形为中心对称图形；移动瓣是奇数个，则只是轴对称图形(3)①轴对称图形②轴对称图形也是中心对称图形③轴对称图形④轴对称图形也是中心对称图形教学反思再教设计 口教材习题解答【练习】(教材第126页)【习题】(教材第126页)A组1.解：连接AA'BB;它们相交于点O,点O即为所求的对称中心.图略.1.解：答案不唯一.(1)如图(1)所示.(2)如图(2)所示.(3)如图(3)所示. 备课资源教学建议中心对称图形其中心旋转120度后与自身重合.成中心对称与中心对称图形的区别与联系区别联系成中心对称成中心对称是指两个图形间的关把成中心对称的两个图形看成一个“整体”,则成为中心对称图形.中心对称图形中心对称图形是指具有某种特征的一个图形.把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”,则它们成中心对称。A.中是中心对称图形但不是轴对称图形的是()[解题策略]本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形是要寻找对称轴，图形两部分沿 过程与方法过程与方法情芯态度与价值观【教师准备】课件1-6.教学过程新课导入【课件1】导入三： 活动一：试着做做甲甲乙乙甲甲乙活动二：观察与思考【课件3】问题1:问题2:【课件4】【课件4】形成图案基本图形形成图案基本图形图案.活动三：做一做请同学们讨论怎样用直尺和圆规画出这个六花瓣图?展示画法：想象力.(4)对图案进行适当修饰D(如图(2)所示)()4.在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是下图中的D解析：每一个图案都可以被通过中心的射线分成6个7.已知图形B是一个正方形，图形A由三个图形B构成，如图(1)所示，请用图形A与B拼接.一一一--+-1-+-}-L-T- 14-+-4-+-H4T(1)拼得的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；(在图(2)中完成)(2)如图(2)所示.1T(3)如图(3)所示.8.利用轴对称变换可设计出美丽图案，如图所示的是在方格纸中每一个顶点都在格点上的四边形，且每个小正方形的边长都为1,完成下列问题：(1)图案设计：先作出四边形关于直线/对称的图形，再将你所作的图形和原四边形绕O点按顺时针旋转(2)完成上述图案设计后，可知这个图案的面积等于解析：(1)首先找出对应点，然后画图即可；(2)首先利用割补法求出每一个小四边形的面积，再乘以4即解：(1)如图所示.(2)20板书设计16.5利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案 1.教材第129页练习第1,2题.2.教材第130页习题A组第1,2题.教材第130页习题B组第1,2题.二、课后作业BA.它可以看作是一个人绕图案的中心位置旋转90°,180°,270°形成的B.它可以看作是相邻两个人绕图案的中心位置旋转180°形成的C.它可以看作是相邻两个人绕图案的某条对称轴翻折而成的D.它可以看作是左侧和上方的人分别向右侧和下方平移得到的8.如图(1)所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”,通过旋转得到【能力提升】人一关一人一关一-XXk一一关一入一关一关一12.如图(1)所示，有两个边长为2的正方形，将其中一个正方形沿对角线剪开成两个全等的等腰直角三角形，不尼轴1所形，图形.13.认真观察图(1)(2)(3)(4)中的四个图案，回答下列问题：得到.)13.解：(1)(答案不唯一)都是轴对称图形都是中心对称图形(2)如图所示，答案不唯一 教学反思受数学美和数学方法的价值. 教材习题解答【练习】(教材第129页)【复习题】(教材第134页)4.解：如图所示，连接AB,作线段AB的垂直平分线CD交/于点P,点P即为所求，理由：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.6.解：分别连接对应的两车轮的中心，其交点P就是旋转中心，旋转角是180°.1.解：存在.作∠BAC的平分线AD,交BC于点D,点D即为所求.理由：到角的两边距离相等的点在角的平分线2.解：作点A关于高压输电线所在直线的对称点A;连接AB交高压输电线所在直线于点P点P就是所求的点.5.解：剪口线与折痕应该成45°角.6.解：连接AP,AQ.由作法可知AP=MP,AQ=NQ:AP+PQ+AQ=MP+PQ+NQ=MN.在Ox,Oy上分别各取一点P'Q;连接MP'AP,PQ;QA,Q'N.由作法知AP=MP;AQ=NQ':AP+P'Q+AQ=MP+P'Q+NQ'根据两点之间线段最短得MN<MP4PQ+NQ';所以点P,Q即为所求的点.1.证明：延长BE交AD的延长线于点F.:AELBE,:∠AEB=∠AEF=90°:AE是∠BAD的平分线，:∠BAE=∠FAE.2.证明：(1):BD平分∠ABC,:∠EBO=∠CBO;:CELBD,:∠BOE=∠BOC=90°.在△BOE和△B3.证明：:AD是△ABC的角平分线，DELAB,DFLAC,:DE=DF点D在线段EF的垂直平分线上.在△ADE和5.提示：4处.(图略)如图所示的网格均由边长为1的小正方形组成，[解题策略]本题考查利用中心对称、旋转或者轴对称设计方案，关键是理解中心对称、旋转和轴对称过程与方法过程与方法2.使学生养成主动、自觉、积极的学习态度.1.轴对称和中心对称的性质和作图.2.线段的垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理的应用.【难点】线段的垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理的应用.知识总结概念成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，并且被对称中心平分轴对称中心对称概念他质专题一轴对